n = 2, zufolgedessen wieder für n = 3 und so fort in infinitum). Auf diesen Teilschlüssen aber beruhte der obige Beweis. --
Beiläufig kann man denselben auch für den ganzen Satz auf einmal führen in Gestalt einer unbegrenzten Serie von äquivalenten Aussagen- transformationen.
Zu dem Ende schreiben wir das Schema des D 40 "voller" an in der Gestalt: 12) (b + a ; cc) = {b + a ; (b + c) c} = (b + a ; b + a ; cc), indem wir die Hypothesis des Satzes in der Thesis nochmals miterwähnen, die Voraussetzung bei der Behauptung wiederholend, sie zu dieser schlagen und mit ihr vereinigen -- was nach dem principium identitatis des Aus- sagenkalkuls gestattet ist. Weil dann der Schluss von der Voraussetzung auf die Behauptung auch rückwärts zulässig, indem diese ja jene mit in sich schliesst, so geht hierbei die Aussagensubsumtion in eine Aussagen- äquivalenz oder Gleichung über.
Diese Bemerkung, aufgrund deren auch offenbar 13) (a ; c + bc) {a ; (b + c) c} sein muss, schlägt nebenbei eine Brücke von D 40 zu D 41, dessen Thesis hiernach auch eine Konklusion sein muss zur Hypothesis von D 40.
Bemerkt man nun, dass die dritte Aussage 12) von derselben Form ist wie die erste und sich von ihr blos dadurch unterscheidet, dass das Glied b dort hier vertreten ist durch b + a ; b, so offenbart sich, dass uns der Satz 12) ein Recht gibt, so lange fortgesetzt als wir mögen seine Aus- sage äquivalent umzuschreiben dadurch, dass wir b durch b + a ; b ersetzen.
Nun ist blos noch die "Wahrnehmung" erforderlich, dass der Effekt solcher Ersetzung, wenn sie durchweg mit b vorgenommen wird, ganz der- selbe ist, wie wenn sie blos an dem letzten b vollzogen wird, und so werden wir leicht als mit den Aussagen 12) äquivalent die folgenden hinzu- gewinnen: = (b + a ; b + a2 ; b + a ; cc) = (b + a ; b + a2 ; b + a3 ; b + a ; cc) = ..., welche bei der erlaubten Unterdrückung des Gliedes a ; c -- d. h. bei Ver- schweigung des Aussagenfaktors (a ; cc) -- uns die Konklusionen vor- stellen, die auf eine unbegrenzte Gliedermenge ausgedehnt unsern Satz D 47 ausmachen.
Jene "Wahrnehmung" allgemein zu begründen genügt der Nachweis, dass, wenn etwa (1' + a + a2 + a3 + ... + an) ; b = fn(b) genannt wird, fn(b + a ; b) = fn + 1(b) sein muss -- wo dann schliesslich finfinity(b) = a0 ; b ist. Dieser Nachweis unter- liegt aber in der That keiner Schwierigkeit.
Indem f1(b) = f(b) = b + a ; b = (1' + a) ; b hier bedeutete und ohnehin (1' + a)n ; (1' + a) = (1' + a)n + 1 sein muss -- vergl. die in § 13 unter 8) gegebene "induktorische" oder "rekurrente" Definition der Potenz -- kann
Neunte Vorlesung.
n = 2, zufolgedessen wieder für n = 3 und so fort in infinitum). Auf diesen Teilschlüssen aber beruhte der obige Beweis. —
Beiläufig kann man denselben auch für den ganzen Satz auf einmal führen in Gestalt einer unbegrenzten Serie von äquivalenten Aussagen- transformationen.
Zu dem Ende schreiben wir das Schema des D 40 „voller“ an in der Gestalt: 12) (b + a ; c ⋹ c) = {b + a ; (b + c) ⋹ c} = (b + a ; b + a ; c ⋹ c), indem wir die Hypothesis des Satzes in der Thesis nochmals miterwähnen, die Voraussetzung bei der Behauptung wiederholend, sie zu dieser schlagen und mit ihr vereinigen — was nach dem principium identitatis des Aus- sagenkalkuls gestattet ist. Weil dann der Schluss von der Voraussetzung auf die Behauptung auch rückwärts zulässig, indem diese ja jene mit in sich schliesst, so geht hierbei die Aussagensubsumtion in eine Aussagen- äquivalenz oder Gleichung über.
Diese Bemerkung, aufgrund deren auch offenbar 13) (a ; c + b ⋹ c) ⋹ {a ; (b + c) ⋹ c} sein muss, schlägt nebenbei eine Brücke von D 40 zu D 41, dessen Thesis hiernach auch eine Konklusion sein muss zur Hypothesis von D 40.
Bemerkt man nun, dass die dritte Aussage 12) von derselben Form ist wie die erste und sich von ihr blos dadurch unterscheidet, dass das Glied b dort hier vertreten ist durch b + a ; b, so offenbart sich, dass uns der Satz 12) ein Recht gibt, so lange fortgesetzt als wir mögen seine Aus- sage äquivalent umzuschreiben dadurch, dass wir b durch b + a ; b ersetzen.
