Um beim ersten Probleme für gegebne Relative a, b und ein beliebig angenommenes u die Wurzel x zu "berechnen", muss man hienach zuerst (an j bn) ; b herstellen, dasselbe zu un identisch addiren, zur Summe relativ bn (nach-)addiren, das Ergebniss mit a ; b zum Schnitt bringen, dies Resultat mit b (oder 1) relativ nachmultipliziren, das neue Ergebniss mit u in iden- tischer Addition zusammenschlagen und die Summe mit a ; b j bn, dem Negate des zuerst hergestellten Relativs, identisch multipliziren, schneiden.
Es ist förderlich, hiemit die beiden Proben zu machen. Behufs Probe 2 muss unter der Annahme, dass x ; b = a ; b sei, die Lösung sich für u = x bewahrheiten. Wegen x ; ba ; b, xa ; b j bn ist dann aber x · (an j bn) ; b = 0 und folglich xn + (an j bn) ; b = xn. Wegen a ; bx ; b ist ferner (a ; b)(xn j bn) = 0 und bleibt x = (a ; b j bn)x, was ersichtlich gilt.
Behufs Probe 1 sieht man -- unter x den Ausdruck der allgemeinen Wurzel mit beliebigem u verstanden -- sofort dass x ; b (a ; b j bn) ; b, also x ; ba ; b sein wird -- nach 5) des § 6, weil a ; b j bn ein Faktor von x ist, und wegen 3). Um nachzuweisen, dass aber auch umgekehrt a ; bx ; b ist, bilde man unter Ausmultipliziren der viereckigen Klammer [] dieses x ; b und nenne das erste Glied davon (a ; b j bn) u ; b = c. Dann lässt sich auch das andre Glied, in dem cn vorkommt, sehr viel einfacher schreiben und entsteht: x ; b = c + (a ; b j bn){(a ; b)cn ; b} ; b. Dass diesem a ; b eingeordnet sei, deckt sich mit der Behauptung, dass (a ; b)cn dem zweiten Gliede eingeordnet. Nennen wir aber dieses (a ; b)cn = d, so ist d = (a ; b)d und zu zeigen dass d (a ; b j bn)(d ; b) ; b sei, was nach dem Schema 12) mit (a ; b)d (d ; b)a ; b wegen aa ; b j bn a fortiori folgt, q. e. d.
Es ist also unser x, oben, der allgemeinste Ausdruck welcher, mit b relativ nachmultiplizirt, a ; b liefert. Drücken wir letzteres durch eine Formel aus, indem wir noch c für u schreiben, so erhalten wir das Gespann von Sätzen:
Siebente Vorlesung.
19)
[Formel 1]
.
Um beim ersten Probleme für gegebne Relative a, b und ein beliebig angenommenes u die Wurzel x zu „berechnen“, muss man hienach zuerst (ā ɟ b̄) ; b̆ herstellen, dasselbe zu ū identisch addiren, zur Summe relativ b̄ (nach-)addiren, das Ergebniss mit a ; b zum Schnitt bringen, dies Resultat mit b̆ (oder 1) relativ nachmultipliziren, das neue Ergebniss mit u in iden- tischer Addition zusammenschlagen und die Summe mit a ; b ɟ b̄̆, dem Negate des zuerst hergestellten Relativs, identisch multipliziren, schneiden.
Es ist förderlich, hiemit die beiden Proben zu machen. Behufs Probe 2 muss unter der Annahme, dass x ; b = a ; b sei, die Lösung sich für u = x bewahrheiten. Wegen x ; b ⋹ a ; b, x ⋹ a ; b ɟ b̄̆ ist dann aber x · (ā ɟ b̄) ; b̆ = 0 und folglich x̄ + (ā ɟ b̄) ; b̆ = x̄. Wegen a ; b ⋹ x ; b ist ferner (a ; b)(x̄ ɟ b̄) = 0 und bleibt x = (a ; b ɟ b̄̆)x, was ersichtlich gilt.
