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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zehnte Vorlesung.

sein kann. Ein solches Relativ u müsste nämlich dann das Einauge
sein, als welches sich das eine (oder andre) der beiden genannten Ele-
mentepaare präsentirt. Das Einauge u = i : j kann, als h : k aus-
schliessend*), auch nicht z enthalten, dessen Teil ja laut Assumtion
sowol h : k als i : j ist. Ebensowenig kann aber auch die Negation
un = i : j unser z als Teil enthalten, obwol es h : k einschliessen wird,
weil es den Teil i : j von z ausschliesst.

Damit ist gezeigt, dass jedes durch die rechte Seite von 24) cha-
rakterisirte binäre Relativ z gerade ein Auge haben muss, und folglich
auch erfüllen muss die schon bekannte "Charakteristik des Einauges",
wie sie linkerhand in 24) sich angegeben findet.

Die Individuumscharakteristiken, entnommen einerseits dem iden-
tischen Kalkul als niederer Stufe und andrerseits der Theorie der rela-
tiven Modulknüpfungen als höherer Stufe der Algebra der Relative,
müssen darnach einander äquivalent sein, q. e. d.

Allein so bündig dieser vorstehende Beweis auch ist, so vermag
ich mich doch in methodologischer Hinsicht mit demselben noch nicht
ganz zufrieden zu geben. Als Desideratum schwebt mir noch die For-
derung vor, die linke Seite von 24) auch rein analytisch, rechnerisch,
aus der rechten abzuleiten, ungefähr wie dies umgekehrt bereits (so
ziemlich) geleistet wurde.

Ich bin in dieser Richtung wenigstens bis zu einem bestimmten Punkte
vorgedrungen, und bietet mein Weg einige interessante Momente, weshalb
die Betrachtungen in Kürze dargelegt seien.

Für jedes u ist entweder z u oder z un, aber niemals beides, weil
(z u)(z un) = (z uun) = (z 0) = (z = 0)
in Widerspruch mit der Stipulation z 0 treten würde.

Darnach ist entweder
zzn j 1' oder aber z z ; 0'.
Um nachzuweisen, dass von diesen beiden Alternativen notwendig die erstere
statt hat, kann man versuchen, die letztere ad absurdum zu führen.

Nehmen wir zu dem Ende an, es sei z z ; 0', so muss also zeilen-
schematisch sein 1abg0 111gn0, d. h. es muss die Zeilenkategorie g ent-
fallen und z = z ; 0' · z = 1ab-0 ohne einbesetzte Zeilen sein.

Weiter muss von vornherein entweder z 1' oder z 0' sein, von
welchen beiden Möglichkeiten die erstere sich refutiren lässt.

Entweder nämlich haben wir
zz j 0 (und damit z = z j 0 = 1---0) oder
z zn ; 1 [und damit (z j 0)z = 0, z j 0 = 0, z = zn ; 1 · z ; 0' · z = -ab-0].

*) Dass dies zutrifft, wird ganz strenge eigentlich erst weiter unten -- sub 27) --
gerechtfertigt.

Zehnte Vorlesung.

sein kann. Ein solches Relativ u müsste nämlich dann das Einauge
sein, als welches sich das eine (oder andre) der beiden genannten Ele-
mentepaare präsentirt. Das Einauge u = i : j kann, als h : k aus-
schliessend*), auch nicht z enthalten, dessen Teil ja laut Assumtion
sowol h : k als i : j ist. Ebensowenig kann aber auch die Negation
ū = i : j͞ unser z als Teil enthalten, obwol es h : k einschliessen wird,
weil es den Teil i : j von z ausschliesst.

Damit ist gezeigt, dass jedes durch die rechte Seite von 24) cha-
rakterisirte binäre Relativ z gerade ein Auge haben muss, und folglich
auch erfüllen muss die schon bekannte „Charakteristik des Einauges“,
wie sie linkerhand in 24) sich angegeben findet.

Ich bin in dieser Richtung wenigstens bis zu einem bestimmten Punkte
vorgedrungen, und bietet mein Weg einige interessante Momente, weshalb
die Betrachtungen in Kürze dargelegt seien.

Für jedes u ist entweder z ⋹ u oder z ⋹ ū, aber niemals beides, weil
(z ⋹ u)(z ⋹ ū) = (z ⋹ uū) = (z ⋹ 0) = (z = 0)
in Widerspruch mit der Stipulation z ≠ 0 treten würde.

