dabei jedes Glied dieser Summe verschwinden. D. h. es ist zu zeigen, dass es ein Wertepaar k, m gibt, für welches bei jedem l: (ai lbl k + bnh k)bh j(ani m + bnm j) = 0 ist. Dies ist in der That bei k = j, m = l der Fall, indem: (ai lbl j + bnh j)bh j(ani l + bnl j) = 0 identisch ist, q. e. d.
Die hiermit bewiesenen Formeln, welche entfernt an die bekannten Schemata (a - b) + b = a und (a + b) - b = a der Arithmetik an- klingen, statuiren: dass die beiden relativen Knüpfungen, als Vor- resp. Nachknüpfungen, mit einem Relativ und dessen Strichkonverse in irgend einer Ordnung hintereinander ausgeführt einander aufheben -- aber nur dann wenn der Operand selbst aus der zuletzt ausgeführten Knüpfung hervorgegangen ist. Es sind hier also drei successive Knüpfungen er- forderlich, damit zwei (successive) von ihnen sich kompensiren. Dies ist leicht zu merken.
Schreibt man im ersten Schema 3) x für a, und setzt beiderseits den Wert a für x ; b aus 1) ein, so gelangt man schnellstens zur Resultante 2).
Entdeckt habe ich die Sätze 3) indem ich umgekehrt verfuhr, näm- lich den Wert von a aus 1) in die schon gerechtfertigte Resultante 2) ein- trug. Dadurch ergeben sich sofort die Formeln 3) -- nur (die obersten) in den Buchstaben x und b statt a und b. Es können aber auch x und b als völlig allgemeine Relative angesehen werden, denn wie immer sie auch gegeben sein mögen, so kann man doch jedenfalls x ; b = a nennen. Dieses Verfahren stellt sich also dar als ein vollgültiger, zugleich heuristischer und jedenfalls -- wenn er auch ein "mittelbarer" zu nennen ist -- als der müheloseste Beweis der Formeln 3) -- "Beweis 2".
Um nunmehr die Resultante 2) zu erfüllen empfiehlt es sich, b will- kürlich zu lassen und derselben durch geeignete Bestimmung von a zu genügen. Dass durch Elimination von a keine Relation für b resul- tiren kann, folgt daraus, dass bei jedem b der Wert a = 0 resp. 1 der Forderung 2) genügt.
Die Bestimmung von a führt zu -- oder beruht auf -- dem Satze: 4)
[Tabelle]
wo die Subsumtionen auch als Gleichungen angesetzt werden dürften. Dieser Satz gibt die allgemeine Wurzel x der Subsumtion oder Gleichung linker- hand zwar richtig an, ausnahmsweise jedoch nicht so, dass auch die Ad- ventivforderung erfüllt wäre.
Die Probe 1 bewährt sich hier sofort auf Grund von 3). Die Probe 2 jedoch ist zu leisten, indem man -- nicht wie sonst immer u = x, sondern
Siebente Vorlesung.
dabei jedes Glied dieser Summe verschwinden. D. h. es ist zu zeigen, dass es ein Wertepaar k, m gibt, für welches bei jedem l: (ai lbl k + b̄h k)bh j(āi m + b̄m j) = 0 ist. Dies ist in der That bei k = j, m = l der Fall, indem: (ai lbl j + b̄h j)bh j(āi l + b̄l j) = 0 identisch ist, q. e. d.
Die hiermit bewiesenen Formeln, welche entfernt an die bekannten Schemata (a - b) + b = a und (a + b) - b = a der Arithmetik an- klingen, statuiren: dass die beiden relativen Knüpfungen, als Vor- resp. Nachknüpfungen, mit einem Relativ und dessen Strichkonverse in irgend einer Ordnung hintereinander ausgeführt einander aufheben — aber nur dann wenn der Operand selbst aus der zuletzt ausgeführten Knüpfung hervorgegangen ist. Es sind hier also drei successive Knüpfungen er- forderlich, damit zwei (successive) von ihnen sich kompensiren. Dies ist leicht zu merken.
Schreibt man im ersten Schema 3) x für a, und setzt beiderseits den Wert a für x ; b aus 1) ein, so gelangt man schnellstens zur Resultante 2).
