Sein Beweis ist in Anbetracht, dass seine Prämisse zerfällt in I. a ; (a0 ; b)cc und II. bc, wie folgt zu leisten. Es ist: ba0 ; b nach D 45 oder 9), und dies mit II vereinigt gibt den Schluss: III. b (a0 ; b)c.
Andrerseits ist: IV. (a0 ; b)ca0 ; b, woraus nach D 55 oder 10) -- für b statt c und (a0 ; b)c statt b in Anspruch genommen -- folgt:
a ; (a0 ; b)ca0 ; b, und dies mit der Prämisse I vereinigt gibt: V. a ; (a0 ; b)c (a0 ; b)c. Die Vereinigung von III und V lautet: a ; (a0 ; b)c + b (a0 ; b)c.
Dies fällt nun unter das Schema der Prämisse von D 47 oder 11) -- worin nur c vertreten erscheint durch den zusammengesetzteren Ausdruck (a0 ; b)c -- gestattet somit nach dem Vorbild jenes Satzes den Schluss: a0 ; b (a0 ; b)c, und da die umgekehrte Subsumtion -- IV -- ohnehin gilt, so ist die Gleichung gewonnen: VI. a0 ; b = (a0 ; b)c, aus welcher wegen (a0 ; b)cc zugleich die Konklusion fliesst: a0 ; bc, welche zu beweisen gewesen.
Woferne nur die formalen Grundlagen 9, 10, 11) dieses Beweises späterhin auf einem zirkel- resp. einwandsfreien Wege gewonnen werden, wird auch der vorstehende Beweis vollkräftig und braucht nicht wieder- holt zu werden.
Versucht man etwa den Satz 16) kunstlos mittelst Einsetzung der Reihe für a0 zu verifiziren, so hat man die Prämissen: bc, a ; bcc, a ; (a ; b)cc, a ; (a2 ; b)cc, a ; (a3 ; b)cc, ... und muss suchen die Konklusionen zu gewinnen: bc, a ; bc, a2 ; bc, a3 ; bc, ....
Nun ist zwar a ; bca ; b (sei es wegen bcb, sei es wegen a ; bca ; b · a ; ca ; b). Und ebenso ist a ; (a ; b)ca ; (a ; b) = a2 ; b, und so weiter. Die Konklusionen würden sonach leicht zu ziehen sein, wenn diese Subsumtionen im entgegengesetzten Sinne, wenn sie als die um- gekehrten, rückwärts Geltung hätten. Da solches keineswegs ersichtlich, so scheitert obiger Versuch und wird man inne, dass ein einfacherer Beweis als der eben vorgetragne -- trotz so verschiednen Aussehens -- wesent- lich Dedekind'sche, schwerlich geliefert werden kann.
Neunte Vorlesung.
Sein Beweis ist in Anbetracht, dass seine Prämisse zerfällt in I. a ; (a0 ; b)c ⋹ c und II. b ⋹ c, wie folgt zu leisten. Es ist: b ⋹ a0 ; b nach D 45 oder 9), und dies mit II vereinigt gibt den Schluss: III. b ⋹ (a0 ; b)c.
Andrerseits ist: IV. (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, woraus nach D 55 oder 10) — für b statt c und (a0 ; b)c statt b in Anspruch genommen — folgt:
a ; (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, und dies mit der Prämisse I vereinigt gibt: V. a ; (a0 ; b)c ⋹ (a0 ; b)c. Die Vereinigung von III und V lautet: a ; (a0 ; b)c + b ⋹ (a0 ; b)c.
Dies fällt nun unter das Schema der Prämisse von D 47 oder 11) — worin nur c vertreten erscheint durch den zusammengesetzteren Ausdruck (a0 ; b)c — gestattet somit nach dem Vorbild jenes Satzes den Schluss: a0 ; b ⋹ (a0 ; b)c, und da die umgekehrte Subsumtion — IV — ohnehin gilt, so ist die Gleichung gewonnen: VI. a0 ; b = (a0 ; b)c, aus welcher wegen (a0 ; b)c ⋹ c zugleich die Konklusion fliesst: a0 ; b ⋹ c, welche zu beweisen gewesen.
Woferne nur die formalen Grundlagen 9, 10, 11) dieses Beweises späterhin auf einem zirkel- resp. einwandsfreien Wege gewonnen werden, wird auch der vorstehende Beweis vollkräftig und braucht nicht wieder- holt zu werden.
