Ich habe zuerst die Formeln 10) durch eine sehr viel mühsamere Untersuchung gewonnen, indem ich der Koeffizientenforderung (der ersten Aufgabe) mittelst arbiträrer Parameter ui j "symmetrisch allgemein" zu ge- nügen suchte. Von dieser Forderung: ai jShbh jShxi hbh j muss ja in der That der allgemeine Koeffizient von x: xi h = ui h + SkPlai k(uni l + bnl k)bh k die "symmetrisch allgemeine Lösung" nach dem unbegrenzten System der Unbekannten xi h vorstellen.
Da es jedoch auch bei diesem Verfahren nicht ganz ohne glückliches Raten abging, will ich den Leser mit dieser meiner Herleitung verschonen und mich mit dem Verweise auf die oben angedeutete Herleitung begnügen.
Zum Schlusse seien noch ein paar Partikularlösungen und Unter- fälle des Problems hervorgehoben.
Als Partikularlösungen, von immerhin noch grosser Allgemeinheit, unsrer zweiten Inversionsprobleme 4) verdienen besondre Beachtung: 19)
[Formel 1]
Namentlich also (für w = 0 resp. 1) genügt x = a ; b immer der ersten Aufgabe 4) sofern sie lösbar, also der Forderung ax ; b.
In der That gilt der Satz: 20)
[Formel 2]
Beweis des ersten: Li j = ai jShbh j, Ri j = Sh kai hbk hbk j. Letz- tere Summe enthält (für h = j) die Terme ai jSkbk j = Li j, q. e. d.
Dass hernach auch der allgemeinere Ausdruck 19) der Forderung unsres Problems genügt, folgt leicht a fortiori.
Schreibt man in 20) -- es ist immer zunächst die erste Formel des Gespannes gemeint -- a ; b für a, so erhält man wegen a ; b 1 ; b, mithin auch a ; b · 1 ; b = a ; b, das Formelgespann: 21)
[Formel 3]
Und nimmt man in 20) a = 1 an, so kommt: 1 ; b 1 ; b ; b. Da aber wegen 1 ; b 1 die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so muss vorstehende die Kraft einer Gleichung haben und gewinnen wir, a für b sagend, den Satz:
Siebente Vorlesung.
Ich habe zuerst die Formeln 10) durch eine sehr viel mühsamere Untersuchung gewonnen, indem ich der Koeffizientenforderung (der ersten Aufgabe) mittelst arbiträrer Parameter ui j „symmetrisch allgemein“ zu ge- nügen suchte. Von dieser Forderung: ai jΣhbh j⋹Σhxi hbh j muss ja in der That der allgemeine Koeffizient von x: xi h = ui h + ΣkΠlai k(ūi l + b̄l k)bh k die „symmetrisch allgemeine Lösung“ nach dem unbegrenzten System der Unbekannten xi h vorstellen.
Da es jedoch auch bei diesem Verfahren nicht ganz ohne glückliches Raten abging, will ich den Leser mit dieser meiner Herleitung verschonen und mich mit dem Verweise auf die oben angedeutete Herleitung begnügen.
Zum Schlusse seien noch ein paar Partikularlösungen und Unter- fälle des Problems hervorgehoben.
Als Partikularlösungen, von immerhin noch grosser Allgemeinheit, unsrer zweiten Inversionsprobleme 4) verdienen besondre Beachtung: 19)
[Formel 1]
Namentlich also (für w = 0 resp. 1) genügt x = a ; b̆ immer der ersten Aufgabe 4) sofern sie lösbar, also der Forderung a ⋹ x ; b.
In der That gilt der Satz: 20)
[Formel 2]
Beweis des ersten: Li j = ai jΣhbh j, Ri j = Σh kai hbk hbk j. Letz- tere Summe enthält (für h = j) die Terme ai jΣkbk j = Li j, q. e. d.
Dass hernach auch der allgemeinere Ausdruck 19) der Forderung unsres Problems genügt, folgt leicht a fortiori.
Schreibt man in 20) — es ist immer zunächst die erste Formel des Gespannes gemeint — a ; b für a, so erhält man wegen a ; b ⋹ 1 ; b, mithin auch a ; b · 1 ; b = a ; b, das Formelgespann: 21)
[Formel 3]
Und nimmt man in 20) a = 1 an, so kommt: 1 ; b ⋹ 1 ; b̆ ; b. Da aber wegen 1 ; b̆ ⋹ 1 die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so muss vorstehende die Kraft einer Gleichung haben und gewinnen wir, a für b sagend, den Satz:
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Siebente Vorlesung.
Ich habe zuerst die Formeln 10) durch eine sehr viel mühsamere
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Aufgabe) mittelst arbiträrer Parameter ui j „symmetrisch allgemein“ zu ge-
nügen suchte. Von dieser Forderung:
ai jΣhbh j⋹Σhxi hbh j
muss ja in der That der allgemeine Koeffizient von x:
xi h = ui h + ΣkΠlai k(ūi l + b̄l k)bh k
die „symmetrisch allgemeine Lösung“ nach dem unbegrenzten System der
Unbekannten xi h vorstellen.
Da es jedoch auch bei diesem Verfahren nicht ganz ohne glückliches
Raten abging, will ich den Leser mit dieser meiner Herleitung verschonen
und mich mit dem Verweise auf die oben angedeutete Herleitung begnügen.
Zum Schlusse seien noch ein paar Partikularlösungen und Unter-
fälle des Problems hervorgehoben.
Als Partikularlösungen, von immerhin noch grosser Allgemeinheit,
unsrer zweiten Inversionsprobleme 4) verdienen besondre Beachtung:
19) [FORMEL]
Namentlich also (für w = 0 resp. 1) genügt x = a ; b̆ immer der
ersten Aufgabe 4) sofern sie lösbar, also der Forderung a ⋹ x ; b.
In der That gilt der Satz:
20) [FORMEL]
Beweis des ersten: Li j = ai jΣhbh j, Ri j = Σh kai hbk hbk j. Letz-
tere Summe enthält (für h = j) die Terme ai jΣkbk j = Li j, q. e. d.
Dass hernach auch der allgemeinere Ausdruck 19) der Forderung
unsres Problems genügt, folgt leicht a fortiori.
Schreibt man in 20) — es ist immer zunächst die erste Formel
des Gespannes gemeint — a ; b für a, so erhält man wegen a ; b ⋹ 1 ; b,
mithin auch a ; b · 1 ; b = a ; b, das Formelgespann:
21) [FORMEL]
Und nimmt man in 20) a = 1 an, so kommt: 1 ; b ⋹ 1 ; b̆ ; b. Da
aber wegen 1 ; b̆ ⋹ 1 die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so muss
vorstehende die Kraft einer Gleichung haben und gewinnen wir, a für b
sagend, den Satz:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 254. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/268>, abgerufen am 25.11.2024.
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