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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 23. Der Satz der vollständigen Induktion.

Man kann den Satz D 59 -- ihn zunächst lediglich als ein Theorem
über binäre Relative in's Auge fassend -- auch in Worte kleiden
wie folgt:

Um zu beweisen, dass die a-Kette eines Relativs b ganz in einem
dritten Relativ c enthalten ist, braucht man blos zweierlei darzuthun,
nämlich genügt es zu zeigen:

erstens, dass b selber in c enthalten ist,

zweitens, dass von jedem der a-Kette von b angehörigen Elemente-
paar, welches in c enthalten ist, auch das a-Bild in c enthalten sein muss.

M. a. W. a0 ; b muss Teil von c sein, sobald b Teil von c und auch
das a-Bild jedes gemeinsamen Elementepaars von a0 ; b und c Teil
von c ist.

[Das a-Bild der Summe aller im identischen Produkte (a0 ; b)c ent-
haltnen Elementepaare, welche letztern ebendieses Relativ additiv zusammen-
setzen -- mithin a ; (a0 ; b)c -- ist ja einerlei mit der Summe der a-Bilder
von allen diesen Elementepaaren.]

Soferne b und c uns späterhin "Systeme" vorstellen, wird man im
vorigen Texte das Wort "Elementepaar" auch durch "Element" zu er-
setzen berechtigt sein.

Nunmehr wollen wir an Stelle von D 60 versuchen, dem Leser
in Kürze einleuchtend zu machen, wieso der Satz D 59 oder 16) in der
That "die wissenschaftliche Grundlage für die unter dem Namen der voll-
ständigen Induktion (des Schlusses von n auf n + 1) bekannte Beweisart"
bildet.

Hiezu ist blos erforderlich, dem Denkbereich 1 und den Buch-
stabenrelativen a, b, c in dem Satze die folgenden Bedeutungen bei-
zulegen.

Der Denkbereich 11 bestehe aus den Individuen 1, 2, 3, 4, ... der
unbegrenzten Zahlenreihe, deren erstes, oder die Zahl Eins, wir ad hoc
durch den Tupfen in Gestalt von 1 von dem Modul 1 unsrer Theorie
unterscheiden.

Im Denkbereiche 12 oder 1 wird ein jedes Element dieser Zahlenreihe
sich als ein Relativ darstellen, welches die jenem entsprechende Zeile zur
Vollzeile und alle übrigen Zeilen zu Leerzeilen hat, und jedes System von
Zahlen wird als das Relativ erscheinen, dessen Matrix die seinen Elementen
entsprechenden Zeilen zu Vollzeilen, die übrigen zu Leerzeilen hat. Dies
sei zunächst in Erinnerung gebracht, obwol es im Folgenden gerade keine
wesentliche Rolle spielt.

Die Zahlenreihe ist als eine wohlgeordnete eingeführt zu denken
vermittelst eines Zuordnungs- oder Abbildungsprinzips, welches von einer
jeden zur nächstfolgenden hinüberleitet und damit alle Zahlen mittelbar

§ 23. Der Satz der vollständigen Induktion.

Man kann den Satz D 59 — ihn zunächst lediglich als ein Theorem
über binäre Relative in’s Auge fassend — auch in Worte kleiden
wie folgt:

Um zu beweisen, dass die a-Kette eines Relativs b ganz in einem
dritten Relativ c enthalten ist, braucht man blos zweierlei darzuthun,
nämlich genügt es zu zeigen:

erstens, dass b selber in c enthalten ist,

zweitens, dass von jedem der a-Kette von b angehörigen Elemente-
paar, welches in c enthalten ist, auch das a-Bild in c enthalten sein muss.

M. a. W. a0 ; b muss Teil von c sein, sobald b Teil von c und auch
das a-Bild jedes gemeinsamen Elementepaars von a0 ; b und c Teil
von c ist.

[Das a-Bild der Summe aller im identischen Produkte (a0 ; b)c ent-
haltnen Elementepaare, welche letztern ebendieses Relativ additiv zusammen-
setzen — mithin a ; (a0 ; b)c — ist ja einerlei mit der Summe der a-Bilder
von allen diesen Elementepaaren.]

Soferne b und c uns späterhin „Systeme“ vorstellen, wird man im
vorigen Texte das Wort „Elementepaar“ auch durch „Element“ zu er-
setzen berechtigt sein.