Entdeckt habe ich die Sätze 3) indem ich umgekehrt verfuhr, näm- lich den Wert von a aus 1) in die schon gerechtfertigte Resultante 2) ein- trug. Dadurch ergeben sich sofort die Formeln 3) — nur (die obersten) in den Buchstaben x und b statt a und b. Es können aber auch x und b als völlig allgemeine Relative angesehen werden, denn wie immer sie auch gegeben sein mögen, so kann man doch jedenfalls x ; b = a nennen. Dieses Verfahren stellt sich also dar als ein vollgültiger, zugleich heuristischer und jedenfalls — wenn er auch ein „mittelbarer“ zu nennen ist — als der müheloseste Beweis der Formeln 3) — „Beweis 2“.
Um nunmehr die Resultante 2) zu erfüllen empfiehlt es sich, b will- kürlich zu lassen und derselben durch geeignete Bestimmung von a zu genügen. Dass durch Elimination von a keine Relation für b resul- tiren kann, folgt daraus, dass bei jedem b der Wert a = 0 resp. 1 der Forderung 2) genügt.
Die Bestimmung von a führt zu — oder beruht auf — dem Satze: 4)
[Tabelle]
wo die Subsumtionen auch als Gleichungen angesetzt werden dürften. Dieser Satz gibt die allgemeine Wurzel x der Subsumtion oder Gleichung linker- hand zwar richtig an, ausnahmsweise jedoch nicht so, dass auch die Ad- ventivforderung erfüllt wäre.
Die Probe 1 bewährt sich hier sofort auf Grund von 3). Die Probe 2 jedoch ist zu leisten, indem man — nicht wie sonst immer u = x, sondern
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Siebente Vorlesung.
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ist. Dies ist in der That bei k = j, m = l der Fall, indem:
(ai lbl j + b̄h j)bh j(āi l + b̄l j) = 0
identisch ist, q. e. d.
Die hiermit bewiesenen Formeln, welche entfernt an die bekannten
Schemata (a - b) + b = a und (a + b) - b = a der Arithmetik an-
klingen, statuiren: dass die beiden relativen Knüpfungen, als Vor- resp.
Nachknüpfungen, mit einem Relativ und dessen Strichkonverse in irgend
einer Ordnung hintereinander ausgeführt einander aufheben — aber nur
dann wenn der Operand selbst aus der zuletzt ausgeführten Knüpfung
hervorgegangen ist. Es sind hier also drei successive Knüpfungen er-
forderlich, damit zwei (successive) von ihnen sich kompensiren. Dies
ist leicht zu merken.
Schreibt man im ersten Schema 3) x für a, und setzt beiderseits den
Wert a für x ; b aus 1) ein, so gelangt man schnellstens zur Resultante 2).
Entdeckt habe ich die Sätze 3) indem ich umgekehrt verfuhr, näm-
lich den Wert von a aus 1) in die schon gerechtfertigte Resultante 2) ein-
trug. Dadurch ergeben sich sofort die Formeln 3) — nur (die obersten) in
den Buchstaben x und b statt a und b. Es können aber auch x und b
als völlig allgemeine Relative angesehen werden, denn wie immer sie auch
gegeben sein mögen, so kann man doch jedenfalls x ; b = a nennen. Dieses
Verfahren stellt sich also dar als ein vollgültiger, zugleich heuristischer
und jedenfalls — wenn er auch ein „mittelbarer“ zu nennen ist — als der
müheloseste Beweis der Formeln 3) — „Beweis 2“.
Um nunmehr die Resultante 2) zu erfüllen empfiehlt es sich, b will-
kürlich zu lassen und derselben durch geeignete Bestimmung von a zu
genügen. Dass durch Elimination von a keine Relation für b resul-
tiren kann, folgt daraus, dass bei jedem b der Wert a = 0 resp. 1 der
Forderung 2) genügt.
Die Bestimmung von a führt zu — oder beruht auf — dem Satze:
4)
wo die Subsumtionen auch als Gleichungen angesetzt werden dürften. Dieser
Satz gibt die allgemeine Wurzel x der Subsumtion oder Gleichung linker-
hand zwar richtig an, ausnahmsweise jedoch nicht so, dass auch die Ad-
ventivforderung erfüllt wäre.
Die Probe 1 bewährt sich hier sofort auf Grund von 3). Die Probe 2
jedoch ist zu leisten, indem man — nicht wie sonst immer u = x, sondern
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 258. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/272>, abgerufen am 18.02.2025.
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