Die Matrix von d setzt sich zusammen aus einem System von Voll- zeilen verbunden mit einem System von Vollkolonnen, und zwar entspringen die Vollzeilen von d aus den besetzten Zeilen von a, die Vollkolonnen von d aus den besetzten Kolonnen von b.
Es lässt sich zeigen, dass die vorstehend betonten Eigenschaften: 5)
Pi j h k(ci jch k = ci kch j)
Pi j h k(dni jdnh k = dni kdnh j) oder:
Pi j h k(di j + dh k = di k + dh j)
charakteristisch für Relative von der Entstehungsweise unsres c und d sind.
Dies braucht blos für b gezeigt zu werden, weil d sich offenbar als Negat eines für an, bn gebildeten c ansehen lässt.
Gilt nun also für ein irgendwie gegebnes Relativ c stets: ci jch k = ci kch j, so muss gezeigt werden, dass c sich als (a j 0)(0 j b) für ein gewisses Paar von Relativen a und b darstellen lässt.
Dies gelingt mit der Annahme a = c ; 1, b = 1 ; c, wo dann nach 16) des § 15: a j 0 = c ; 1 j 0 = c ; 1, 0 j b = 0 j 1 ; c = 1 ; c, somit (a j 0)(0 j b) = c ; 1 ; c, {(a j 0)(0 j b)}i j = Sh kci hck j laut Hypothesis = Sh kci jch k = ci jSh kch k = ci j sein muss, indem unter den Gliedern der Sh k sich auch ci j selbst befindet. Somit ist in der That für die genannten Werte von a und b bewiesen, dass c = (a j 0)(0 j b).
Wir wollen demgemäss die provisorisch als Erzeugniss von "Transoperationen" eingeführten Relative von den Sorten c und d hin- fort als Quaderrelative bezeichnen.
Und zwar soll ein Relativ von der Form c = (a j 0)(0 j b) ein Augenquaderrelativ heissen [genauer: das Augenquaderrelativ zu a und b, während das Augenquaderrelativ "zu a und a", nämlich (a j 0)(0 j a), kürzer blos das Augenquaderrelativ "zu a" genannt werde].
Desgleichen soll ein Relativ von der Form d = a ; 1 + 1 ; b ein Lückenquaderrelativ heissen (genauer: etc.).
Unter einem Stellenquader verstehn wir dabei ein System von vier solchen Stellen, welche die Ecken eines Reihenrechtecks bilden, in denen also irgend zwei Zeilen mit irgend zwei Kolonnen zusammen- treffen.
Grenzfälle des Augenquaderrelativs sind: 0 selbst, ferner ein Relativ, welches blos ein Auge und sonst lauter Leerstellen hat (Einauge), weiter ein solches, das zwei oder mehr in einer (sei es Horizontal- sei es Vertikal-) Flucht stehende Augen und sonst lauter Leerstellen hat. In diesen Aus-
§ 20. Die Quaderrelative.
Die Matrix von d setzt sich zusammen aus einem System von Voll- zeilen verbunden mit einem System von Vollkolonnen, und zwar entspringen die Vollzeilen von d aus den besetzten Zeilen von a, die Vollkolonnen von d aus den besetzten Kolonnen von b.
Es lässt sich zeigen, dass die vorstehend betonten Eigenschaften: 5)
Πi j h k(ci jch k = ci kch j)
Πi j h k(d̄i jd̄h k = d̄i kd̄h j) oder:
Πi j h k(di j + dh k = di k + dh j)
charakteristisch für Relative von der Entstehungsweise unsres c und d sind.
Dies braucht blos für b gezeigt zu werden, weil d sich offenbar als Negat eines für ā, b̄ gebildeten c ansehen lässt.
Gilt nun also für ein irgendwie gegebnes Relativ c stets: ci jch k = ci kch j, so muss gezeigt werden, dass c sich als (a ɟ 0)(0 ɟ b) für ein gewisses Paar von Relativen a und b darstellen lässt.
Dies gelingt mit der Annahme a = c ; 1, b = 1 ; c, wo dann nach 16) des § 15: a ɟ 0 = c ; 1 ɟ 0 = c ; 1, 0 ɟ b = 0 ɟ 1 ; c = 1 ; c, somit (a ɟ 0)(0 ɟ b) = c ; 1 ; c, {(a ɟ 0)(0 ɟ b)}i j = Σh kci hck j laut Hypothesis = Σh kci jch k = ci jΣh kch k = ci j sein muss, indem unter den Gliedern der Σh k sich auch ci j selbst befindet. Somit ist in der That für die genannten Werte von a und b bewiesen, dass c = (a ɟ 0)(0 ɟ b).
