Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 25. Knüpfungsgesetze für Elemente. 31) [Tabelle] .Behufs Beweises des ersten haben wir Der erste Satz 31) des zweiten Gespannes beweist sich schon ohne Man bemerkt schon im Hinblick auf die vorige (mittelbare) Her- Hierher gehören auch noch die ganz leicht erweislichen Sätzchen:
Von sehr häufiger Anwendung werden endlich auch diese beiden Hievon verstehen sich die Gleichsetzungen der ersten Zeile in beiden § 25. Knüpfungsgesetze für Elemente. 31) [Tabelle] .Behufs Beweises des ersten haben wir Der erste Satz 31) des zweiten Gespannes beweist sich schon ohne Man bemerkt schon im Hinblick auf die vorige (mittelbare) Her- Hierher gehören auch noch die ganz leicht erweislichen Sätzchen:
Von sehr häufiger Anwendung werden endlich auch diese beiden Hievon verstehen sich die Gleichsetzungen der ersten Zeile in beiden <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0435" n="421"/><fw place="top" type="header">§ 25. Knüpfungsgesetze für Elemente.</fw><lb/> 31) <table><row><cell/></row></table>.</p><lb/> <p>Behufs Beweises des ersten haben wir<lb/><hi rendition="#i">L<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi>ī<hi rendition="#sub">l k</hi></hi> · <hi rendition="#i">i<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> = 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i k</hi>Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi></hi> und <hi rendition="#i">R<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i k</hi>Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">l k</hi></hi>, mithin <hi rendition="#i">L<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">R<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>;<lb/> denn für <hi rendition="#i">k</hi> ≠ <hi rendition="#i">i</hi> kommt diese Gleichung auf 0 = 0, für <hi rendition="#i">k</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> aber auf die<lb/> Identität <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi></hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">l i</hi></hi> hinaus, q. e. d. —</p><lb/> <p>Der erste Satz 31) des zweiten Gespannes beweist sich schon ohne<lb/> Zuhülfenahme der Koeffizientenevidenz vor- oder rückwärts so:<lb/><hi rendition="#c">0'<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> = 0'<hi rendition="#i">a</hi> ɟ <hi rendition="#i">ī</hi> = (0' ɟ <hi rendition="#i">ī</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi> ɟ <hi rendition="#i">ī</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> ɟ <hi rendition="#i">ī</hi>)<hi rendition="#i">ī</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> · <hi rendition="#i">ī</hi>,</hi><lb/> mit derselben so:<lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> · <hi rendition="#i">ī</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi>i<hi rendition="#sub">l k</hi>ī<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi>a<hi rendition="#sub">h l</hi></hi>1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i h</hi></hi> = <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h i</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h i</hi></hi> =<lb/> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi></hi>(0'<hi rendition="#i">a</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h l</hi></hi>1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi></hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi></hi>(0'<hi rendition="#i">a</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h l</hi>i<hi rendition="#sub">l k</hi></hi> = (0'<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi>.</hi></p><lb/> <p>Man bemerkt schon im Hinblick auf die vorige (mittelbare) Her-<lb/> leitung, dass dieser Satz 31), als zu nahe liegend, kaum noch registrirt zu<lb/> werden verdiente. Und so wollen wir auch inbezug auf eine Reihe noch<lb/> anführbarer ähnlicher Sätze — wie <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> · <hi rendition="#i">i</hi> = 1'<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi>, was mit <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> · 1' ; <hi rendition="#i">i</hi> nach<lb/> 26) folgt, etc. — hier nicht nach Vollständigkeit streben.