Der Versuch, der Resultante 39) durch symmetrische Bestimmung der vier Koeffizienten a, b, c, d in ebensovielen unbestimmten Para- metern allgemein Genüge zu leisten, führt zu einem eleganten Theo- reme, welches wir vorweg statuiren wollen:
Die Gleichung 33) axx + bxxn + cxnx + dxnxn = 0 ist im Allgemeinen absurd, kann keine Wurzel x haben, sie wird erst durch Multiplikation mit 51) M = anan + 0'(bncn + bncn) + dndn zu einer nach x lösbaren, deren Bestehen möglich ist; und sie war es von vornherein stets dann und nur dann, wenn 52) a + b + c + dM ist, d. h. wenn Multiplikation mit M die sämtlichen Koeffizienten der Gleichung ungeändert lässt.
Dieses M könnte füglich -- in Analogie zum "integrirenden Faktor" bei Differentialgleichungen -- als ein "solvirender (oder resolvirender) Faktor" der Gleichung bezeichnet werden.
Um zunächst den letzten Teil der Behauptung unsres Theorems (vom ; ab) zu beweisen, braucht man sich blos zu überzeugen, dass obige Sub- sumtion vom Prädikate M mit unsrer Resultante 39) äquivalent ist. Zu dem Ende wird man die Subsumtion rechts auf 0 bringen. Man erhält: 53) (a + b + c + d)(a + a){1' + (b + c)(b + c)}(d + d) = 0, eine Gleichung, welche einerseits offenbar von der Resultante bedingt wird, wie sie andrerseits auch diese nach sich zieht.
Denn da (a + b + c + d)a = a ist, hat sie jedenfalls beim Ausmulti- pliziren linkerhand den Teil der Resultante: a{1' + (b + c)(b + c)}(d + d) = 0 zur Folge, woraus der noch ausstehende Teil dieser: a mal idem = 0 durch Konvertiren hervorgeht, also damit zugleich gewährleistet erscheint.
Um den ersten Teil unsres Theorems zu beweisen, wollen wir demselben eine etwas andre Fassung geben, in welcher er unmittelbar die symmetrisch allgemeine Lösung (nach den Unbekannten a, b, c, d) der Resultante angibt.
Zu dem Ende empfiehlt es sich, einen kleinen Bezeichnungswechsel vorzunehmen, nämlich die bisherigen Koeffizientenausdrücke a, b, d sich ad hoc durch irgend welche andre Namen, wie etwa A, B, D, ersetzt zu denken: um so die Buchstaben a, b, g, d frei zu bekommen zur Bezeichnung der willkürlichen Parameter, welche unsern Un- bekannten a, b, c, d zu entsprechen haben.
§ 21. Solvirender Faktor.
Der Versuch, der Resultante 39) durch symmetrische Bestimmung der vier Koeffizienten a, b, c, d in ebensovielen unbestimmten Para- metern allgemein Genüge zu leisten, führt zu einem eleganten Theo- reme, welches wir vorweg statuiren wollen:
Die Gleichung 33) axx̆ + bxx̄̆ + cx̄x̆ + dx̄x̄̆ = 0 ist im Allgemeinen absurd, kann keine Wurzel x haben, sie wird erst durch Multiplikation mit 51) M = āā̆ + 0'(b̄c̄̆ + b̄̆c̄) + d̄d̄̆ zu einer nach x lösbaren, deren Bestehen möglich ist; und sie war es von vornherein stets dann und nur dann, wenn 52) a + b + c + d ⋹ M ist, d. h. wenn Multiplikation mit M die sämtlichen Koeffizienten der Gleichung ungeändert lässt.
Dieses M könnte füglich — in Analogie zum „integrirenden Faktor“ bei Differentialgleichungen — als ein „solvirender (oder resolvirender) Faktor“ der Gleichung bezeichnet werden.
Um zunächst den letzten Teil der Behauptung unsres Theorems (vom ; ab) zu beweisen, braucht man sich blos zu überzeugen, dass obige Sub- sumtion vom Prädikate M mit unsrer Resultante 39) äquivalent ist. Zu dem Ende wird man die Subsumtion rechts auf 0 bringen. Man erhält: 53) (a + b + c + d)(a + ă){1' + (b + c̆)(b̆ + c)}(d + d̆) = 0, eine Gleichung, welche einerseits offenbar von der Resultante bedingt wird, wie sie andrerseits auch diese nach sich zieht.
