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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Siebente Vorlesung.
Ihr kann in allgemeinster Weise auf das leichteste genügt werden
durch den Ansatz: x = cu, wo u noch unbestimmt ist (zudem auch
durch x selbst ersetzt werden dürfte), und bleibt dann noch der
zweiten Subsumtion in Gestalt der Forderung a cu ; b durch geeig-
nete Bestimmung von u zu genügen.

Wir gelangen somit zu der Hülfsaufgabe: eine Subsumtion der Form
10) acx ; b
nach x allgemein aufzulösen. Diese Aufgabe erscheint als eine Er-
weiterung des zweiten Inversionsproblems, in welches sie ja durch die
Annahme c = 1 ersichtlich übergeht.

Auf das letztre bereits gelöste Problem ist ihre Lösung überraschender-
weise nicht zurückführbar. Dem Mathematiker wäre es geläufig zu sagen:
man brauche blos cx = y zu setzen, aus der Forderung a y ; b gemäss
vorhandenem Schema, 11) des § 18, erst auf die allgemeinste Weise y zu
bestimmen, hernach -- was nach den Regeln des identischen Kalkuls ein
Kinderspiel -- die Gleichung cx = y nach x aufzulösen. Dies scheitert
aber daran, dass in unsrer Disziplin ebendiese Gleichung cx = y eine Re-
sultante der Elimination des x involvirt, nämlich die Bedingung: y c in
sich schliesst. Zufolge dieser ist der Parameter u (oder v) im Ausdruck
der allgemeinen Wurzel y jener Subsumtion a y ; b nicht mehr willkür-
lich, sondern muss er eine gewisse Relation -- die genannte: y c --
erfüllen, und diese Forderung erweist sich auf den ersten Blick als erheb-
lich verwickelter als wie die ursprüngliche Aufgabe. Der Versuch, ihr
selber oder nach und nach ihren Teilforderungen zu genügen, führt allemal
zu einem Zirkel. Es musste also eine selbständige Lösung des Problems
gefunden werden.

Die Lösung ist gegeben durch das Gespann (zum "erweiterten
zweiten" Inversionsprobleme):
11) [Formel 1]
wobei durch die unter den Term b gesetzte 1 resp. 0 eine zweite sonst
völlig gleichlautende Lösungsform mitangeführt ist, in der nur jener
Term durch diese 1 etc. ersetzt zu denken. Diese "untere" Lösungs-
form 11) ist jedoch die minder gute.


Siebente Vorlesung.
Ihr kann in allgemeinster Weise auf das leichteste genügt werden
durch den Ansatz: x = cu, wo u noch unbestimmt ist (zudem auch
durch x selbst ersetzt werden dürfte), und bleibt dann noch der
zweiten Subsumtion in Gestalt der Forderung a ⋹ cu ; b durch geeig-
nete Bestimmung von u zu genügen.

Wir gelangen somit zu der Hülfsaufgabe: eine Subsumtion der Form
10) a⋹cx ; b
nach x allgemein aufzulösen. Diese Aufgabe erscheint als eine Er-
weiterung des zweiten Inversionsproblems, in welches sie ja durch die
Annahme c = 1 ersichtlich übergeht.

Auf das letztre bereits gelöste Problem ist ihre Lösung überraschender-
weise nicht zurückführbar. Dem Mathematiker wäre es geläufig zu sagen:
man brauche blos cx = y zu setzen, aus der Forderung a ⋹ y ; b gemäss
vorhandenem Schema, 11) des § 18, erst auf die allgemeinste Weise y zu
bestimmen, hernach — was nach den Regeln des identischen Kalkuls ein
Kinderspiel — die Gleichung cx = y nach x aufzulösen. Dies scheitert
aber daran, dass in unsrer Disziplin ebendiese Gleichung cx = y eine Re-
sultante der Elimination des x involvirt, nämlich die Bedingung: y ⋹ c in
sich schliesst. Zufolge dieser ist der Parameter u (oder v) im Ausdruck
der allgemeinen Wurzel y jener Subsumtion a ⋹ y ; b nicht mehr willkür-
lich, sondern muss er eine gewisse Relation — die genannte: y ⋹ c —
erfüllen, und diese Forderung erweist sich auf den ersten Blick als erheb-
lich verwickelter als wie die ursprüngliche Aufgabe. Der Versuch, ihr
selber oder nach und nach ihren Teilforderungen zu genügen, führt allemal
zu einem Zirkel. Es musste also eine selbständige Lösung des Problems
gefunden werden.

Die Lösung ist gegeben durch das Gespann (zum „erweiterten
zweiten“ Inversionsprobleme):
11) [Formel 1]
wobei durch die unter den Term b̆ gesetzte 1 resp. 0 eine zweite sonst
völlig gleichlautende Lösungsform mitangeführt ist, in der nur jener
Term durch diese 1 etc. ersetzt zu denken. Diese „untere“ Lösungs-
form 11) ist jedoch die minder gute.


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[262/0276] Siebente Vorlesung. Ihr kann in allgemeinster Weise auf das leichteste genügt werden durch den Ansatz: x = cu, wo u noch unbestimmt ist (zudem auch durch x selbst ersetzt werden dürfte), und bleibt dann noch der zweiten Subsumtion in Gestalt der Forderung a ⋹ cu ; b durch geeig- nete Bestimmung von u zu genügen. Wir gelangen somit zu der Hülfsaufgabe: eine Subsumtion der Form 10) a⋹cx ; b nach x allgemein aufzulösen. Diese Aufgabe erscheint als eine Er- weiterung des zweiten Inversionsproblems, in welches sie ja durch die Annahme c = 1 ersichtlich übergeht. Auf das letztre bereits gelöste Problem ist ihre Lösung überraschender- weise nicht zurückführbar. Dem Mathematiker wäre es geläufig zu sagen: man brauche blos cx = y zu setzen, aus der Forderung a ⋹ y ; b gemäss vorhandenem Schema, 11) des § 18, erst auf die allgemeinste Weise y zu bestimmen, hernach — was nach den Regeln des identischen Kalkuls ein Kinderspiel — die Gleichung cx = y nach x aufzulösen. Dies scheitert aber daran, dass in unsrer Disziplin ebendiese Gleichung cx = y eine Re- sultante der Elimination des x involvirt, nämlich die Bedingung: y ⋹ c in sich schliesst. Zufolge dieser ist der Parameter u (oder v) im Ausdruck der allgemeinen Wurzel y jener Subsumtion a ⋹ y ; b nicht mehr willkür- lich, sondern muss er eine gewisse Relation — die genannte: y ⋹ c — erfüllen, und diese Forderung erweist sich auf den ersten Blick als erheb- lich verwickelter als wie die ursprüngliche Aufgabe. Der Versuch, ihr selber oder nach und nach ihren Teilforderungen zu genügen, führt allemal zu einem Zirkel. Es musste also eine selbständige Lösung des Problems gefunden werden. Die Lösung ist gegeben durch das Gespann (zum „erweiterten zweiten“ Inversionsprobleme): 11) [FORMEL] wobei durch die unter den Term b̆ gesetzte 1 resp. 0 eine zweite sonst völlig gleichlautende Lösungsform mitangeführt ist, in der nur jener Term durch diese 1 etc. ersetzt zu denken. Diese „untere“ Lösungs- form 11) ist jedoch die minder gute.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 262. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/276>, abgerufen am 26.11.2024.