Darnach ist entweder
z⋹z̄ ɟ 1' oder aber z ⋹ z ; 0'.
Um nachzuweisen, dass von diesen beiden Alternativen notwendig die erstere
statt hat, kann man versuchen, die letztere ad absurdum zu führen.

Nehmen wir zu dem Ende an, es sei z ⋹ z ; 0', so muss also zeilen-
schematisch sein 1αβγ0 ⋹ 111γ̄0, d. h. es muss die Zeilenkategorie γ ent-
fallen und z = z ; 0' · z = 1αβ-0 ohne einbesetzte Zeilen sein.

Weiter muss von vornherein entweder z ⋹ 1' oder z ⋹ 0' sein, von
welchen beiden Möglichkeiten die erstere sich refutiren lässt.

Entweder nämlich haben wir
z⋹z ɟ 0 (und damit z = z ɟ 0 = 1---0) oder
z ⋹ z̄ ; 1 [und damit (z ɟ 0)z = 0, z ɟ 0 = 0, z = z̄ ; 1 · z ; 0' · z = -αβ-0].

*) Dass dies zutrifft, wird ganz strenge eigentlich erst weiter unten — sub 27) —
gerechtfertigt.

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[436/0450] Zehnte Vorlesung. sein kann. Ein solches Relativ u müsste nämlich dann das Einauge sein, als welches sich das eine (oder andre) der beiden genannten Ele- mentepaare präsentirt. Das Einauge u = i : j kann, als h : k aus- schliessend *), auch nicht z enthalten, dessen Teil ja laut Assumtion sowol h : k als i : j ist. Ebensowenig kann aber auch die Negation ū = i : j͞ unser z als Teil enthalten, obwol es h : k einschliessen wird, weil es den Teil i : j von z ausschliesst. Damit ist gezeigt, dass jedes durch die rechte Seite von 24) cha- rakterisirte binäre Relativ z gerade ein Auge haben muss, und folglich auch erfüllen muss die schon bekannte „Charakteristik des Einauges“, wie sie linkerhand in 24) sich angegeben findet. Die Individuumscharakteristiken, entnommen einerseits dem iden- tischen Kalkul als niederer Stufe und andrerseits der Theorie der rela- tiven Modulknüpfungen als höherer Stufe der Algebra der Relative, müssen darnach einander äquivalent sein, q. e. d. Allein so bündig dieser vorstehende Beweis auch ist, so vermag ich mich doch in methodologischer Hinsicht mit demselben noch nicht ganz zufrieden zu geben. Als Desideratum schwebt mir noch die For- derung vor, die linke Seite von 24) auch rein analytisch, rechnerisch, aus der rechten abzuleiten, ungefähr wie dies umgekehrt bereits (so ziemlich) geleistet wurde. Ich bin in dieser Richtung wenigstens bis zu einem bestimmten Punkte vorgedrungen, und bietet mein Weg einige interessante Momente, weshalb die Betrachtungen in Kürze dargelegt seien. Für jedes u ist entweder z ⋹ u oder z ⋹ ū, aber niemals beides, weil (z ⋹ u)(z ⋹ ū) = (z ⋹ uū) = (z ⋹ 0) = (z = 0) in Widerspruch mit der Stipulation z ≠ 0 treten würde. Darnach ist entweder z⋹z̄ ɟ 1' oder aber z ⋹ z ; 0'. Um nachzuweisen, dass von diesen beiden Alternativen notwendig die erstere statt hat, kann man versuchen, die letztere ad absurdum zu führen. Nehmen wir zu dem Ende an, es sei z ⋹ z ; 0', so muss also zeilen- schematisch sein 1αβγ0 ⋹ 111γ̄0, d. h. es muss die Zeilenkategorie γ ent- fallen und z = z ; 0' · z = 1αβ-0 ohne einbesetzte Zeilen sein. Weiter muss von vornherein entweder z ⋹ 1' oder z ⋹ 0' sein, von welchen beiden Möglichkeiten die erstere sich refutiren lässt. Entweder nämlich haben wir z⋹z ɟ 0 (und damit z = z ɟ 0 = 1---0) oder z ⋹ z̄ ; 1 [und damit (z ɟ 0)z = 0, z ɟ 0 = 0, z = z̄ ; 1 · z ; 0' · z = -αβ-0]. *) Dass dies zutrifft, wird ganz strenge eigentlich erst weiter unten — sub 27) — gerechtfertigt.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 436. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/450>, abgerufen am 23.11.2024.

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