Jener Teil unsres Theorems stellt sich dann so dar. Wird für beliebige a, b, g, d 54) anan + 0'(bngn + bngn) + dndn = m genannt, so ist 55) a = am, b = bm, c = gm, d = dm die Lösung, das allgemeinste System von Wurzeln a, b, c, d unsrer Resultante 39).
Beweis. Probe 1 besteht darin, zu zeigen, dass bei Einsetzung vor- stehender Werte von a, b, c, d (nebst m) in die Resultante 39) dieselbe identisch in a, b, g, d -- als eine allgemeine Formel -- erfüllt ist.
Da augenscheinlich m = m ist, erhalten wir -- zunächst noch unter Beibehaltung des m: (am + am){1' + (bm + gm)(bm + gm)}(dm + dm) = 0, oder m · (a + a){1' + (b + g)(b + g)}(d + d) = 0, was augenscheinlich richtig, indem die linke Seite nichts andres als mmn ist.
Probe 2 verlangt zu zeigen, dass unsre Lösung auch jedes System von Wurzeln der Resultante zu liefern fähig ist. Sei also a, b, c, d irgend ein System von Werten, welches die Resultante erfüllt. Alsdann braucht man, um ebendieses zu erhalten, blos a = a, b = b, g = c und d = d anzunehmen. Dadurch wird m in M übergehen, und dass aus der erfüllten Resultante folgt: aM, bM, cM, dM, somit in der That a = aM, b = bM, c = cM, d = dM wird, haben wir oben schon gezeigt. Somit stimmt auch die Probe 2, oder es ist auch die "Adventivforderung" von unsern Lösungen erfüllt. --
Ich hatte das Theorem systematisch gefunden, indem ich unter Be- nutzung der benötigten von den in Bd. 1 und 2 erledigten Problemen "sym- metrisch allgemeiner Lösungen" zuerst die allgemeinsten Wurzeln A, B, D der Gleichung A(1' + B)D = 0 bestimmte, sodann den Forderungen A = A, D = D Genüge leistete, end- lich die Gleichungen a + a = A, b + c = B, d + d = D nach den Unbekannten linkerhand auflöste.
Doch dürfte es zu weitläufig sein, diesen Gang mit allen seinen Sta- dien hier detaillirt vorzulegen.
Bemerkt mag nur noch werden, dass man die Ausdrücke der beiden Randkoeffizienten -- wenn auch: auf Kosten der Symmetrie hinsichtlich aller vier Koeffizienten -- durch wesentlich einfachere ersetzen, nämlich als das allgemeinste System der Wurzeln auch dieses hinstellen könnte:
Achte Vorlesung.
Jener Teil unsres Theorems stellt sich dann so dar. Wird für beliebige α, β, γ, δ 54) ᾱᾱ̆ + 0'(β̄γ̄̆ + β̄̆γ̄) + δ̄δ̄̆ = μ genannt, so ist 55) a = αμ, b = βμ, c = γμ, d = δμ die Lösung, das allgemeinste System von Wurzeln a, b, c, d unsrer Resultante 39).
Beweis. Probe 1 besteht darin, zu zeigen, dass bei Einsetzung vor- stehender Werte von a, b, c, d (nebst μ) in die Resultante 39) dieselbe identisch in α, β, γ, δ — als eine allgemeine Formel — erfüllt ist.
Da augenscheinlich μ̆ = μ ist, erhalten wir — zunächst noch unter Beibehaltung des μ: (αμ + ᾰμ){1' + (βμ + γ̆μ)(β̆μ + γμ)}(δμ + δ̆μ) = 0, oder μ · (α + ᾰ){1' + (β + γ̆)(β̆ + γ)}(δ + δ̆) = 0, was augenscheinlich richtig, indem die linke Seite nichts andres als μμ̄ ist.
