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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 2. Der Denkbereich der zweiten Ordnung.

Der Denkbereich 12 ist hiernach gebildet aus den sämtlichen "Varia-
tionen zur zweiten Klasse mit Wiederholungen" von den Elementen des
Denkbereiches 11 -- wie der Mathematiker sich ausdrücken würde; er ist
die zweite Klasse der genannten Variationen. Er enthält die Elemente
von 11 zu Paaren vereinigt in allen erdenklichen Verbindungen (Kombi-
nationen) und Anordnungen (Permutationen).

Als selbstverständlich erscheint es wieder (soll indess nicht we-
sentlich benutzt werden), dass auch dieser Denkbereich eine Mannig-
faltigkeit vorstellt, auf welche der identische Kalkul anwendbar ist.
In diesem Denkbereiche werden sich die Untersuchungen der Theorie
im vorliegenden Bande vornehmlich, ja fast ausschliesslich bewegen,
weshalb wir -- den Exponenten 2 zumeist und namentlich in allen
Formeln (seltner im Texte) weglassend -- denselben kürzer mit 1 selber
bezeichnen werden.

In einfachster Schreibung seien demnach die Gleichungen 9) und 10)
zusammenfassend wiederholt als:
11) [Formel 1]

Ein individuelles binäres Relativ i : j steht in dieser Tafel allemal
in der durch i markirten Zeile und in der durch j markirten Kolonne
(oder Spalte) -- wären die Elemente i, j die natürlichen Zahlen, so
könnten wir kürzer sagen: in der iten Zeile und in der jten Kolonne.

Obwohl, wie bereits erklärt, die Voraussetzung einer bestimmten
Reihenfolge oder Anordnung schon bei den Elementen des ersten,
nicht minder also auch bei den Elementepaaren des zweiten Denk-
bereichs den Schlüssen der Theorie nicht zugrunde gelegt werden darf,
wollen wir doch der Übersicht und der Bequemlichkeit der Ausdrucks-
weise zuliebe die vorstehenden Redensarten acceptiren:

Soll von solchen individuellen Relativen i : j, i : h, i : k, ... ge-
sprochen werden, welche im Relate übereinstimmen, so werden wir
häufig sagen, dass sie aus derselben Horizontalreihe oder Zeile stammen,
und "die zu i gehörige Zeile" der Tafel 12 selbst wird uns dann eben
einfach bedeuten: die Gesamtheit (identische Summe) aller der Elemente-
paare unsres zweiten Denkbereichs, welche i zum Relate haben.
Ebenso werden alle Elementepaare i : j, h : j, k : j, ..., die im Korre-
late übereinstimmen, von uns der nämlichen Vertikalreihe oder Kolonne
zugewiesen. Und wir unterscheiden demgemäss in unsrer Tafel 12

§ 2. Der Denkbereich der zweiten Ordnung.

Der Denkbereich 12 ist hiernach gebildet aus den sämtlichen „Varia-
tionen zur zweiten Klasse mit Wiederholungen“ von den Elementen des
Denkbereiches 11 — wie der Mathematiker sich ausdrücken würde; er ist
die zweite Klasse der genannten Variationen. Er enthält die Elemente
von 11 zu Paaren vereinigt in allen erdenklichen Verbindungen (Kombi-
nationen) und Anordnungen (Permutationen).

Als selbstverständlich erscheint es wieder (soll indess nicht we-
sentlich benutzt werden), dass auch dieser Denkbereich eine Mannig-
faltigkeit vorstellt, auf welche der identische Kalkul anwendbar ist.
In diesem Denkbereiche werden sich die Untersuchungen der Theorie
im vorliegenden Bande vornehmlich, ja fast ausschliesslich bewegen,
weshalb wir — den Exponenten 2 zumeist und namentlich in allen
Formeln (seltner im Texte) weglassend — denselben kürzer mit 1 selber
bezeichnen werden.

In einfachster Schreibung seien demnach die Gleichungen 9) und 10)
zusammenfassend wiederholt als:
11) [Formel 1]

Ein individuelles binäres Relativ i : j steht in dieser Tafel allemal
in der durch i markirten Zeile und in der durch j markirten Kolonne
(oder Spalte) — wären die Elemente i, j die natürlichen Zahlen, so
könnten wir kürzer sagen: in der iten Zeile und in der jten Kolonne.

