a = a(0' + dndn), b = b(anan + dndn + bngn), c = g(anan + dndn + bngn), d = d(0' + anan) und dass es ferner bei b und c gestattet sein würde innerhalb der Klammer das Glied 1' hinzuzufügen -- wofür der Nachweis dem Leser überlassen sei.
§ 22. Zweite Stufe der Auflösungsprobleme in drei Buchstaben. Kettenproblem, Transitivität und anderes.
Die in einer Proposition zwischen drei Buchstaben auf der einen Seite vorkommende Knüpfung sei jetzt eine relative.
Wir haben dann dieselben Haupt- und Unter-Abteilungen der möglichen Auflösungsprobleme wie im vorigen Paragraphen; nur sind die wirklich zu lösenden Aufgaben jetzt zahlreicher, weil einerseits die Knüpfungen nicht mehr kommutativ sind, also Vor- und Nach-Multi- pliziren resp. -Addiren unterschieden werden müssen, und andrerseits auch die Tautologiegesetze, sowie die Formeln xxn = 0, x + xn = 1 zur Reduktion der Aufgaben nicht mehr zur Verfügung stehen.
Sollen namentlich zwei Buchstaben x in eine Knüpfung eingehen, so werden wir durch ein Semikolon oder aber das Pluszeichen verknüpft zu denken haben die beiden Werte eines jeden der 16 Paare: 0)
[Formel 1]
während bei identischer Knüpfung von diesen Paaren sogleich die vier der Hauptdiagonale samt den sechs darüber stehenden in Wegfall kamen.
Ausserdem aber sind die entsprechenden Aufgaben jetzt ungleich schwieriger zu lösende, sodass wir vorerst die Fälle, wo die aufzu- lösende Proposition eine Gleichung ist, beiseite lassen und uns nur mehr mit der Auflösung der (vor- oder rückwärtigen) Subsumtionen beschäftigen wollen.
Die erste Hauptabteilung der Probleme -- denen 8) des § 21 ent- sprechend -- wird gebildet von den acht (resp. -- bei Mitberücksich- tigung auch von Gleichungen -- zwölf) elementaren Inversionsproblemen, denen wir bereits eine eigene (die siebente) Vorlesung gewidmet haben, und welche sonach unter den "einfachsten" Auflösungsproblemen hier systematisch sich einreihen. Diese Probleme gruppirten sich in zwei (resp. drei) Gespanne und dürfen hier als erledigt gelten.
Wenn wir ferner von jedem Gespanne oder Quadrupel von Pro- blemen blos einen Repräsentanten anführen, so umfasst die zweite
Schröder, Algebra der Relative. 21
§ 22. Zweite Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.
a = α(0' + δ̄δ̄̆), b = β(ᾱᾱ̆ + δ̄δ̄̆ + β̄̆γ̄), c = γ(ᾱᾱ̆ + δ̄δ̄̆ + β̄γ̄̆), d = δ(0' + ᾱᾱ̆) und dass es ferner bei b und c gestattet sein würde innerhalb der Klammer das Glied 1' hinzuzufügen — wofür der Nachweis dem Leser überlassen sei.
§ 22. Zweite Stufe der Auflösungsprobleme in drei Buchstaben. Kettenproblem, Transitivität und anderes.
Die in einer Proposition zwischen drei Buchstaben auf der einen Seite vorkommende Knüpfung sei jetzt eine relative.
Wir haben dann dieselben Haupt- und Unter-Abteilungen der möglichen Auflösungsprobleme wie im vorigen Paragraphen; nur sind die wirklich zu lösenden Aufgaben jetzt zahlreicher, weil einerseits die Knüpfungen nicht mehr kommutativ sind, also Vor- und Nach-Multi- pliziren resp. -Addiren unterschieden werden müssen, und andrerseits auch die Tautologiegesetze, sowie die Formeln xx̄ = 0, x + x̄ = 1 zur Reduktion der Aufgaben nicht mehr zur Verfügung stehen.
Sollen namentlich zwei Buchstaben x in eine Knüpfung eingehen, so werden wir durch ein Semikolon oder aber das Pluszeichen verknüpft zu denken haben die beiden Werte eines jeden der 16 Paare: 0)
[Formel 1]
während bei identischer Knüpfung von diesen Paaren sogleich die vier der Hauptdiagonale samt den sechs darüber stehenden in Wegfall kamen.