Versucht man etwa den Satz 16) kunstlos mittelst Einsetzung der Reihe für a0 zu verifiziren, so hat man die Prämissen: b ⋹ c, a ; bc ⋹ c, a ; (a ; b)c ⋹ c, a ; (a2 ; b)c ⋹ c, a ; (a3 ; b)c ⋹ c, … und muss suchen die Konklusionen zu gewinnen: b⋹c, a ; b ⋹ c, a2 ; b ⋹ c, a3 ; b ⋹ c, ….
Nun ist zwar a ; bc ⋹ a ; b (sei es wegen bc ⋹ b, sei es wegen a ; bc ⋹ a ; b · a ; c ⋹ a ; b). Und ebenso ist a ; (a ; b)c ⋹ a ; (a ; b) = a2 ; b, und so weiter. Die Konklusionen würden sonach leicht zu ziehen sein, wenn diese Subsumtionen im entgegengesetzten Sinne, wenn sie als die um- gekehrten, rückwärts Geltung hätten. Da solches keineswegs ersichtlich, so scheitert obiger Versuch und wird man inne, dass ein einfacherer Beweis als der eben vorgetragne — trotz so verschiednen Aussehens — wesent- lich Dedekind’sche, schwerlich geliefert werden kann.
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[366/0380]
Neunte Vorlesung.
Sein Beweis ist in Anbetracht, dass seine Prämisse zerfällt in
I. a ; (a0 ; b)c ⋹ c und II. b ⋹ c,
wie folgt zu leisten. Es ist: b ⋹ a0 ; b nach D 45 oder 9), und
dies mit II vereinigt gibt den Schluss:
III. b ⋹ (a0 ; b)c.
Andrerseits ist:
IV. (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, woraus nach D 55 oder 10) — für b statt c
und (a0 ; b)c statt b in Anspruch genommen — folgt:
a ; (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, und dies mit der Prämisse I vereinigt gibt:
V. a ; (a0 ; b)c ⋹ (a0 ; b)c. Die Vereinigung von III und V lautet:
a ; (a0 ; b)c + b ⋹ (a0 ; b)c.
Dies fällt nun unter das Schema der Prämisse von D 47 oder 11)
— worin nur c vertreten erscheint durch den zusammengesetzteren
Ausdruck (a0 ; b)c — gestattet somit nach dem Vorbild jenes Satzes
den Schluss:
a0 ; b ⋹ (a0 ; b)c,
und da die umgekehrte Subsumtion — IV — ohnehin gilt, so ist die
Gleichung gewonnen:
VI. a0 ; b = (a0 ; b)c,
aus welcher wegen (a0 ; b)c ⋹ c zugleich die Konklusion fliesst:
a0 ; b ⋹ c,
welche zu beweisen gewesen.
Woferne nur die formalen Grundlagen 9, 10, 11) dieses Beweises
späterhin auf einem zirkel- resp. einwandsfreien Wege gewonnen werden,
wird auch der vorstehende Beweis vollkräftig und braucht nicht wieder-
holt zu werden.
Versucht man etwa den Satz 16) kunstlos mittelst Einsetzung der
Reihe für a0 zu verifiziren, so hat man die Prämissen:
b ⋹ c, a ; bc ⋹ c, a ; (a ; b)c ⋹ c, a ; (a2 ; b)c ⋹ c, a ; (a3 ; b)c ⋹ c, …
und muss suchen die Konklusionen zu gewinnen:
b⋹c, a ; b ⋹ c, a2 ; b ⋹ c, a3 ; b ⋹ c, ….
Nun ist zwar a ; bc ⋹ a ; b (sei es wegen bc ⋹ b, sei es wegen
a ; bc ⋹ a ; b · a ; c ⋹ a ; b). Und ebenso ist a ; (a ; b)c ⋹ a ; (a ; b) = a2 ; b,
und so weiter. Die Konklusionen würden sonach leicht zu ziehen sein,
wenn diese Subsumtionen im entgegengesetzten Sinne, wenn sie als die um-
gekehrten, rückwärts Geltung hätten. Da solches keineswegs ersichtlich, so
scheitert obiger Versuch und wird man inne, dass ein einfacherer Beweis
als der eben vorgetragne — trotz so verschiednen Aussehens — wesent-
lich Dedekind’sche, schwerlich geliefert werden kann.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 366. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/380>, abgerufen am 23.11.2024.
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