Probe 2 verlangt zu zeigen, dass unsre Lösung auch jedes System von Wurzeln der Resultante zu liefern fähig ist. Sei also a, b, c, d irgend ein System von Werten, welches die Resultante erfüllt. Alsdann braucht man, um ebendieses zu erhalten, blos α = a, β = b, γ = c und δ = d anzunehmen. Dadurch wird μ in M übergehen, und dass aus der erfüllten Resultante folgt: a⋹M, b⋹M, c⋹M, d⋹M, somit in der That a = aM, b = bM, c = cM, d = dM wird, haben wir oben schon gezeigt. Somit stimmt auch die Probe 2, oder es ist auch die „Adventivforderung“ von unsern Lösungen erfüllt. —
Ich hatte das Theorem systematisch gefunden, indem ich unter Be- nutzung der benötigten von den in Bd. 1 und 2 erledigten Problemen „sym- metrisch allgemeiner Lösungen“ zuerst die allgemeinsten Wurzeln A, B, D der Gleichung A(1' + B)D = 0 bestimmte, sodann den Forderungen A = Ă, D = D̆ Genüge leistete, end- lich die Gleichungen a + ă = A, b + c̆ = B, d + d̆ = D nach den Unbekannten linkerhand auflöste.
Doch dürfte es zu weitläufig sein, diesen Gang mit allen seinen Sta- dien hier detaillirt vorzulegen.
Bemerkt mag nur noch werden, dass man die Ausdrücke der beiden Randkoeffizienten — wenn auch: auf Kosten der Symmetrie hinsichtlich aller vier Koeffizienten — durch wesentlich einfachere ersetzen, nämlich als das allgemeinste System der Wurzeln auch dieses hinstellen könnte:
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[320/0334]
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Jener Teil unsres Theorems stellt sich dann so dar. Wird für
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genannt, so ist
55) a = αμ, b = βμ, c = γμ, d = δμ
die Lösung, das allgemeinste System von Wurzeln a, b, c, d unsrer
Resultante 39).
Beweis. Probe 1 besteht darin, zu zeigen, dass bei Einsetzung vor-
stehender Werte von a, b, c, d (nebst μ) in die Resultante 39) dieselbe
identisch in α, β, γ, δ — als eine allgemeine Formel — erfüllt ist.
Da augenscheinlich μ̆ = μ ist, erhalten wir — zunächst noch unter
Beibehaltung des μ:
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was augenscheinlich richtig, indem die linke Seite nichts andres als μμ̄ ist.
Probe 2 verlangt zu zeigen, dass unsre Lösung auch jedes System von
Wurzeln der Resultante zu liefern fähig ist. Sei also a, b, c, d irgend
ein System von Werten, welches die Resultante erfüllt. Alsdann braucht
man, um ebendieses zu erhalten, blos α = a, β = b, γ = c und δ = d
anzunehmen. Dadurch wird μ in M übergehen, und dass aus der erfüllten
Resultante folgt:
a⋹M, b⋹M, c⋹M, d⋹M,
somit in der That a = aM, b = bM, c = cM, d = dM wird, haben wir
oben schon gezeigt. Somit stimmt auch die Probe 2, oder es ist auch die
„Adventivforderung“ von unsern Lösungen erfüllt. —
Ich hatte das Theorem systematisch gefunden, indem ich unter Be-
nutzung der benötigten von den in Bd. 1 und 2 erledigten Problemen „sym-
metrisch allgemeiner Lösungen“ zuerst die allgemeinsten Wurzeln A, B, D
der Gleichung
A(1' + B)D = 0
bestimmte, sodann den Forderungen A = Ă, D = D̆ Genüge leistete, end-
lich die Gleichungen
a + ă = A, b + c̆ = B, d + d̆ = D
nach den Unbekannten linkerhand auflöste.
Doch dürfte es zu weitläufig sein, diesen Gang mit allen seinen Sta-
dien hier detaillirt vorzulegen.
Bemerkt mag nur noch werden, dass man die Ausdrücke der beiden
Randkoeffizienten — wenn auch: auf Kosten der Symmetrie hinsichtlich
aller vier Koeffizienten — durch wesentlich einfachere ersetzen, nämlich als
das allgemeinste System der Wurzeln auch dieses hinstellen könnte:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 320. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/334>, abgerufen am 23.11.2024.
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