Nunmehr wollen wir an Stelle von D 60 versuchen, dem Leser
in Kürze einleuchtend zu machen, wieso der Satz D 59 oder 16) in der
That »die wissenschaftliche Grundlage für die unter dem Namen der voll-
ständigen Induktion (des Schlusses von n auf n + 1) bekannte Beweisart«
bildet.

Hiezu ist blos erforderlich, dem Denkbereich 1 und den Buch-
stabenrelativen a, b, c in dem Satze die folgenden Bedeutungen bei-
zulegen.

Der Denkbereich 11 bestehe aus den Individuen 1̇, 2, 3, 4, … der
unbegrenzten Zahlenreihe, deren erstes, oder die Zahl Eins, wir ad hoc
durch den Tupfen in Gestalt von 1̇ von dem Modul 1 unsrer Theorie
unterscheiden.

Im Denkbereiche 12 oder 1 wird ein jedes Element dieser Zahlenreihe
sich als ein Relativ darstellen, welches die jenem entsprechende Zeile zur
Vollzeile und alle übrigen Zeilen zu Leerzeilen hat, und jedes System von
Zahlen wird als das Relativ erscheinen, dessen Matrix die seinen Elementen
entsprechenden Zeilen zu Vollzeilen, die übrigen zu Leerzeilen hat. Dies
sei zunächst in Erinnerung gebracht, obwol es im Folgenden gerade keine
wesentliche Rolle spielt.

Die Zahlenreihe ist als eine wohlgeordnete eingeführt zu denken
vermittelst eines Zuordnungs- oder Abbildungsprinzips, welches von einer
jeden zur nächstfolgenden hinüberleitet und damit alle Zahlen mittelbar

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[367/0381] § 23. Der Satz der vollständigen Induktion. Man kann den Satz D 59 — ihn zunächst lediglich als ein Theorem über binäre Relative in’s Auge fassend — auch in Worte kleiden wie folgt: Um zu beweisen, dass die a-Kette eines Relativs b ganz in einem dritten Relativ c enthalten ist, braucht man blos zweierlei darzuthun, nämlich genügt es zu zeigen: erstens, dass b selber in c enthalten ist, zweitens, dass von jedem der a-Kette von b angehörigen Elemente- paar, welches in c enthalten ist, auch das a-Bild in c enthalten sein muss. M. a. W. a0 ; b muss Teil von c sein, sobald b Teil von c und auch das a-Bild jedes gemeinsamen Elementepaars von a0 ; b und c Teil von c ist. [Das a-Bild der Summe aller im identischen Produkte (a0 ; b)c ent- haltnen Elementepaare, welche letztern ebendieses Relativ additiv zusammen- setzen — mithin a ; (a0 ; b)c — ist ja einerlei mit der Summe der a-Bilder von allen diesen Elementepaaren.] Soferne b und c uns späterhin „Systeme“ vorstellen, wird man im vorigen Texte das Wort „Elementepaar“ auch durch „Element“ zu er- setzen berechtigt sein. Nunmehr wollen wir an Stelle von D 60 versuchen, dem Leser in Kürze einleuchtend zu machen, wieso der Satz D 59 oder 16) in der That »die wissenschaftliche Grundlage für die unter dem Namen der voll- ständigen Induktion (des Schlusses von n auf n + 1) bekannte Beweisart« bildet. Hiezu ist blos erforderlich, dem Denkbereich 1 und den Buch- stabenrelativen a, b, c in dem Satze die folgenden Bedeutungen bei- zulegen. Der Denkbereich 11 bestehe aus den Individuen 1̇, 2, 3, 4, … der unbegrenzten Zahlenreihe, deren erstes, oder die Zahl Eins, wir ad hoc durch den Tupfen in Gestalt von 1̇ von dem Modul 1 unsrer Theorie unterscheiden. Im Denkbereiche 12 oder 1 wird ein jedes Element dieser Zahlenreihe sich als ein Relativ darstellen, welches die jenem entsprechende Zeile zur Vollzeile und alle übrigen Zeilen zu Leerzeilen hat, und jedes System von Zahlen wird als das Relativ erscheinen, dessen Matrix die seinen Elementen entsprechenden Zeilen zu Vollzeilen, die übrigen zu Leerzeilen hat. Dies sei zunächst in Erinnerung gebracht, obwol es im Folgenden gerade keine wesentliche Rolle spielt. Die Zahlenreihe ist als eine wohlgeordnete eingeführt zu denken vermittelst eines Zuordnungs- oder Abbildungsprinzips, welches von einer jeden zur nächstfolgenden hinüberleitet und damit alle Zahlen mittelbar

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 367. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/381>, abgerufen am 23.11.2024.