Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch: (x ; xx) = (x = x + x ; x) ist. Auf demselben Grundgedanken, welcher vorhin Erfolg gewährte, fussend kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form x = u + u ; u angebbar sein muss, mit welcher ja die Probe 2 schon stimmt. Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be- liebiges u eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung nicht, indem (u + u2) ; (u + u2) = u ; u + u2 ; u + u ; u2 + u2 ; u2 = = u2 + u3 + u4 nicht u + u2 allgemein sein kann; Probe 1 stimmt mithin nicht.
Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein werden.
Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung x = x + x ; x etwa für das letzte x fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein, so gelangt man zu der -- unschwer durch Schluss von n auf n + 1 strenge zu rechtfertigenden -- Darstellung: x = x + x2 + x3 + ... + xn, welche auch für ein ohne Ende wachsendes n in Anspruch genommen werden kann und uns liefert: x = x + x ; x + x ; x ; x + ... = x + x2 + x3 + x4 + ... = x00. Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke x = u00 = u + u2 + u3 + ... in infinitum jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die Probe 1, indem bei ganz beliebigem u nach 4) des § 6: x ; x = (u + u2 + u3 + ...) ; (u + u2 + u3 + ...) = u2 + u3 + u4 + ... somit u + u2 + u3 + u4 + ... = x sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt: 36)
a00 ; a00a00
a11a11 j a11.
Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen -- was ich für nützlich hielt -- den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs- formen berufen können.
Nach alledem sind für das
Erste Gespann die Ergebnisse gerechtfertigt:
Achte Vorlesung.
35)
[Formel 1]
.
Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch: (x ; x ⋹ x) = (x = x + x ; x) ist. Auf demselben Grundgedanken, welcher vorhin Erfolg gewährte, fussend kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form x = u + u ; u angebbar sein muss, mit welcher ja die Probe 2 schon stimmt. Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be- liebiges u eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung nicht, indem (u + u2) ; (u + u2) = u ; u + u2 ; u + u ; u2 + u2 ; u2 = = u2 + u3 + u4 nicht ⋹ u + u2 allgemein sein kann; Probe 1 stimmt mithin nicht.
Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein werden.
Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung x = x + x ; x etwa für das letzte x fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein, so gelangt man zu der — unschwer durch Schluss von n auf n + 1 strenge zu rechtfertigenden — Darstellung: x = x + x2 + x3 + … + xn, welche auch für ein ohne Ende wachsendes n in Anspruch genommen werden kann und uns liefert: x = x + x ; x + x ; x ; x + … = x + x2 + x3 + x4 + … = x00. Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke x = u00 = u + u2 + u3 + … in infinitum jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die Probe 1, indem bei ganz beliebigem u nach 4) des § 6: x ; x = (u + u2 + u3 + …) ; (u + u2 + u3 + …) = u2 + u3 + u4 + … somit ⋹u + u2 + u3 + u4 + … = x sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt: 36)
a00 ; a00 ⋹ a00
a11⋹a11 ɟ a11.
Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen — was ich für nützlich hielt — den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs- formen berufen können.
