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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 25. Knüpfungen zwischen Element und beliebigem Relativ.

25) [Formel 1]
d. h. ein Liebender von allen ausser i ist gewiss auch ein Liebender von
nicht-i's. Dagegen braucht das Umgekehrte keineswegs zuzutreffen: ein
Liebender von nicht-i's braucht nur einige aber nicht alle Personen ausser i
zu lieben.

Koeffizientenvergleichung für das Suffix hk lehrt auch in der That,
dass nur mit aber nicht mit = zu gelten braucht:
Pl(ah l + 1'i l) Slah l0'i l,
d. h.
ah Aah B ... (ohne ah i) ah A + ah B + ... (ohne ah i).

Zu den Konsequenzen der Formeln 21) bis 23) -- die vielleicht
noch lange nicht erschöpfend gezogen sind -- gehört unter anderm
das bemerkenswerte Sätzegespann:
26) [Formel 2]
dessen ersten man auch ohne Zuhülfenahme der Koeffizientenevidenz
mit (a j in)(b j in) = ab j in gemäss 22) und 4) des § 6 beweisen kann.

Stellte i nicht ein Element, sondern irgend ein andres Relativ vor,
so würde sich blos die Einordnung ab ; i a ; i · b ; i behaupten lassen.

Natürlich kann man den Satz 26) auch von zweien auf beliebig
und unbegrenzt viele identische Faktoren (resp. Terme) ausdehnen,
und muss -- falls die Zeichen P, S sich auf ein allgemeines oder
irgendwie variables Relativ a beziehen -- auch gelten:
Pa ; i = (Pa) ; i, Pi ; a = i ; Pa, S(a j in) = Sa j in, S(in j a) = in j Sa.

Ebenso ist beachtenswert, dass der Satz gelten muss:
27) [Formel 3]
-- während, wenn i ein beliebiges Relativ vorstellte, sich blos
(a j b) ; i a j b ; i
behaupten lassen würde. Dies zu berücksichtigen ist besonders behufs
Ausführung von Summationen und Produktermittelungen wichtig.

Der Beweis ergibt sich nach 22) aufgrund der Assoziativität der
relativen Addition mit:
a j b ; i = a j (b j in) = (a j b) j in = (a j b) ; i.

Keineswegs dagegen dürfte auch a ; (b j i) gleich a ; b j i gesetzt
werden -- eine Verwechselung, vor der man sich hüten muss. Viel-

27*

§ 25. Knüpfungen zwischen Element und beliebigem Relativ.

25) [Formel 1]
d. h. ein Liebender von allen ausser i ist gewiss auch ein Liebender von
nicht-i’s. Dagegen braucht das Umgekehrte keineswegs zuzutreffen: ein
Liebender von nicht-i’s braucht nur einige aber nicht alle Personen ausser i
zu lieben.

Koeffizientenvergleichung für das Suffix hk lehrt auch in der That,
dass nur mit ⋹ aber nicht mit = zu gelten braucht:
Πl(ah l + 1'i l) ⋹ Σlah l0'i l,
d. h.
ah Aah B … (ohne ah i) ⋹ ah A + ah B + … (ohne ah i).

Zu den Konsequenzen der Formeln 21) bis 23) — die vielleicht
noch lange nicht erschöpfend gezogen sind — gehört unter anderm
das bemerkenswerte Sätzegespann:
26) [Formel 2]
dessen ersten man auch ohne Zuhülfenahme der Koeffizientenevidenz
mit (a ɟ ī)(b ɟ ī) = ab ɟ ī gemäss 22) und 4) des § 6 beweisen kann.

Stellte i nicht ein Element, sondern irgend ein andres Relativ vor,
so würde sich blos die Einordnung ab ; i ⋹ a ; i · b ; i behaupten lassen.

