Der Beweis von D 47 oder 11)+(a ; c + bc) (a0 ; bc) ist nun endlich ganz leicht so zu leisten: (a ; c + bc) = (bc)(a ; cc) (a0 ; ba0 ; c)(a0 ; cc) (a0 ; bc) -- aufgrund von 27) oder D 51.
Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises von D 59, 60 gewonnen.
Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den Satz zu gewinnen: 28) a0 = 1' + a ; a0 -- eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab- leitbar ist.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir: 1' + a ; a0a0 = Puu, somit 1' + a ; a0u für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form: u = 1' + a ; a0 + v, und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung: 1' + a + a ; a ; a0 + a ; v 1' + a ; a0 + v, welche sich jedoch sofort vereinfacht zu NB0 =) a ; v 1' + a ; a0 + v, indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja aa ; a0 sofort (als a ; 1' a ; a0) aus 23)a und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) a ; a0 aus 21)b. Darnach ist gefunden:
[Formel 1]
, sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Pv = 0 ist, q. e. d.
Zum Überfluss wollen wir -- ohne Benutzung der Potenzreihe für a0 -- auch noch die beiden Sätze beweisen: 7)+a0 ; a0 = a und 6)+a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).
Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)b nach dem Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen. Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (ba0 ; c) (a0 ; ba0 ; c),
+ Aus Früherem wiederholt.
+ Aus Früherem wiederholt.
+ Aus Früherem wiederholt.
§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.
Der Beweis von D 47 oder 11)†(a ; c + b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c) ist nun endlich ganz leicht so zu leisten: (a ; c + b ⋹ c) = (b ⋹ c)(a ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)(a0 ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c) — aufgrund von 27) oder D 51.
Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises von D 59, 60 gewonnen.
Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den Satz zu gewinnen: 28) a0 = 1' + a ; a0 — eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab- leitbar ist.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir: 1' + a ; a0 ⋹ a0 = Πu ⋹ u, somit 1' + a ; a0 ⋹ u für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form: u = 1' + a ; a0 + v, und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung: 1' + a + a ; a ; a0 + a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v, welche sich jedoch sofort vereinfacht zu NB0 =) a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v, indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a ⋹ a ; a0 sofort (als a ; 1' ⋹ a ; a0) aus 23)α und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0 aus 21)β. Darnach ist gefunden:
[Formel 1]
, sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Πv = 0 ist, q. e. d.
Zum Überfluss wollen wir — ohne Benutzung der Potenzreihe für a0 — auch noch die beiden Sätze beweisen: 7)†a0 ; a0 = a und 6)†a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).
Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)β nach dem Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen. Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c),
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0397"n="383"/><fwplace="top"type="header">§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.</fw><lb/><p>Der <hirendition="#g">Beweis</hi> von <hirendition="#fr">D</hi> 47 oder<lb/>
11)<noteplace="foot"n="†">Aus Früherem wiederholt.</note><hirendition="#et">(<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">c</hi> + <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>)</hi><lb/>
ist nun endlich ganz leicht so zu leisten:<lb/>
(<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">c</hi> + <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>) = (<hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>)(<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">c</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">c</hi>)(<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">c</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi>)<lb/>— aufgrund von 27) oder <hirendition="#fr">D</hi> 51.</p><lb/><p>Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises<lb/>
von <hirendition="#fr">D</hi> 59, 60 gewonnen.</p><lb/><p>Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu <hirendition="#fr">D</hi> 58, oder den<lb/><hirendition="#g">Satz</hi> zu gewinnen:<lb/>
28) <hirendition="#et"><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = 1' + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi></hi><lb/>— eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> leicht ab-<lb/>
leitbar ist.</p><lb/><p>Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir:<lb/><hirendition="#et">1' + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">u</hi></hi>⋹<hirendition="#i">u</hi>, somit<lb/>
1' + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi>⋹<hirendition="#i">u</hi></hi><lb/>
für jedes der <hirendition="#i">NB</hi> genügende <hirendition="#i">u</hi>. Mithin ist <hirendition="#i">u</hi> jedenfalls von der Form:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">u</hi> = 1' + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> + <hirendition="#i">v</hi>,</hi><lb/>
und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für <hirendition="#i">v</hi> die Erstreckungsbedingung:<lb/><hirendition="#c">1' + <hirendition="#i">a</hi> + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">v</hi>⋹ 1' + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> + <hirendition="#i">v</hi>,</hi><lb/>
welche sich jedoch sofort vereinfacht zu<lb/><hirendition="#i">NB</hi><hirendition="#sub">0</hi> =) <hirendition="#et"><hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">v</hi>⋹ 1' + <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> + <hirendition="#i">v</hi>,</hi><lb/>
indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen<lb/>
im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja <hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> sofort<lb/>
(als <hirendition="#i">a</hi> ; 1' ⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi>) aus 23)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">α</hi></hi> und <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; (<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi>) ⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> aus 21)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">β</hi></hi>.<lb/>
Darnach ist gefunden:<lb/><hirendition="#c"><formula/>,</hi><lb/>
sintemal <hirendition="#i">v</hi> = 0 der <hirendition="#i">NB</hi><hirendition="#sub">0</hi> genügt, somit <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">v</hi></hi> = 0 ist, q. e. d.</p><lb/><p>Zum Überfluss wollen wir —<hirendition="#i">ohne</hi> Benutzung der Potenzreihe<lb/>
für <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi>— auch noch die beiden Sätze beweisen:<lb/><hirendition="#c">7)<noteplace="foot"n="†">Aus Früherem wiederholt.</note><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">a</hi> und 6)<noteplace="foot"n="†">Aus Früherem wiederholt.</note><hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">a</hi> (was = <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">00</hi> zu <hirendition="#g">definiren</hi>).</hi></p><lb/><p>Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">β</hi></hi> nach dem<lb/>
Schema von 27) oder <hirendition="#fr">D</hi> 51, dieses für <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> in Anspruch genommen.<lb/>
Er ist sozusagen der Kern des Satzes <hirendition="#fr">D</hi> 53: (<hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">c</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">c</hi>),<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[383/0397]
§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.
Der Beweis von D 47 oder
11) † (a ; c + b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c)
ist nun endlich ganz leicht so zu leisten:
(a ; c + b ⋹ c) = (b ⋹ c)(a ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)(a0 ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c)
— aufgrund von 27) oder D 51.
Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises
von D 59, 60 gewonnen.
Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den
Satz zu gewinnen:
28) a0 = 1' + a ; a0
— eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab-
leitbar ist.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir:
1' + a ; a0 ⋹ a0 = Πu ⋹ u, somit
1' + a ; a0 ⋹ u
für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form:
u = 1' + a ; a0 + v,
und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung:
1' + a + a ; a ; a0 + a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v,
welche sich jedoch sofort vereinfacht zu
NB0 =) a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v,
indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen
im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a ⋹ a ; a0 sofort
(als a ; 1' ⋹ a ; a0) aus 23)α und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0 aus 21)β.
Darnach ist gefunden:
[FORMEL],
sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Πv = 0 ist, q. e. d.
Zum Überfluss wollen wir — ohne Benutzung der Potenzreihe
für a0 — auch noch die beiden Sätze beweisen:
7) † a0 ; a0 = a und 6) † a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).
Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)β nach dem
Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen.
Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c),
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 383. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/397>, abgerufen am 17.06.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.