Behufs Probe 1 sieht man — unter x den Ausdruck der allgemeinen Wurzel mit beliebigem u verstanden — sofort dass x ; b ⋹ (a ; b ɟ b̄̆) ; b, also x ; b ⋹ a ; b sein wird — nach 5) des § 6, weil a ; b ɟ b̄̆ ein Faktor von x ist, und wegen 3). Um nachzuweisen, dass aber auch umgekehrt a ; b ⋹ x ; b ist, bilde man unter Ausmultipliziren der viereckigen Klammer [] dieses x ; b und nenne das erste Glied davon (a ; b ɟ b̄̆) u ; b = c. Dann lässt sich auch das andre Glied, in dem c̄ vorkommt, sehr viel einfacher schreiben und entsteht: x ; b = c + (a ; b ɟ b̄̆){(a ; b)c̄ ; b̆} ; b. Dass diesem a ; b eingeordnet sei, deckt sich mit der Behauptung, dass (a ; b)c̄ dem zweiten Gliede eingeordnet. Nennen wir aber dieses (a ; b)c̄ = d, so ist d = (a ; b)d und zu zeigen dass d ⋹ (a ; b ɟ b̄̆)(d ; b̆) ; b sei, was nach dem Schema 12) mit (a ; b)d ⋹ (d ; b̆)a ; b wegen a ⋹ a ; b ɟ b̄̆ a fortiori folgt, q. e. d.
Es ist also unser x, oben, der allgemeinste Ausdruck welcher, mit b relativ nachmultiplizirt, a ; b liefert. Drücken wir letzteres durch eine Formel aus, indem wir noch c für u schreiben, so erhalten wir das Gespann von Sätzen:
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Siebente Vorlesung.
19) [FORMEL].
Um beim ersten Probleme für gegebne Relative a, b und ein beliebig
angenommenes u die Wurzel x zu „berechnen“, muss man hienach zuerst
(ā ɟ b̄) ; b̆ herstellen, dasselbe zu ū identisch addiren, zur Summe relativ b̄
(nach-)addiren, das Ergebniss mit a ; b zum Schnitt bringen, dies Resultat
mit b̆ (oder 1) relativ nachmultipliziren, das neue Ergebniss mit u in iden-
tischer Addition zusammenschlagen und die Summe mit a ; b ɟ b̄̆, dem Negate
des zuerst hergestellten Relativs, identisch multipliziren, schneiden.
Es ist förderlich, hiemit die beiden Proben zu machen. Behufs Probe 2
muss unter der Annahme, dass x ; b = a ; b sei, die Lösung sich für u = x
bewahrheiten. Wegen x ; b ⋹ a ; b, x ⋹ a ; b ɟ b̄̆ ist dann aber x · (ā ɟ b̄) ; b̆ = 0
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und bleibt x = (a ; b ɟ b̄̆)x, was ersichtlich gilt.
Behufs Probe 1 sieht man — unter x den Ausdruck der allgemeinen
Wurzel mit beliebigem u verstanden — sofort dass x ; b ⋹ (a ; b ɟ b̄̆) ; b,
also x ; b ⋹ a ; b sein wird — nach 5) des § 6, weil a ; b ɟ b̄̆ ein Faktor
von x ist, und wegen 3). Um nachzuweisen, dass aber auch umgekehrt
a ; b ⋹ x ; b ist, bilde man unter Ausmultipliziren der viereckigen Klammer []
dieses x ; b und nenne das erste Glied davon (a ; b ɟ b̄̆) u ; b = c. Dann
lässt sich auch das andre Glied, in dem c̄ vorkommt, sehr viel einfacher
schreiben und entsteht:
x ; b = c + (a ; b ɟ b̄̆){(a ; b)c̄ ; b̆} ; b.
Dass diesem a ; b eingeordnet sei, deckt sich mit der Behauptung, dass
(a ; b)c̄ dem zweiten Gliede eingeordnet. Nennen wir aber dieses (a ; b)c̄ = d,
so ist d = (a ; b)d und zu zeigen dass d ⋹ (a ; b ɟ b̄̆)(d ; b̆) ; b sei, was
nach dem Schema 12) mit
(a ; b)d ⋹ (d ; b̆)a ; b wegen a ⋹ a ; b ɟ b̄̆
a fortiori folgt, q. e. d.
Es ist also unser x, oben, der allgemeinste Ausdruck welcher,
mit b relativ nachmultiplizirt, a ; b liefert. Drücken wir letzteres durch
eine Formel aus, indem wir noch c für u schreiben, so erhalten wir
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 266. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/280>, abgerufen am 18.02.2025.
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