Nach alledem sind für das
Erste Gespann die Ergebnisse gerechtfertigt:
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0354"n="340"/><fwplace="top"type="header">Achte Vorlesung.</fw><lb/>
35) <hirendition="#et"><formula/>.</hi></p><lb/><p>Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch:<lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi>) = (<hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi>)</hi><lb/>
ist. Auf demselben Grundgedanken, welcher vorhin Erfolg gewährte, fussend<lb/>
kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form<lb/><hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi> ; <hirendition="#i">u</hi> angebbar sein muss, mit welcher ja die Probe 2 schon stimmt.<lb/>
Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be-<lb/>
liebiges <hirendition="#i">u</hi> eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung<lb/><hirendition="#i">nicht</hi>, indem<lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi>) ; (<hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi>) = <hirendition="#i">u</hi> ; <hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> ; <hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi> ; <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> ; <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> =<lb/>
= <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">3</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">4</hi></hi><lb/>
nicht ⋹<hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> allgemein sein kann; Probe 1 stimmt mithin nicht.</p><lb/><p>Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein<lb/>
werden.</p><lb/><p>Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi><lb/>
etwa für das letzte <hirendition="#i">x</hi> fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein,<lb/>
so gelangt man zu der — unschwer durch Schluss von <hirendition="#i">n</hi> auf <hirendition="#i">n</hi> + 1 strenge<lb/>
zu rechtfertigenden — Darstellung:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi> + … + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">n</hi>,</hi><lb/>
welche auch für ein ohne Ende wachsendes <hirendition="#i">n</hi> in Anspruch genommen<lb/>
werden kann und uns liefert:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi> + … = <hirendition="#i">x</hi> + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">3</hi> + <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sup">4</hi> + … = <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">00</hi>.</hi><lb/>
Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sub">00</hi> = <hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">3</hi> + … in infinitum</hi><lb/>
jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die<lb/>
Probe 1, indem bei ganz beliebigem <hirendition="#i">u</hi> nach 4) des § 6:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">x</hi> = (<hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">3</hi> + …) ; (<hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">3</hi> + …) = <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">3</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">4</hi> + …</hi><lb/>
somit <hirendition="#et">⋹<hirendition="#i">u</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">2</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">3</hi> + <hirendition="#i">u</hi><hirendition="#sup">4</hi> + … = <hirendition="#i">x</hi></hi><lb/>
sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt:<lb/>
36) <table><lb/><row><cell><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">00</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">00</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">00</hi></cell><cell><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">11</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">11</hi>ɟ<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">11</hi>.</cell></row><lb/></table></p><p>Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen — was ich für nützlich<lb/>
hielt — den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten<lb/>
wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs-<lb/>
formen berufen können.</p><lb/><p>Nach alledem sind für das</p><lb/><p>Erste Gespann die Ergebnisse gerechtfertigt:<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[340/0354]
Achte Vorlesung.
35) [FORMEL].
Um dies zu entdecken, bemerke man zuerst, dass auch:
(x ; x ⋹ x) = (x = x + x ; x)
ist. Auf demselben Grundgedanken, welcher vorhin Erfolg gewährte, fussend
kann man hiernach dessen gewiss sein, dass die Unbekannte in der Form
x = u + u ; u angebbar sein muss, mit welcher ja die Probe 2 schon stimmt.
Wirft man hierauf die Frage auf, ob dieser Ausdruck auch für ein be-
liebiges u eine Wurzel darstelle, so bestätigt sich indessen diese Vermutung
nicht, indem
(u + u2) ; (u + u2) = u ; u + u2 ; u + u ; u2 + u2 ; u2 =
= u2 + u3 + u4
nicht ⋹ u + u2 allgemein sein kann; Probe 1 stimmt mithin nicht.
Wohl aber thut sie dies, wenn wir noch etwas weiter gegangen sein
werden.
Setzt man in der mit der Aufgabe äquivalenten Gleichung x = x + x ; x
etwa für das letzte x fortgesetzt seinen Wert aus der Gleichung selbst ein,
so gelangt man zu der — unschwer durch Schluss von n auf n + 1 strenge
zu rechtfertigenden — Darstellung:
x = x + x2 + x3 + … + xn,
welche auch für ein ohne Ende wachsendes n in Anspruch genommen
werden kann und uns liefert:
x = x + x ; x + x ; x ; x + … = x + x2 + x3 + x4 + … = x00.
Zufolge dessen stimmt mit dem Ausdrucke
x = u00 = u + u2 + u3 + … in infinitum
jedenfalls auch die Probe 2. Mit ebendiesem stimmt nun aber auch die
Probe 1, indem bei ganz beliebigem u nach 4) des § 6:
x ; x = (u + u2 + u3 + …) ; (u + u2 + u3 + …) = u2 + u3 + u4 + …
somit ⋹u + u2 + u3 + u4 + … = x
sein muss, und jedenfalls als allgemeine Formel gilt:
36) a00 ; a00 ⋹ a00 a11⋹a11 ɟ a11.
Anstatt mit den vorstehenden Überlegungen — was ich für nützlich
hielt — den früheren Gedankengang im Einzelnen zu illustriren, hätten
wir uns auch einfach auf das Th. 1) des § 13 bezüglich sämtlicher Lösungs-
formen berufen können.
Nach alledem sind für das
Erste Gespann die Ergebnisse gerechtfertigt:
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 340. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/354>, abgerufen am 18.02.2025.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
2007–2025 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
(Kontakt).
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2025. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