Nun ist blos noch die „Wahrnehmung“ erforderlich, dass der Effekt solcher Ersetzung, wenn sie durchweg mit b vorgenommen wird, ganz der- selbe ist, wie wenn sie blos an dem letzten b vollzogen wird, und so werden wir leicht als mit den Aussagen 12) äquivalent die folgenden hinzu- gewinnen: = (b + a ; b + a2 ; b + a ; c ⋹ c) = (b + a ; b + a2 ; b + a3 ; b + a ; c ⋹ c) = …, welche bei der erlaubten Unterdrückung des Gliedes a ; c — d. h. bei Ver- schweigung des Aussagenfaktors (a ; c ⋹ c) — uns die Konklusionen vor- stellen, die auf eine unbegrenzte Gliedermenge ausgedehnt unsern Satz D 47 ausmachen.
Jene „Wahrnehmung“ allgemein zu begründen genügt der Nachweis, dass, wenn etwa (1' + a + a2 + a3 + … + an) ; b = fn(b) genannt wird, fn(b + a ; b) = fn + 1(b) sein muss — wo dann schliesslich f∞(b) = a0 ; b ist. Dieser Nachweis unter- liegt aber in der That keiner Schwierigkeit.
Indem f1(b) = f(b) = b + a ; b = (1' + a) ; b hier bedeutete und ohnehin (1' + a)n ; (1' + a) = (1' + a)n + 1 sein muss — vergl. die in § 13 unter 8) gegebene „induktorische“ oder „rekurrente“ Definition der Potenz — kann
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[364/0378]
Neunte Vorlesung.
n = 2, zufolgedessen wieder für n = 3 und so fort in infinitum). Auf
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Beiläufig kann man denselben auch für den ganzen Satz auf einmal
führen in Gestalt einer unbegrenzten Serie von äquivalenten Aussagen-
transformationen.
Zu dem Ende schreiben wir das Schema des D 40 „voller“ an in der
Gestalt:
12) (b + a ; c ⋹ c) = {b + a ; (b + c) ⋹ c} = (b + a ; b + a ; c ⋹ c),
indem wir die Hypothesis des Satzes in der Thesis nochmals miterwähnen,
die Voraussetzung bei der Behauptung wiederholend, sie zu dieser schlagen
und mit ihr vereinigen — was nach dem principium identitatis des Aus-
sagenkalkuls gestattet ist. Weil dann der Schluss von der Voraussetzung
auf die Behauptung auch rückwärts zulässig, indem diese ja jene mit in
sich schliesst, so geht hierbei die Aussagensubsumtion in eine Aussagen-
äquivalenz oder Gleichung über.
Diese Bemerkung, aufgrund deren auch offenbar
13) (a ; c + b ⋹ c) ⋹ {a ; (b + c) ⋹ c}
sein muss, schlägt nebenbei eine Brücke von D 40 zu D 41, dessen Thesis
hiernach auch eine Konklusion sein muss zur Hypothesis von D 40.
Bemerkt man nun, dass die dritte Aussage 12) von derselben Form
ist wie die erste und sich von ihr blos dadurch unterscheidet, dass das
Glied b dort hier vertreten ist durch b + a ; b, so offenbart sich, dass uns
der Satz 12) ein Recht gibt, so lange fortgesetzt als wir mögen seine Aus-
sage äquivalent umzuschreiben dadurch, dass wir b durch b + a ; b ersetzen.
Nun ist blos noch die „Wahrnehmung“ erforderlich, dass der Effekt
solcher Ersetzung, wenn sie durchweg mit b vorgenommen wird, ganz der-
selbe ist, wie wenn sie blos an dem letzten b vollzogen wird, und so werden
wir leicht als mit den Aussagen 12) äquivalent die folgenden hinzu-
gewinnen:
= (b + a ; b + a2 ; b + a ; c ⋹ c) = (b + a ; b + a2 ; b + a3 ; b + a ; c ⋹ c) = …,
welche bei der erlaubten Unterdrückung des Gliedes a ; c — d. h. bei Ver-
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stellen, die auf eine unbegrenzte Gliedermenge ausgedehnt unsern Satz D 47
ausmachen.
Jene „Wahrnehmung“ allgemein zu begründen genügt der Nachweis,
dass, wenn etwa
(1' + a + a2 + a3 + … + an) ; b = fn(b)
genannt wird,
fn(b + a ; b) = fn + 1(b)
sein muss — wo dann schliesslich f∞(b) = a0 ; b ist. Dieser Nachweis unter-
liegt aber in der That keiner Schwierigkeit.
Indem f1(b) = f(b) = b + a ; b = (1' + a) ; b hier bedeutete und ohnehin
(1' + a)n ; (1' + a) = (1' + a)n + 1 sein muss — vergl. die in § 13 unter 8)
gegebene „induktorische“ oder „rekurrente“ Definition der Potenz — kann
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 364. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/378>, abgerufen am 23.11.2024.
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