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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Sechste Vorlesung.

an die erste Stelle -- falls keiner vorkam, hier einen Horizontalstrich an-
bringend. Ebenso vereinige man alle etwa vorkommenden Nullen zu einer
einzigen 0, welche an die letzte oder fünfte Stelle des Schema's für x zu
setzen. Ein etwaiges bn an der dritten Stelle verwandle man ebenda in b,
und ein allenfalls vorkommendes gn an der vierten Stelle schreibe man in
ein a verwandelt an die zweite Stelle, ebenso ein an von der zweiten als g
an die vierte Stelle. Kommt im Schema von f(u) ein an an der zweiten
neben g an der vierten Stelle vor, so notire man blos letztres an vierter
Stelle und markire die zweite Stelle durch einen Horizontalstrich; die
Kategorie der einlückigen Zeilen a ist dann in x jedenfalls unvertreten, und
die anscheinend doppelt (durch an und g) vertretene Kategorie der einfach
besetzten Zeilen von f(u) ist dann, weil die Vertretung von a in u doch
auch blos eine eventuelle gewesen, nur einfach (simply) irgendwie ver-
treten -- wie denn eine analoge Bemerkung inbezug auf die eventuell durch
mehrere Einser resp. Nullen vertretenen Voll- resp. Leerzeilen von x zu
machen wäre. Ebenso, falls neben a auch gn in f(u) zu erblicken sein sollte,
notire man für x blos a an der zweiten Stelle und versehe die vierte mit
einem Horizontalstrich.

Auf diese Weise ergibt sich auch für x ein geordnetes Schema, welches
in der typischen Form
x = 1abg0
die in x eventuell vertretenen Zeilenkategorien aufzeigt, bei welchem aber
gewisse von den fünf Ziffern nicht angeführt, sondern durch einen Hori-
zontalstrich ersetzt sein werden, weil die denselben entsprechenden Zeilen-
kategorien kraft der Relation x = f(u) in x notwendig fehlen.

Nun haben wir oben hinsichtlich einer jeden der fünf Kategorien die
Bedingung dafür aufgestellt, dass dieselbe in einem Relativ a unvertreten
sei oder fehle.

Hebt man aus diesen fünf Bedingungen 38) für a diejenigen hervor,
welche das Fehlen einer Kategorie ausdrücken, die in dem vorstehenden
Schema des x durch einen Horizontalstrich vertreten ist, sagt in ihnen x
für a und bildet ihre vereinigte Gleichung, so ist ebendiese
F(x) = 0
die gesuchte Resultante der Elimination des u aus der Gleichung f(u) = x.
Und zwar ist sie nicht etwa blos, weil notwendig erfüllt, "eine" gültige
Resultante, sondern zuverlässig "die" vollständige Resultante, weil in jedem
Falle leicht zu sehen und anzugeben (aber nur umständlich allgemein zu
beschreiben) ist, wie man die Zeilen des u hätte annehmen können, um
irgend einen gewünschten von den überhaupt zulässigen Werten des x als
den Wert von f(u) zu erhalten. [Zu dem Ende braucht man von den
allfällig in eine mehrfach vertretene Kategorie des x übergehenden Kate-
gorien von Zeilen des u immer nur eine einzige in freier Wahl beizu-
behalten -- die andern von ihnen in u als unvertreten voraussetzend --
und diese eine so anzunehmen, dass sie bei der Verwandlung, die ihr die
Bildung von f(u) auferlegt, gerade die gewünschte Zeilenkategorie des x
liefert].

Sechste Vorlesung.

an die erste Stelle — falls keiner vorkam, hier einen Horizontalstrich an-
bringend. Ebenso vereinige man alle etwa vorkommenden Nullen zu einer
einzigen 0, welche an die letzte oder fünfte Stelle des Schema’s für x zu
setzen. Ein etwaiges β̄ an der dritten Stelle verwandle man ebenda in β,
und ein allenfalls vorkommendes γ̄ an der vierten Stelle schreibe man in
ein α verwandelt an die zweite Stelle, ebenso ein ᾱ von der zweiten als γ
an die vierte Stelle. Kommt im Schema von f(u) ein ᾱ an der zweiten
neben γ an der vierten Stelle vor, so notire man blos letztres an vierter
Stelle und markire die zweite Stelle durch einen Horizontalstrich; die
Kategorie der einlückigen Zeilen α ist dann in x jedenfalls unvertreten, und
die anscheinend doppelt (durch ᾱ und γ) vertretene Kategorie der einfach
besetzten Zeilen von f(u) ist dann, weil die Vertretung von α in u doch
auch blos eine eventuelle gewesen, nur einfach (simply) irgendwie ver-
treten — wie denn eine analoge Bemerkung inbezug auf die eventuell durch
mehrere Einser resp. Nullen vertretenen Voll- resp. Leerzeilen von x zu
machen wäre. Ebenso, falls neben α auch γ̄ in f(u) zu erblicken sein sollte,
notire man für x blos α an der zweiten Stelle und versehe die vierte mit
einem Horizontalstrich.

Auf diese Weise ergibt sich auch für x ein geordnetes Schema, welches
in der typischen Form
x = 1αβγ0
die in x eventuell vertretenen Zeilenkategorien aufzeigt, bei welchem aber
gewisse von den fünf Ziffern nicht angeführt, sondern durch einen Hori-
zontalstrich ersetzt sein werden, weil die denselben entsprechenden Zeilen-
kategorien kraft der Relation x = f(u) in x notwendig fehlen.