Ausserdem aber sind die entsprechenden Aufgaben jetzt ungleich schwieriger zu lösende, sodass wir vorerst die Fälle, wo die aufzu- lösende Proposition eine Gleichung ist, beiseite lassen und uns nur mehr mit der Auflösung der (vor- oder rückwärtigen) Subsumtionen beschäftigen wollen.
Die erste Hauptabteilung der Probleme — denen 8) des § 21 ent- sprechend — wird gebildet von den acht (resp. — bei Mitberücksich- tigung auch von Gleichungen — zwölf) elementaren Inversionsproblemen, denen wir bereits eine eigene (die siebente) Vorlesung gewidmet haben, und welche sonach unter den „einfachsten“ Auflösungsproblemen hier systematisch sich einreihen. Diese Probleme gruppirten sich in zwei (resp. drei) Gespanne und dürfen hier als erledigt gelten.
Wenn wir ferner von jedem Gespanne oder Quadrupel von Pro- blemen blos einen Repräsentanten anführen, so umfasst die zweite
Schröder, Algebra der Relative. 21
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§ 22. Zweite Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.
a = α(0' + δ̄δ̄̆), b = β(ᾱᾱ̆ + δ̄δ̄̆ + β̄̆γ̄), c = γ(ᾱᾱ̆ + δ̄δ̄̆ + β̄γ̄̆), d = δ(0' + ᾱᾱ̆)
und dass es ferner bei b und c gestattet sein würde innerhalb der Klammer
das Glied 1' hinzuzufügen — wofür der Nachweis dem Leser überlassen sei.
§ 22. Zweite Stufe der Auflösungsprobleme in drei Buchstaben.
Kettenproblem, Transitivität und anderes.
Die in einer Proposition zwischen drei Buchstaben auf der einen
Seite vorkommende Knüpfung sei jetzt eine relative.
Wir haben dann dieselben Haupt- und Unter-Abteilungen der
möglichen Auflösungsprobleme wie im vorigen Paragraphen; nur sind
die wirklich zu lösenden Aufgaben jetzt zahlreicher, weil einerseits die
Knüpfungen nicht mehr kommutativ sind, also Vor- und Nach-Multi-
pliziren resp. -Addiren unterschieden werden müssen, und andrerseits
auch die Tautologiegesetze, sowie die Formeln xx̄ = 0, x + x̄ = 1 zur
Reduktion der Aufgaben nicht mehr zur Verfügung stehen.
Sollen namentlich zwei Buchstaben x in eine Knüpfung eingehen, so
werden wir durch ein Semikolon oder aber das Pluszeichen verknüpft zu
denken haben die beiden Werte eines jeden der 16 Paare:
0) [FORMEL]
während bei identischer Knüpfung von diesen Paaren sogleich die vier der
Hauptdiagonale samt den sechs darüber stehenden in Wegfall kamen.
Ausserdem aber sind die entsprechenden Aufgaben jetzt ungleich
schwieriger zu lösende, sodass wir vorerst die Fälle, wo die aufzu-
lösende Proposition eine Gleichung ist, beiseite lassen und uns nur
mehr mit der Auflösung der (vor- oder rückwärtigen) Subsumtionen
beschäftigen wollen.
Die erste Hauptabteilung der Probleme — denen 8) des § 21 ent-
sprechend — wird gebildet von den acht (resp. — bei Mitberücksich-
tigung auch von Gleichungen — zwölf) elementaren Inversionsproblemen,
denen wir bereits eine eigene (die siebente) Vorlesung gewidmet haben,
und welche sonach unter den „einfachsten“ Auflösungsproblemen hier
systematisch sich einreihen. Diese Probleme gruppirten sich in zwei
(resp. drei) Gespanne und dürfen hier als erledigt gelten.
Wenn wir ferner von jedem Gespanne oder Quadrupel von Pro-
blemen blos einen Repräsentanten anführen, so umfasst die zweite
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 321. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/335>, abgerufen am 23.11.2024.
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