Wir wollen demgemäss die provisorisch als Erzeugniss von „Transoperationen“ eingeführten Relative von den Sorten c und d hin- fort als Quaderrelative bezeichnen.
Und zwar soll ein Relativ von der Form c = (a ɟ 0)(0 ɟ b) ein Augenquaderrelativ heissen [genauer: das Augenquaderrelativ zu a und b, während das Augenquaderrelativ „zu a und a“, nämlich (a ɟ 0)(0 ɟ a), kürzer blos das Augenquaderrelativ „zu a“ genannt werde].
Desgleichen soll ein Relativ von der Form d = a ; 1 + 1 ; b ein Lückenquaderrelativ heissen (genauer: etc.).
Unter einem Stellenquader verstehn wir dabei ein System von vier solchen Stellen, welche die Ecken eines Reihenrechtecks bilden, in denen also irgend zwei Zeilen mit irgend zwei Kolonnen zusammen- treffen.
Grenzfälle des Augenquaderrelativs sind: 0 selbst, ferner ein Relativ, welches blos ein Auge und sonst lauter Leerstellen hat (Einauge), weiter ein solches, das zwei oder mehr in einer (sei es Horizontal- sei es Vertikal-) Flucht stehende Augen und sonst lauter Leerstellen hat. In diesen Aus-
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§ 20. Die Quaderrelative.
Die Matrix von d setzt sich zusammen aus einem System von Voll-
zeilen verbunden mit einem System von Vollkolonnen, und zwar entspringen
die Vollzeilen von d aus den besetzten Zeilen von a, die Vollkolonnen
von d aus den besetzten Kolonnen von b.
Es lässt sich zeigen, dass die vorstehend betonten Eigenschaften:
5) Πi j h k(ci jch k = ci kch j) Πi j h k(d̄i jd̄h k = d̄i kd̄h j) oder:
Πi j h k(di j + dh k = di k + dh j)
charakteristisch für Relative von der Entstehungsweise unsres c und d sind.
Dies braucht blos für b gezeigt zu werden, weil d sich offenbar als
Negat eines für ā, b̄ gebildeten c ansehen lässt.
Gilt nun also für ein irgendwie gegebnes Relativ c stets: ci jch k = ci kch j,
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von Relativen a und b darstellen lässt.
Dies gelingt mit der Annahme
a = c ; 1, b = 1 ; c,
wo dann nach 16) des § 15:
a ɟ 0 = c ; 1 ɟ 0 = c ; 1, 0 ɟ b = 0 ɟ 1 ; c = 1 ; c,
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(a ɟ 0)(0 ɟ b) = c ; 1 ; c,
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sein muss, indem unter den Gliedern der Σh k sich auch ci j selbst befindet.
Somit ist in der That für die genannten Werte von a und b bewiesen, dass
c = (a ɟ 0)(0 ɟ b).
Wir wollen demgemäss die provisorisch als Erzeugniss von
„Transoperationen“ eingeführten Relative von den Sorten c und d hin-
fort als Quaderrelative bezeichnen.
Und zwar soll ein Relativ von der Form c = (a ɟ 0)(0 ɟ b) ein
Augenquaderrelativ heissen [genauer: das Augenquaderrelativ zu a und b,
während das Augenquaderrelativ „zu a und a“, nämlich (a ɟ 0)(0 ɟ a),
kürzer blos das Augenquaderrelativ „zu a“ genannt werde].
Desgleichen soll ein Relativ von der Form d = a ; 1 + 1 ; b ein
Lückenquaderrelativ heissen (genauer: etc.).
Unter einem Stellenquader verstehn wir dabei ein System von vier
solchen Stellen, welche die Ecken eines Reihenrechtecks bilden, in
denen also irgend zwei Zeilen mit irgend zwei Kolonnen zusammen-
treffen.
Grenzfälle des Augenquaderrelativs sind: 0 selbst, ferner ein Relativ,
welches blos ein Auge und sonst lauter Leerstellen hat (Einauge), weiter
ein solches, das zwei oder mehr in einer (sei es Horizontal- sei es Vertikal-)
Flucht stehende Augen und sonst lauter Leerstellen hat. In diesen Aus-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 281. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/295>, abgerufen am 16.06.2024.
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