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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 23. Satz der vollständigen Induktion, und sein Beweis.

man den zu liefernden Nachweis auch dahin vereinfachen, dass man blos
durch den Schluss von n auf n + 1 zeigt, dass
14) (1' + a)n = 1' + a + a2 + a3 + a4 + ... + an
sein muss: Gilt dies für ein bestimmtes n, so erhält man nämlich, beide
Seiten mit 1' + a relativ nach- und rechts dabei ausmultiplizirend:
(1' + a)n + 1 = 1' + a + ... + an + an + 1
unter tautologischer Wiederholung aller Glieder zwischen dem ersten und
letzten.

Damit wird auch
15) a0 = (1' + a)infinity
gewonnen sein. --

Soferne also der Schluss der vollständigen Induktion seine Be-
rechtigung erst aus dem Satze D 59 schöpft, der seinerseits nur auf-
grund von D 47 zu beweisen sein wird, enthält der Beweis von D 59
(zu dem wir nachher schreiten) noch einen Zirkel und hat blos den
Wert, die Überzeugung zu gewähren: dass, wenn jener Induktionsschluss
in dem einen hier vorliegenden Falle -- bei D 47 wenigstens -- mate-
riell berechtigt gewesen, er dann auch formale oder allgemeine Geltung,
für jeden Fall seiner Anwendung, wird beanspruchen dürfen.

Vor allem seien jetzt nebenher auch die übrigen Sätze unsres Über-
blicks von unserm Standpunkt aus erledigt. D 46 -- einfacher als a00 ; b a0 ; b
zu schreiben -- versteht sich aus 4); ebenso D 49 als a ; b a00 ; b, und
D 50; D 57 aus 6), D 58 aus 2).

D 52 versteht sich mittelst der Überlegung: (b c) (a0 ; b a0 ; c)
wegen D 45 oder 9) a fortiori, und darnach auch D 53 mittelst
(b a0 ; c) (a0 ; b a0 ; a0 ; c = a0 ; c) aus 7).

Bleibt nur mehr die Gleichung D 51 als Subsumtion vor- und rück-
wärts zu beweisen.

Wegen (b b) = 1 ist:
(a ; b b) = (a ; b b)(b b) = (a ; b + b b) (a0 ; b b)
-- nach D 47, für c = b in Anspruch genommen -- falls man nicht etwa
ganz ähnliche Schlüsse wie dort wiederholen will. Da nun nach D 45
oder 9) die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so ist die in D 51 rechts
behauptete Gleichung aus der Prämisse links erwiesen.

Umgekehrt folgt diese aus jener, indem dann wegen D 50 oder 4):
a ; b a0 ; b b wird sein müssen.

So leicht war der Herweg zu gehen -- bei dem schon die Schlüsse
dieses Kontextes einen Luxus bildeten!

Der Satz der vollständigen Induktion D 59 gehört dem Gespanne an:
16) [Formel 1]

§ 23. Satz der vollständigen Induktion, und sein Beweis.

man den zu liefernden Nachweis auch dahin vereinfachen, dass man blos
durch den Schluss von n auf n + 1 zeigt, dass
14) (1' + a)n = 1' + a + a2 + a3 + a4 + … + an
sein muss: Gilt dies für ein bestimmtes n, so erhält man nämlich, beide
Seiten mit 1' + a relativ nach- und rechts dabei ausmultiplizirend:
(1' + a)n + 1 = 1' + a + … + an + an + 1
unter tautologischer Wiederholung aller Glieder zwischen dem ersten und
letzten.

Damit wird auch
15) a0 = (1' + a)∞
gewonnen sein. —

Soferne also der Schluss der vollständigen Induktion seine Be-
rechtigung erst aus dem Satze D 59 schöpft, der seinerseits nur auf-
grund von D 47 zu beweisen sein wird, enthält der Beweis von D 59
(zu dem wir nachher schreiten) noch einen Zirkel und hat blos den
Wert, die Überzeugung zu gewähren: dass, wenn jener Induktionsschluss
in dem einen hier vorliegenden Falle — bei D 47 wenigstens — mate-
riell berechtigt gewesen, er dann auch formale oder allgemeine Geltung,
für jeden Fall seiner Anwendung, wird beanspruchen dürfen.

