Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Weitre Lösungsformen würden sich schon ergeben, wenn man die
Zeilenkategorie b durch bn vertreten liesse, desgleichen da wo g fehlt, die
a durch gn, und eventuell wo a fehlt, die g durch an, sodann wie bisher
verführe; nur müsste dabei der Erfüllung der Adventivforderung noch be-
sonders Rechnung getragen werden.

Ferner würden sich aber noch ganz neue Lösungsformen ergeben, wenn
man die in dem arbiträren u eventuell vorhandenen in x unvertreten ge-
wünschten Zeilenkategorien -- anstatt sie wie bisher zu den Kategorieen
der Ziffern 1 oder 0 mittelst geeigneter Umwandlung zu schlagen -- viel-
mehr zu den in x durch Ziffern a, b oder g vertretenen Zeilenkategorien
schlüge. Auch dieses lässt sich verwirklichen auf eine Weise, die wir
nun genötigt sind bei der vierten Oktade darzulegen, weil wir dort
zu dieser Methode unsre Zuflucht nehmen müssen, indem ein andres Ver-
fahren gar nicht zugebote steht. So könnten auch für die bisherigen Auf-
gaben noch Lösungsformen aufgestellt werden, wo der Ausdruck für die
allgemeine Wurzel gar kein "reines Zeilenrelativ" mehr ist -- siehe dem-
nächst.

Vierte Oktade.

Die Lösung der nunmehr noch verbleibenden sieben schwierigern
Aufgaben letzter Oktade lässt sich nicht, wie die bisherigen, durch ein
"reines Zeilenrelativ" darstellen, d. h. durch einen Ausdruck, welcher
lediglich "Zeilenoperationen" an u auszuführen vorschreibt -- zu denen
wir ja nächst den "Zeilen-(Modul-)knüpfungen" des § 15 blos die 3 iden-
tischen Spezies zählten. Vielmehr wird zum Aufbau gedachter Lösungen
auch noch identische Multiplikation mit 1' oder 0' heranzuziehen sein,
und bei einer von den 7 Aufgaben, der "Aufgabe 30", sogar dies nicht
ausreichen.

Während die beiden absoluten Moduln, als durch die "Zeilenoperationen"
a + an = 1, aan = 0
aus diesem ableitbare, zur "Zeilengruppe" jedes Relativs a eo ipso gehören,
ist dies nämlich mit den beiden relativen Moduln nicht der Fall: 1' und 0'
selbst lassen sich aus a nicht durch blosse Zeilenoperationen ableiten. Denn
erstens gelten die Analoga zu vorstehenden Ableitungen:
1' a + an, aan 0'
bekanntlich nicht als Gleichungen sondern blos als Subsumtionen, und
zweitens gehört die dabei mitverwendete Operation der Konversion, welche
ja vielmehr Zeilen- und Kolonnenknüpfungen in einander verkehrt, nicht
zu den "Zeilenoperationen". Wer die Behauptung nicht zugeben wollte,
wäre verpflichtet -- was eben niemand vermag -- das Gegenteilige zu
leisten und sie damit zu widerlegen. 1' und 0' finden sich im Allgemeinen
nicht unter den 256 Relativen der Zeilengruppe von a.

In Gestalt des Moduls 1' aber verfügen wir über ein spezielles
Relativ welches lediglich aus einbesetzten Zeilen (der Kategorie g) be-

Weitre Lösungsformen würden sich schon ergeben, wenn man die
Zeilenkategorie β durch β̄ vertreten liesse, desgleichen da wo γ fehlt, die
α durch γ̄, und eventuell wo α fehlt, die γ durch ᾱ, sodann wie bisher
verführe; nur müsste dabei der Erfüllung der Adventivforderung noch be-
sonders Rechnung getragen werden.

Ferner würden sich aber noch ganz neue Lösungsformen ergeben, wenn
man die in dem arbiträren u eventuell vorhandenen in x unvertreten ge-
wünschten Zeilenkategorien — anstatt sie wie bisher zu den Kategorieen
der Ziffern 1 oder 0 mittelst geeigneter Umwandlung zu schlagen — viel-
mehr zu den in x durch Ziffern α, β oder γ vertretenen Zeilenkategorien
schlüge. Auch dieses lässt sich verwirklichen auf eine Weise, die wir
nun genötigt sind bei der vierten Oktade darzulegen, weil wir dort
zu dieser Methode unsre Zuflucht nehmen müssen, indem ein andres Ver-
fahren gar nicht zugebote steht. So könnten auch für die bisherigen Auf-
gaben noch Lösungsformen aufgestellt werden, wo der Ausdruck für die
allgemeine Wurzel gar kein „reines Zeilenrelativ“ mehr ist — siehe dem-
nächst.

Vierte Oktade.

Die Lösung der nunmehr noch verbleibenden sieben schwierigern
Aufgaben letzter Oktade lässt sich nicht, wie die bisherigen, durch ein
„reines Zeilenrelativ“ darstellen, d. h. durch einen Ausdruck, welcher
lediglich „Zeilenoperationen“ an u auszuführen vorschreibt — zu denen
wir ja nächst den „Zeilen-(Modul-)knüpfungen“ des § 15 blos die 3 iden-
tischen Spezies zählten. Vielmehr wird zum Aufbau gedachter Lösungen
auch noch identische Multiplikation mit 1' oder 0' heranzuziehen sein,
und bei einer von den 7 Aufgaben, der „Aufgabe 30“, sogar dies nicht
ausreichen.

Während die beiden absoluten Moduln, als durch die „Zeilenoperationen“
a + ā = 1, aā = 0
aus diesem ableitbare, zur „Zeilengruppe“ jedes Relativs a eo ipso gehören,
ist dies nämlich mit den beiden relativen Moduln nicht der Fall: 1' und 0'
selbst lassen sich aus a nicht durch blosse Zeilenoperationen ableiten. Denn
erstens gelten die Analoga zu vorstehenden Ableitungen:
1' ⋹ a + ā̆, aā̆ ⋹ 0'
bekanntlich nicht als Gleichungen sondern blos als Subsumtionen, und
zweitens gehört die dabei mitverwendete Operation der Konversion, welche
ja vielmehr Zeilen- und Kolonnenknüpfungen in einander verkehrt, nicht
zu den „Zeilenoperationen“. Wer die Behauptung nicht zugeben wollte,
wäre verpflichtet — was eben niemand vermag — das Gegenteilige zu
leisten und sie damit zu widerlegen. 1' und 0' finden sich im Allgemeinen
nicht unter den 256 Relativen der Zeilengruppe von a.

In Gestalt des Moduls 1' aber verfügen wir über ein spezielles
Relativ welches lediglich aus einbesetzten Zeilen (der Kategorie γ) be-