Natürlich kann man den Satz 26) auch von zweien auf beliebig
und unbegrenzt viele identische Faktoren (resp. Terme) ausdehnen,
und muss — falls die Zeichen Π, Σ sich auf ein allgemeines oder
irgendwie variables Relativ a beziehen — auch gelten:
Πa ; i = (Πa) ; i, Πĭ ; a = ĭ ; Πa, Σ(a ɟ ī) = Σa ɟ ī, Σ(ī̆ ɟ a) = ī̆ ɟ Σa.

Ebenso ist beachtenswert, dass der Satz gelten muss:
27) [Formel 3]
— während, wenn i ein beliebiges Relativ vorstellte, sich blos
(a ɟ b) ; i ⋹ a ɟ b ; i
behaupten lassen würde. Dies zu berücksichtigen ist besonders behufs
Ausführung von Summationen und Produktermittelungen wichtig.

Der Beweis ergibt sich nach 22) aufgrund der Assoziativität der
relativen Addition mit:
a ɟ b ; i = a ɟ (b ɟ ī) = (a ɟ b) ɟ ī = (a ɟ b) ; i.

Keineswegs dagegen dürfte auch a ; (b ɟ i) gleich a ; b ɟ i gesetzt
werden — eine Verwechselung, vor der man sich hüten muss. Viel-

27*

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[419/0433] § 25. Knüpfungen zwischen Element und beliebigem Relativ. 25) [FORMEL] d. h. ein Liebender von allen ausser i ist gewiss auch ein Liebender von nicht-i’s. Dagegen braucht das Umgekehrte keineswegs zuzutreffen: ein Liebender von nicht-i’s braucht nur einige aber nicht alle Personen ausser i zu lieben. Koeffizientenvergleichung für das Suffix hk lehrt auch in der That, dass nur mit ⋹ aber nicht mit = zu gelten braucht: Πl(ah l + 1'i l) ⋹ Σlah l0'i l, d. h. ah Aah B … (ohne ah i) ⋹ ah A + ah B + … (ohne ah i). Zu den Konsequenzen der Formeln 21) bis 23) — die vielleicht noch lange nicht erschöpfend gezogen sind — gehört unter anderm das bemerkenswerte Sätzegespann: 26) [FORMEL] dessen ersten man auch ohne Zuhülfenahme der Koeffizientenevidenz mit (a ɟ ī)(b ɟ ī) = ab ɟ ī gemäss 22) und 4) des § 6 beweisen kann. Stellte i nicht ein Element, sondern irgend ein andres Relativ vor, so würde sich blos die Einordnung ab ; i ⋹ a ; i · b ; i behaupten lassen. Natürlich kann man den Satz 26) auch von zweien auf beliebig und unbegrenzt viele identische Faktoren (resp. Terme) ausdehnen, und muss — falls die Zeichen Π, Σ sich auf ein allgemeines oder irgendwie variables Relativ a beziehen — auch gelten: Πa ; i = (Πa) ; i, Πĭ ; a = ĭ ; Πa, Σ(a ɟ ī) = Σa ɟ ī, Σ(ī̆ ɟ a) = ī̆ ɟ Σa. Ebenso ist beachtenswert, dass der Satz gelten muss: 27) [FORMEL] — während, wenn i ein beliebiges Relativ vorstellte, sich blos (a ɟ b) ; i ⋹ a ɟ b ; i behaupten lassen würde. Dies zu berücksichtigen ist besonders behufs Ausführung von Summationen und Produktermittelungen wichtig. Der Beweis ergibt sich nach 22) aufgrund der Assoziativität der relativen Addition mit: a ɟ b ; i = a ɟ (b ɟ ī) = (a ɟ b) ɟ ī = (a ɟ b) ; i. Keineswegs dagegen dürfte auch a ; (b ɟ i) gleich a ; b ɟ i gesetzt werden — eine Verwechselung, vor der man sich hüten muss. Viel- 27*

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 419. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/433>, abgerufen am 23.11.2024.

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