Nun haben wir oben hinsichtlich einer jeden der fünf Kategorien die
Bedingung dafür aufgestellt, dass dieselbe in einem Relativ a unvertreten
sei oder fehle.

Hebt man aus diesen fünf Bedingungen 38) für a diejenigen hervor,
welche das Fehlen einer Kategorie ausdrücken, die in dem vorstehenden
Schema des x durch einen Horizontalstrich vertreten ist, sagt in ihnen x
für a und bildet ihre vereinigte Gleichung, so ist ebendiese
F(x) = 0
die gesuchte Resultante der Elimination des u aus der Gleichung f(u) = x.
Und zwar ist sie nicht etwa blos, weil notwendig erfüllt, „eine“ gültige
Resultante, sondern zuverlässig „die“ vollständige Resultante, weil in jedem
Falle leicht zu sehen und anzugeben (aber nur umständlich allgemein zu
beschreiben) ist, wie man die Zeilen des u hätte annehmen können, um
irgend einen gewünschten von den überhaupt zulässigen Werten des x als
den Wert von f(u) zu erhalten. [Zu dem Ende braucht man von den
allfällig in eine mehrfach vertretene Kategorie des x übergehenden Kate-
gorien von Zeilen des u immer nur eine einzige in freier Wahl beizu-
behalten — die andern von ihnen in u als unvertreten voraussetzend —
und diese eine so anzunehmen, dass sie bei der Verwandlung, die ihr die
Bildung von f(u) auferlegt, gerade die gewünschte Zeilenkategorie des x
liefert].

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[238/0252] Sechste Vorlesung. an die erste Stelle — falls keiner vorkam, hier einen Horizontalstrich an- bringend. Ebenso vereinige man alle etwa vorkommenden Nullen zu einer einzigen 0, welche an die letzte oder fünfte Stelle des Schema’s für x zu setzen. Ein etwaiges β̄ an der dritten Stelle verwandle man ebenda in β, und ein allenfalls vorkommendes γ̄ an der vierten Stelle schreibe man in ein α verwandelt an die zweite Stelle, ebenso ein ᾱ von der zweiten als γ an die vierte Stelle. Kommt im Schema von f(u) ein ᾱ an der zweiten neben γ an der vierten Stelle vor, so notire man blos letztres an vierter Stelle und markire die zweite Stelle durch einen Horizontalstrich; die Kategorie der einlückigen Zeilen α ist dann in x jedenfalls unvertreten, und die anscheinend doppelt (durch ᾱ und γ) vertretene Kategorie der einfach besetzten Zeilen von f(u) ist dann, weil die Vertretung von α in u doch auch blos eine eventuelle gewesen, nur einfach (simply) irgendwie ver- treten — wie denn eine analoge Bemerkung inbezug auf die eventuell durch mehrere Einser resp. Nullen vertretenen Voll- resp. Leerzeilen von x zu machen wäre. Ebenso, falls neben α auch γ̄ in f(u) zu erblicken sein sollte, notire man für x blos α an der zweiten Stelle und versehe die vierte mit einem Horizontalstrich. Auf diese Weise ergibt sich auch für x ein geordnetes Schema, welches in der typischen Form x = 1αβγ0 die in x eventuell vertretenen Zeilenkategorien aufzeigt, bei welchem aber gewisse von den fünf Ziffern nicht angeführt, sondern durch einen Hori- zontalstrich ersetzt sein werden, weil die denselben entsprechenden Zeilen- kategorien kraft der Relation x = f(u) in x notwendig fehlen. Nun haben wir oben hinsichtlich einer jeden der fünf Kategorien die Bedingung dafür aufgestellt, dass dieselbe in einem Relativ a unvertreten sei oder fehle. Hebt man aus diesen fünf Bedingungen 38) für a diejenigen hervor, welche das Fehlen einer Kategorie ausdrücken, die in dem vorstehenden Schema des x durch einen Horizontalstrich vertreten ist, sagt in ihnen x für a und bildet ihre vereinigte Gleichung, so ist ebendiese F(x) = 0 die gesuchte Resultante der Elimination des u aus der Gleichung f(u) = x. Und zwar ist sie nicht etwa blos, weil notwendig erfüllt, „eine“ gültige Resultante, sondern zuverlässig „die“ vollständige Resultante, weil in jedem Falle leicht zu sehen und anzugeben (aber nur umständlich allgemein zu beschreiben) ist, wie man die Zeilen des u hätte annehmen können, um irgend einen gewünschten von den überhaupt zulässigen Werten des x als den Wert von f(u) zu erhalten. [Zu dem Ende braucht man von den allfällig in eine mehrfach vertretene Kategorie des x übergehenden Kate- gorien von Zeilen des u immer nur eine einzige in freier Wahl beizu- behalten — die andern von ihnen in u als unvertreten voraussetzend — und diese eine so anzunehmen, dass sie bei der Verwandlung, die ihr die Bildung von f(u) auferlegt, gerade die gewünschte Zeilenkategorie des x liefert].

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 238. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/252>, abgerufen am 23.11.2024.

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