Denn da (a + b + c + d)a = a ist, hat sie jedenfalls beim Ausmulti- pliziren linkerhand den Teil der Resultante: a{1' + (b + c̆)(b̆ + c)}(d + d̆) = 0 zur Folge, woraus der noch ausstehende Teil dieser: ă mal idem = 0 durch Konvertiren hervorgeht, also damit zugleich gewährleistet erscheint.
Um den ersten Teil unsres Theorems zu beweisen, wollen wir demselben eine etwas andre Fassung geben, in welcher er unmittelbar die symmetrisch allgemeine Lösung (nach den Unbekannten a, b, c, d) der Resultante angibt.
Zu dem Ende empfiehlt es sich, einen kleinen Bezeichnungswechsel vorzunehmen, nämlich die bisherigen Koeffizientenausdrücke α, β, δ sich ad hoc durch irgend welche andre Namen, wie etwa A, B, D, ersetzt zu denken: um so die Buchstaben α, β, γ, δ frei zu bekommen zur Bezeichnung der willkürlichen Parameter, welche unsern Un- bekannten a, b, c, d zu entsprechen haben.
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§ 21. Solvirender Faktor.
Der Versuch, der Resultante 39) durch symmetrische Bestimmung
der vier Koeffizienten a, b, c, d in ebensovielen unbestimmten Para-
metern allgemein Genüge zu leisten, führt zu einem eleganten Theo-
reme, welches wir vorweg statuiren wollen:
Die Gleichung 33)
axx̆ + bxx̄̆ + cx̄x̆ + dx̄x̄̆ = 0
ist im Allgemeinen absurd, kann keine Wurzel x haben, sie wird erst
durch Multiplikation mit
51) M = āā̆ + 0'(b̄c̄̆ + b̄̆c̄) + d̄d̄̆
zu einer nach x lösbaren, deren Bestehen möglich ist; und sie war es
von vornherein stets dann und nur dann, wenn
52) a + b + c + d ⋹ M
ist, d. h. wenn Multiplikation mit M die sämtlichen Koeffizienten der
Gleichung ungeändert lässt.
Dieses M könnte füglich — in Analogie zum „integrirenden Faktor“
bei Differentialgleichungen — als ein „solvirender (oder resolvirender)
Faktor“ der Gleichung bezeichnet werden.
Um zunächst den letzten Teil der Behauptung unsres Theorems (vom
; ab) zu beweisen, braucht man sich blos zu überzeugen, dass obige Sub-
sumtion vom Prädikate M mit unsrer Resultante 39) äquivalent ist. Zu
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53) (a + b + c + d)(a + ă){1' + (b + c̆)(b̆ + c)}(d + d̆) = 0,
eine Gleichung, welche einerseits offenbar von der Resultante bedingt wird,
wie sie andrerseits auch diese nach sich zieht.
Denn da (a + b + c + d)a = a ist, hat sie jedenfalls beim Ausmulti-
pliziren linkerhand den Teil der Resultante:
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zur Folge, woraus der noch ausstehende Teil dieser: ă mal idem = 0 durch
Konvertiren hervorgeht, also damit zugleich gewährleistet erscheint.
Um den ersten Teil unsres Theorems zu beweisen, wollen wir
demselben eine etwas andre Fassung geben, in welcher er unmittelbar
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der Resultante angibt.
Zu dem Ende empfiehlt es sich, einen kleinen Bezeichnungswechsel
vorzunehmen, nämlich die bisherigen Koeffizientenausdrücke α, β, δ
sich ad hoc durch irgend welche andre Namen, wie etwa A, B, D,
ersetzt zu denken: um so die Buchstaben α, β, γ, δ frei zu bekommen
zur Bezeichnung der willkürlichen Parameter, welche unsern Un-
bekannten a, b, c, d zu entsprechen haben.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 319. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/333>, abgerufen am 23.11.2024.
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