Denkbereichs, die Summe von allen seinen Individuen oder Elemente- paaren.
Die zweite Konvention (6) stempelt den identischen Modul 0 (Null) zu einem völlig leeren Relative, zu einem solchen nämlich, welches gar kein Elementepaar unsres Denkbereiches 12 (und auch sonst nichts) enthält.
Wir haben kraft (6) mit Rücksicht auf (5), (5b) und (5g):
1 = Si ji : j
0 =
wo die letzte Gleichung, obwohl als rechte Seite derselben nichts zu sehen ist, dennoch als eine vollständige Gleichung anzusehen wäre. Rechte Seite ist hier eine Summe, deren sämtliche Glieder "ausfallen", d. h. in der That buchstäblich: "Nichts". Um die Verwechselung mit einer unfertigen Gleichung, deren rechte Seite erst noch herzustellen wäre, zu vermeiden, muss in solchen Fällen, wo alle Glieder auf einer Seite ausfallen, inskünftige stets das Symbol 0 eintreten.
Die identischen Moduln repräsentiren die äussersten oder Grenz- fälle, die beiden Extreme unter den denkbaren binären Relativen. Kein Relativ (innerhalb 12) kann mehr individuelle binäre Relative oder Elementepaare enthalten als der Modul 1, keines kann deren weniger enthalten als der Modul 0, und man könnte darum auch 1 als das "Maximalrelativ", 0 als das "Minimalrelativ" hinstellen. Auf die Zu- lässigkeit dieser Grenzfälle musste schon bei der allgemeinen Definition eines binären Relativs hingewiesen werden
Ausser diesen beiden "identischen" Moduln treten aber noch zwei spezielle (binäre) Relative in der Theorie hervor, die sich durch die beiden Konventionen (7) definirt finden, nämlich die beiden "relativen Moduln" 1' und 0' -- gesprochen etwa: Einsap und Nullap (als Ab- kürzung von "Eins-Apostroph" etc.).
Wir haben für sie kraft (5) die Darstellungen:
1' = Si j(i = j)(i : j) = Si(i : i)
0' = Si j(ij)(i : j).
Ist nämlich -- links vom Mittelstriche -- ji, so ist der Aussagen- faktor (i = j) gleich 0 und fällt allemal das Glied i : j in der Summe aus. Ist dagegen j = i, so hat der Aussagenfaktor (i = j) den Wert 1, und ist das Glied i : j in der Summe vertreten. Dann aber dürfen wir für das j, welches einerlei mit i, auch den Namen i verwenden, wonach die vorhan- denen Glieder sich in der Form i : i darstellen werden, und diese sind nun einfach für jedes i gebildet zu denken.
Das heisst nun: 1' ist die Summe "das Universum, der Bereich" aller individuellen Selbstrelative des Denkbereichs 12, 0' ist die Summe
Zweite Vorlesung.
Denkbereichs, die Summe von allen seinen Individuen oder Elemente- paaren.
Die zweite Konvention (6) stempelt den identischen Modul 0 (Null) zu einem völlig leeren Relative, zu einem solchen nämlich, welches gar kein Elementepaar unsres Denkbereiches 12 (und auch sonst nichts) enthält.
Wir haben kraft (6) mit Rücksicht auf (5), (5β) und (5γ):
1 = Σi ji : j
0 =
wo die letzte Gleichung, obwohl als rechte Seite derselben nichts zu sehen ist, dennoch als eine vollständige Gleichung anzusehen wäre. Rechte Seite ist hier eine Summe, deren sämtliche Glieder „ausfallen“, d. h. in der That buchstäblich: „Nichts“. Um die Verwechselung mit einer unfertigen Gleichung, deren rechte Seite erst noch herzustellen wäre, zu vermeiden, muss in solchen Fällen, wo alle Glieder auf einer Seite ausfallen, inskünftige stets das Symbol 0 eintreten.
Die identischen Moduln repräsentiren die äussersten oder Grenz- fälle, die beiden Extreme unter den denkbaren binären Relativen. Kein Relativ (innerhalb 12) kann mehr individuelle binäre Relative oder Elementepaare enthalten als der Modul 1, keines kann deren weniger enthalten als der Modul 0, und man könnte darum auch 1 als das „Maximalrelativ“, 0 als das „Minimalrelativ“ hinstellen. Auf die Zu- lässigkeit dieser Grenzfälle musste schon bei der allgemeinen Definition eines binären Relativs hingewiesen werden
Ausser diesen beiden „identischen“ Moduln treten aber noch zwei spezielle (binäre) Relative in der Theorie hervor, die sich durch die beiden Konventionen (7) definirt finden, nämlich die beiden „relativen Moduln“ 1' und 0' — gesprochen etwa: Einsap und Nullap (als Ab- kürzung von „Eins-Apostroph“ etc.).
