Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

In methodologischer Hinsicht verdient es vielleicht Beachtung, dass
die Lösungen 13) sich aufgrund derer 11) auch systematisch finden lassen
ohne dass man in einen Zirkel gerät.

Um dies zu zeigen, muss ich freilich noch weiter vorgreifen.

Soll etwa 1 ; x j 0 = 0 oder y j 0 = 0 sein, so muss man nach dem
Schema von 11) oben rechts haben: y, das ist 1 ; x = vn ; 1 · v.

Der Adventivforderung gemäss wird dabei v dem y als wesentlicher
Parameter zugeordnet sein, und da y = 1 ; x bedeuten sollte, so wird der-
selben Adventivforderung zuliebe auch v durch 1 ; u zu ersetzen sein, damit
schliesslich u dem x als wesentlicher willkürlicher Parameter entspreche.

In § 19 werden wir aber lernen, eine Gleichung von der Form 1 ; x = a
in der Gestalt: x = a(u + 0 j u;n) aufzulösen und zugleich sehn, dass dabei
als Resultante: a = 1 ; a zutreffen muss.

Mit dem oben motivirten Werte v = 1 ; u, also vn = 0 j un wird nun unser
a = (0 j un) ; 1 · 1 ; u = (0 j un) ; 1 ; u und zeigt sich die Forderung der Resul-
tante als 1 ; a = 1 ; (0 j un) ; 1 ; u = (0 j un) ; 1 ; u = a von selbst erfüllt. Dar-
nach haben wir sofort:
x = (u + 0 j un) · (0 j un) ; 1 · 1 ; u = u · (0 j un) ; 1,
weil u · 1 ; u = u und (0 j un) · 1 ; u = 0 ist -- d. h. es ist die dritte von den
Lösungen 13) gewonnen. Auf diesem Wege hatte ich sie erstmals gefunden.

Dass jedes System von universalen Propositionen (also blos Glei-
chungen und Subsumtionen) sich, sofern es lösbar (d. h. nicht absurd)
ist, in der Form x = f(u) auflösen lasse, dies hatte sich schon im
identischen Kalkul herausgestellt und war das Fortbestehen dieser That-
sache auch in der Algebra der Relative wol weniger überraschend.

In § 12 haben wir aber gezeigt, dass hier ein Gleiches auch für
Systeme mit partikularen Propositionen (Ungleichungen oder Unsub-
sumtionen) gelten muss -- und nicht blos für Systeme mit simultanen
sondern auch für solche mit alternativen Forderungen.

Die obigen Beispiele habe ich darum mit Vorliebe aus dem letz-
teren, dem ganz neu hinzugekommenen Anwendungsgebiete gewählt.
Dies um so mehr, als wir demnächst unsre Aufmerksamkeit für längere
Zeit wieder vorwiegend den Problemen von universalem Charakter zu-
zuwenden haben werden.

Ebendarum seien nun auch noch folgende Probleme mit ihren
Lösungen hiernächst angeführt:
14) [Formel 1] ,
15) [Formel 2] .

In methodologischer Hinsicht verdient es vielleicht Beachtung, dass
die Lösungen 13) sich aufgrund derer 11) auch systematisch finden lassen
ohne dass man in einen Zirkel gerät.

Um dies zu zeigen, muss ich freilich noch weiter vorgreifen.

Soll etwa 1 ; x ɟ 0 = 0 oder y ɟ 0 = 0 sein, so muss man nach dem
Schema von 11) oben rechts haben: y, das ist 1 ; x = v̄ ; 1 · v.

Der Adventivforderung gemäss wird dabei v dem y als wesentlicher
Parameter zugeordnet sein, und da y = 1 ; x bedeuten sollte, so wird der-
selben Adventivforderung zuliebe auch v durch 1 ; u zu ersetzen sein, damit
schliesslich u dem x als wesentlicher willkürlicher Parameter entspreche.

In § 19 werden wir aber lernen, eine Gleichung von der Form 1 ; x = a
in der Gestalt: x = a(u + 0 ɟ u;̄) aufzulösen und zugleich sehn, dass dabei
als Resultante: a = 1 ; a zutreffen muss.

Mit dem oben motivirten Werte v = 1 ; u, also v̄ = 0 ɟ ū wird nun unser
a = (0 ɟ ū) ; 1 · 1 ; u = (0 ɟ ū) ; 1 ; u und zeigt sich die Forderung der Resul-
tante als 1 ; a = 1 ; (0 ɟ ū) ; 1 ; u = (0 ɟ ū) ; 1 ; u = a von selbst erfüllt. Dar-
nach haben wir sofort:
x = (u + 0 ɟ ū) · (0 ɟ ū) ; 1 · 1 ; u = u · (0 ɟ ū) ; 1,
weil u · 1 ; u = u und (0 ɟ ū) · 1 ; u = 0 ist — d. h. es ist die dritte von den
Lösungen 13) gewonnen. Auf diesem Wege hatte ich sie erstmals gefunden.

Dass jedes System von universalen Propositionen (also blos Glei-
chungen und Subsumtionen) sich, sofern es lösbar (d. h. nicht absurd)
ist, in der Form x = f(u) auflösen lasse, dies hatte sich schon im
identischen Kalkul herausgestellt und war das Fortbestehen dieser That-
sache auch in der Algebra der Relative wol weniger überraschend.

In § 12 haben wir aber gezeigt, dass hier ein Gleiches auch für
Systeme mit partikularen Propositionen (Ungleichungen oder Unsub-
sumtionen) gelten muss — und nicht blos für Systeme mit simultanen
sondern auch für solche mit alternativen Forderungen.

Die obigen Beispiele habe ich darum mit Vorliebe aus dem letz-
teren, dem ganz neu hinzugekommenen Anwendungsgebiete gewählt.
Dies um so mehr, als wir demnächst unsre Aufmerksamkeit für längere
Zeit wieder vorwiegend den Problemen von universalem Charakter zu-
zuwenden haben werden.

Ebendarum seien nun auch noch folgende Probleme mit ihren
Lösungen hiernächst angeführt:
14) [Formel 1] ,
15) [Formel 2] .