</p><lb/> <p>Hierher gehören auch noch die ganz leicht erweislichen <hi rendition="#g">Sätzchen</hi>:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">aī̆</hi>⋹<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">ī</hi></cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> ɟ <hi rendition="#i">i</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">ĭ</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">īa</hi>⋹<hi rendition="#i">ī̆</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell><hi rendition="#i">ĭ</hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">i</hi> + <hi rendition="#i">a</hi></cell></row><lb/></table> oder<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">a</hi>⋹<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">ī</hi> + <hi rendition="#i">ĭ</hi></cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> ɟ <hi rendition="#i">i</hi>)<hi rendition="#i">ī̆</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">a</hi>⋹<hi rendition="#i">i</hi> + <hi rendition="#i">ī̆</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell><hi rendition="#i">ī</hi>(<hi rendition="#i">ĭ</hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) ⋹ <hi rendition="#i">a</hi></cell></row><lb/></table> und andre mehr.</p><lb/> <p>Von sehr häufiger Anwendung werden endlich auch diese beiden<lb/> Gruppen von <hi rendition="#g">Sätzen</hi> sein:<lb/> 32) <formula/><lb/> 33) <formula/><lb/></p> <p>Hievon verstehen sich die Gleichsetzungen der ersten Zeile in beiden<lb/> Chiffren wegen <hi rendition="#i">ĭ</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">ĭ</hi>, <hi rendition="#i">i</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> ; 1 etc. zwar aus einem allgemeineren Satze,<lb/> welchen wir unter 9) im § 27 der Theorie einfügen werden; da man be-<lb/> hufs Übergangs zur zweiten Zeile doch ohnehin an die Koeffizientenevidenz<lb/> appelliren muss, mögen sie hiernächst durch diese sogleich mit gerecht-<lb/> fertigt werden. 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§ 25. Knüpfungsgesetze für Elemente.
31)
.
Behufs Beweises des ersten haben wir
Lh k = Σlah līl k · ik h = 1'i kΣlah l0'i l und Rh k = 1'i kΣlah l0'l k, mithin Lh k = Rh k;
denn für k ≠ i kommt diese Gleichung auf 0 = 0, für k = i aber auf die
Identität Σlah l0'i l = Σlah l0'l i hinaus, q. e. d. —
Der erste Satz 31) des zweiten Gespannes beweist sich schon ohne
Zuhülfenahme der Koeffizientenevidenz vor- oder rückwärts so:
0'a ; i = 0'a ɟ ī = (0' ɟ ī)(a ɟ ī) = (a ɟ ī)ī = a ; i · ī,
mit derselben so:
(a ; i · ī)h k = Σlah lil kīh k = Σlah l1'i l0'i h = ah i0'h i =
= Σl(0'a)h l1'i l = Σl(0'a)h lil k = (0'a ; i)h k.
Man bemerkt schon im Hinblick auf die vorige (mittelbare) Her-
leitung, dass dieser Satz 31), als zu nahe liegend, kaum noch registrirt zu
werden verdiente. Und so wollen wir auch inbezug auf eine Reihe noch
anführbarer ähnlicher Sätze — wie a ; i · i = 1'a ; i, was mit a ; i · 1' ; i nach
26) folgt, etc. — hier nicht nach Vollständigkeit streben.
Hierher gehören auch noch die ganz leicht erweislichen Sätzchen:
aī̆⋹a ; ī a ɟ i ⋹ a + ĭ
īa⋹ī̆ ; a ĭ ɟ a ⋹ i + a
oder
a⋹a ; ī + ĭ (a ɟ i)ī̆ ⋹ a
a⋹i + ī̆ ; a ī(ĭ ɟ a) ⋹ a
und andre mehr.
Von sehr häufiger Anwendung werden endlich auch diese beiden
Gruppen von Sätzen sein:
32) [FORMEL]
33) [FORMEL]
Hievon verstehen sich die Gleichsetzungen der ersten Zeile in beiden
Chiffren wegen ĭ = 1 ; ĭ, i = i ; 1 etc. zwar aus einem allgemeineren Satze,
welchen wir unter 9) im § 27 der Theorie einfügen werden; da man be-
hufs Übergangs zur zweiten Zeile doch ohnehin an die Koeffizientenevidenz
appelliren muss, mögen sie hiernächst durch diese sogleich mit gerecht-
fertigt werden. Man hat zu 32) linkerhand:
Lh k = Σlil hah lil kbl k = Σlah l1'i lbl k = ah ibi k
und Rh k = Σlah lil k · Σmim hbm k = Σlah l1'i l · Σm1'i mbm k = ah ibi k,
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 421. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/435>, abgerufen am 18.02.2025. |