Wir haben für sie kraft (5) die Darstellungen:
1' = Σi j(i = j)(i : j) = Σi(i : i)
0' = Σi j(i ≠ j)(i : j).
Ist nämlich — links vom Mittelstriche — j ≠ i, so ist der Aussagen- faktor (i = j) gleich 0 und fällt allemal das Glied i : j in der Summe aus. Ist dagegen j = i, so hat der Aussagenfaktor (i = j) den Wert 1, und ist das Glied i : j in der Summe vertreten. Dann aber dürfen wir für das j, welches einerlei mit i, auch den Namen i verwenden, wonach die vorhan- denen Glieder sich in der Form i : i darstellen werden, und diese sind nun einfach für jedes i gebildet zu denken.
Das heisst nun: 1' ist die Summe „das Universum, der Bereich“ aller individuellen Selbstrelative des Denkbereichs 12, 0' ist die Summe
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[26/0040]
Zweite Vorlesung.
Denkbereichs, die Summe von allen seinen Individuen oder Elemente-
paaren.
Die zweite Konvention (6) stempelt den identischen Modul 0 (Null)
zu einem völlig leeren Relative, zu einem solchen nämlich, welches
gar kein Elementepaar unsres Denkbereiches 12 (und auch sonst nichts)
enthält.
Wir haben kraft (6) mit Rücksicht auf (5), (5β) und (5γ):
1 = Σi ji : j 0 =
wo die letzte Gleichung, obwohl als rechte Seite derselben nichts zu
sehen ist, dennoch als eine vollständige Gleichung anzusehen wäre.
Rechte Seite ist hier eine Summe, deren sämtliche Glieder „ausfallen“,
d. h. in der That buchstäblich: „Nichts“. Um die Verwechselung mit
einer unfertigen Gleichung, deren rechte Seite erst noch herzustellen
wäre, zu vermeiden, muss in solchen Fällen, wo alle Glieder auf einer
Seite ausfallen, inskünftige stets das Symbol 0 eintreten.
Die identischen Moduln repräsentiren die äussersten oder Grenz-
fälle, die beiden Extreme unter den denkbaren binären Relativen. Kein
Relativ (innerhalb 12) kann mehr individuelle binäre Relative oder
Elementepaare enthalten als der Modul 1, keines kann deren weniger
enthalten als der Modul 0, und man könnte darum auch 1 als das
„Maximalrelativ“, 0 als das „Minimalrelativ“ hinstellen. Auf die Zu-
lässigkeit dieser Grenzfälle musste schon bei der allgemeinen Definition
eines binären Relativs hingewiesen werden
Ausser diesen beiden „identischen“ Moduln treten aber noch zwei
spezielle (binäre) Relative in der Theorie hervor, die sich durch die
beiden Konventionen (7) definirt finden, nämlich die beiden „relativen
Moduln“ 1' und 0' — gesprochen etwa: Einsap und Nullap (als Ab-
kürzung von „Eins-Apostroph“ etc.).
Wir haben für sie kraft (5) die Darstellungen:
1' = Σi j(i = j)(i : j) = Σi(i : i) 0' = Σi j(i ≠ j)(i : j).
Ist nämlich — links vom Mittelstriche — j ≠ i, so ist der Aussagen-
faktor (i = j) gleich 0 und fällt allemal das Glied i : j in der Summe aus.
Ist dagegen j = i, so hat der Aussagenfaktor (i = j) den Wert 1, und ist
das Glied i : j in der Summe vertreten. Dann aber dürfen wir für das j,
welches einerlei mit i, auch den Namen i verwenden, wonach die vorhan-
denen Glieder sich in der Form i : i darstellen werden, und diese sind nun
einfach für jedes i gebildet zu denken.
Das heisst nun: 1' ist die Summe „das Universum, der Bereich“
aller individuellen Selbstrelative des Denkbereichs 12, 0' ist die Summe
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 26. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/40>, abgerufen am 21.11.2024.
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