Obwohl, wie bereits erklärt, die Voraussetzung einer bestimmten
Reihenfolge oder Anordnung schon bei den Elementen des ersten,
nicht minder also auch bei den Elementepaaren des zweiten Denk-
bereichs den Schlüssen der Theorie nicht zugrunde gelegt werden darf,
wollen wir doch der Übersicht und der Bequemlichkeit der Ausdrucks-
weise zuliebe die vorstehenden Redensarten acceptiren:

Soll von solchen individuellen Relativen i : j, i : h, i : k, … ge-
sprochen werden, welche im Relate übereinstimmen, so werden wir
häufig sagen, dass sie aus derselben Horizontalreihe oder Zeile stammen,
und „die zu i gehörige Zeile“ der Tafel 12 selbst wird uns dann eben
einfach bedeuten: die Gesamtheit (identische Summe) aller der Elemente-
paare unsres zweiten Denkbereichs, welche i zum Relate haben.
Ebenso werden alle Elementepaare i : j, h : j, k : j, …, die im Korre-
late übereinstimmen, von uns der nämlichen Vertikalreihe oder Kolonne
zugewiesen. Und wir unterscheiden demgemäss in unsrer Tafel 12

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[11/0025] § 2. Der Denkbereich der zweiten Ordnung. Der Denkbereich 12 ist hiernach gebildet aus den sämtlichen „Varia- tionen zur zweiten Klasse mit Wiederholungen“ von den Elementen des Denkbereiches 11 — wie der Mathematiker sich ausdrücken würde; er ist die zweite Klasse der genannten Variationen. Er enthält die Elemente von 11 zu Paaren vereinigt in allen erdenklichen Verbindungen (Kombi- nationen) und Anordnungen (Permutationen). Als selbstverständlich erscheint es wieder (soll indess nicht we- sentlich benutzt werden), dass auch dieser Denkbereich eine Mannig- faltigkeit vorstellt, auf welche der identische Kalkul anwendbar ist. In diesem Denkbereiche werden sich die Untersuchungen der Theorie im vorliegenden Bande vornehmlich, ja fast ausschliesslich bewegen, weshalb wir — den Exponenten 2 zumeist und namentlich in allen Formeln (seltner im Texte) weglassend — denselben kürzer mit 1 selber bezeichnen werden. In einfachster Schreibung seien demnach die Gleichungen 9) und 10) zusammenfassend wiederholt als: 11) [FORMEL] Ein individuelles binäres Relativ i : j steht in dieser Tafel allemal in der durch i markirten Zeile und in der durch j markirten Kolonne (oder Spalte) — wären die Elemente i, j die natürlichen Zahlen, so könnten wir kürzer sagen: in der iten Zeile und in der jten Kolonne. Obwohl, wie bereits erklärt, die Voraussetzung einer bestimmten Reihenfolge oder Anordnung schon bei den Elementen des ersten, nicht minder also auch bei den Elementepaaren des zweiten Denk- bereichs den Schlüssen der Theorie nicht zugrunde gelegt werden darf, wollen wir doch der Übersicht und der Bequemlichkeit der Ausdrucks- weise zuliebe die vorstehenden Redensarten acceptiren: Soll von solchen individuellen Relativen i : j, i : h, i : k, … ge- sprochen werden, welche im Relate übereinstimmen, so werden wir häufig sagen, dass sie aus derselben Horizontalreihe oder Zeile stammen, und „die zu i gehörige Zeile“ der Tafel 12 selbst wird uns dann eben einfach bedeuten: die Gesamtheit (identische Summe) aller der Elemente- paare unsres zweiten Denkbereichs, welche i zum Relate haben. Ebenso werden alle Elementepaare i : j, h : j, k : j, …, die im Korre- late übereinstimmen, von uns der nämlichen Vertikalreihe oder Kolonne zugewiesen. Und wir unterscheiden demgemäss in unsrer Tafel 12

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/25>, abgerufen am 21.11.2024.