Vor allem seien jetzt nebenher auch die übrigen Sätze unsres Über-
blicks von unserm Standpunkt aus erledigt. D 46 — einfacher als a00 ; b ⋹ a0 ; b
zu schreiben — versteht sich aus 4); ebenso D 49 als a ; b ⋹ a00 ; b, und
D 50; D 57 aus 6), D 58 aus 2).

D 52 versteht sich mittelst der Überlegung: (b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)
wegen D 45 oder 9) a fortiori, und darnach auch D 53 mittelst
(b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; a0 ; c = a0 ; c) aus 7).

Bleibt nur mehr die Gleichung D 51 als Subsumtion vor- und rück-
wärts zu beweisen.

Wegen (b ⋹ b) = 1 ist:
(a ; b ⋹ b) = (a ; b ⋹ b)(b ⋹ b) = (a ; b + b ⋹ b) ⋹ (a0 ; b ⋹ b)
— nach D 47, für c = b in Anspruch genommen — falls man nicht etwa
ganz ähnliche Schlüsse wie dort wiederholen will. Da nun nach D 45
oder 9) die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so ist die in D 51 rechts
behauptete Gleichung aus der Prämisse links erwiesen.

Umgekehrt folgt diese aus jener, indem dann wegen D 50 oder 4):
a ; b ⋹ a0 ; b ⋹ b wird sein müssen.

So leicht war der Herweg zu gehen — bei dem schon die Schlüsse
dieses Kontextes einen Luxus bildeten!

Der Satz der vollständigen Induktion D 59 gehört dem Gespanne an:
16) [Formel 1]

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[365/0379] § 23. Satz der vollständigen Induktion, und sein Beweis. man den zu liefernden Nachweis auch dahin vereinfachen, dass man blos durch den Schluss von n auf n + 1 zeigt, dass 14) (1' + a)n = 1' + a + a2 + a3 + a4 + … + an sein muss: Gilt dies für ein bestimmtes n, so erhält man nämlich, beide Seiten mit 1' + a relativ nach- und rechts dabei ausmultiplizirend: (1' + a)n + 1 = 1' + a + … + an + an + 1 unter tautologischer Wiederholung aller Glieder zwischen dem ersten und letzten. Damit wird auch 15) a0 = (1' + a)∞ gewonnen sein. — Soferne also der Schluss der vollständigen Induktion seine Be- rechtigung erst aus dem Satze D 59 schöpft, der seinerseits nur auf- grund von D 47 zu beweisen sein wird, enthält der Beweis von D 59 (zu dem wir nachher schreiten) noch einen Zirkel und hat blos den Wert, die Überzeugung zu gewähren: dass, wenn jener Induktionsschluss in dem einen hier vorliegenden Falle — bei D 47 wenigstens — mate- riell berechtigt gewesen, er dann auch formale oder allgemeine Geltung, für jeden Fall seiner Anwendung, wird beanspruchen dürfen. Vor allem seien jetzt nebenher auch die übrigen Sätze unsres Über- blicks von unserm Standpunkt aus erledigt. D 46 — einfacher als a00 ; b ⋹ a0 ; b zu schreiben — versteht sich aus 4); ebenso D 49 als a ; b ⋹ a00 ; b, und D 50; D 57 aus 6), D 58 aus 2). D 52 versteht sich mittelst der Überlegung: (b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c) wegen D 45 oder 9) a fortiori, und darnach auch D 53 mittelst (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; a0 ; c = a0 ; c) aus 7). Bleibt nur mehr die Gleichung D 51 als Subsumtion vor- und rück- wärts zu beweisen. Wegen (b ⋹ b) = 1 ist: (a ; b ⋹ b) = (a ; b ⋹ b)(b ⋹ b) = (a ; b + b ⋹ b) ⋹ (a0 ; b ⋹ b) — nach D 47, für c = b in Anspruch genommen — falls man nicht etwa ganz ähnliche Schlüsse wie dort wiederholen will. Da nun nach D 45 oder 9) die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so ist die in D 51 rechts behauptete Gleichung aus der Prämisse links erwiesen. Umgekehrt folgt diese aus jener, indem dann wegen D 50 oder 4): a ; b ⋹ a0 ; b ⋹ b wird sein müssen. So leicht war der Herweg zu gehen — bei dem schon die Schlüsse dieses Kontextes einen Luxus bildeten! Der Satz der vollständigen Induktion D 59 gehört dem Gespanne an: 16) [FORMEL]

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 365. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/379>, abgerufen am 23.11.2024.

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