§ 3. Einordnung und Gleichheit zwischen Relativen.
Korollar zu (14) (a = b) = Pi j(ai j = bi j) -- wonach denn zwei Relative dann und nur dann einander gleich zu nennen sein werden, wenn sie in den gleichstelligen Koeffizienten über- einstimmen, d. h. identisch die nämlichen Elementepaare ausschliesslich umfassen.
Damit findet auch unsre oben noch verbal geführte Überlegung, dass ein binäres Relativ durch seine Koeffizienten bestimmt sei, ihre rechnerische Bestätigung, und es wird den bereits in Gleichungenform gegebenen Festsetzungen (5) bis (13) durch (14) und (1) ihr voller Inhalt gesichert.
Wenn gelegentlich auch von Beziehungen der Unterordnung wie ab (wo a "echter" Teil von b zu nennen), vielleicht der Sekanz a @ b, etc. wird gesprochen werden, so können wir diese gleichwie die Beziehungen ab (a ungleich b), ab (a nicht eingeordnet b), gemäss Bd. 2 nun auch als auf der Grundlage von (14) definirt erachten.
Zum Schlusse noch ein Wort der Rechtfertigung über die Ab- weichungen meines Bezeichnungssystems von den Peirce'schen, resp. dem uns am nächsten kommenden von diesen:
Wegen des nicht kommutativen Charakters der relativen Addition habe ich das Piu-Zeichen unsymmetrisch gestaltet, während Peirce9c sich noch mit dem steifen bei Todesanzeigen üblichen Kreuze behalf. Aus ähnlichem Grunde ist für die relative Multiplikation der Strichpunkt, das Semikolon, als ein unsymmetrisches Knüpfungszeichen von mir gewählt, während ich die identische Multiplikation als eine kommutative Knüpfung auch sym- metrisch ausdrücke, sei es vermittelst des Punktes als Malzeichens, sei es -- wie zumeist -- durch einfaches Nebeneinanderstellen der Faktoren (ohne ausdrückliches Verbindungszeichen). In letztrer Hinsicht weiche ich wesent- lich von Peirce ab.
Peirce bezeichnet das identische Produkt mit "a,b". Ganz abgesehen davon, dass dieses Komma als Malzeichen für eine kommutative Knüpfung wegen seiner Unsymmetrie hinsichtlich rechts und links als weniger geeignet erscheint, muss ich solche Verwendung eines so häufig als Interpunktions- zeichen gebrauchten Trennungszeichens nach wie vor für gänzlich unan- nehmbar erklären wegen der Verwirrung die sie anzurichten nicht verfehlen kann sowohl und vor allem im Texte, als auch in den Formeln, wo Funk- tionen von mehreren Argumenten in Betracht kommen, die ja auch durch Kommata zu trennen wären. Vergl. Bd. 1, S. 193 sq.
Die relative Multiplikation sodann drückt Peirce sozusagen symme- trisch mittelst einfachen Nebeneinanderstellens der Faktoren aus. Hiezu konnte ich mich schon darum, weil letztres Verfahren anderweitig vergeben war, nicht mehr bequemen.
Allerdings lassen sich zwei Umstände zugunsten dieses Peirce'schen Verfahrens anführen. Der eine ist geringfügiger Art: wird ein Relativ a
Schröder, Algebra der Relative. 3
§ 3. Einordnung und Gleichheit zwischen Relativen.
Korollar zu (14) (a = b) = Πi j(ai j = bi j) — wonach denn zwei Relative dann und nur dann einander gleich zu nennen sein werden, wenn sie in den gleichstelligen Koeffizienten über- einstimmen, d. h. identisch die nämlichen Elementepaare ausschliesslich umfassen.
Damit findet auch unsre oben noch verbal geführte Überlegung, dass ein binäres Relativ durch seine Koeffizienten bestimmt sei, ihre rechnerische Bestätigung, und es wird den bereits in Gleichungenform gegebenen Festsetzungen (5) bis (13) durch (14) und (1) ihr voller Inhalt gesichert.
Wenn gelegentlich auch von Beziehungen der Unterordnung wie a ⊂ b (wo a „echter“ Teil von b zu nennen), vielleicht der Sekanz a  b, etc. wird gesprochen werden, so können wir diese gleichwie die Beziehungen a ≠ b (a ungleich b), a ⋹ b (a nicht eingeordnet b), gemäss Bd. 2 nun auch als auf der Grundlage von (14) definirt erachten.
Zum Schlusse noch ein Wort der Rechtfertigung über die Ab- weichungen meines Bezeichnungssystems von den Peirce’schen, resp. dem uns am nächsten kommenden von diesen:
Wegen des nicht kommutativen Charakters der relativen Addition habe ich das Piu-Zeichen unsymmetrisch gestaltet, während Peirce9c sich noch mit dem steifen bei Todesanzeigen üblichen Kreuze behalf. Aus ähnlichem Grunde ist für die relative Multiplikation der Strichpunkt, das Semikolon, als ein unsymmetrisches Knüpfungszeichen von mir gewählt, während ich die identische Multiplikation als eine kommutative Knüpfung auch sym- metrisch ausdrücke, sei es vermittelst des Punktes als Malzeichens, sei es — wie zumeist — durch einfaches Nebeneinanderstellen der Faktoren (ohne ausdrückliches Verbindungszeichen). In letztrer Hinsicht weiche ich wesent- lich von Peirce ab.
Peirce bezeichnet das identische Produkt mit „a,b“. Ganz abgesehen davon, dass dieses Komma als Malzeichen für eine kommutative Knüpfung wegen seiner Unsymmetrie hinsichtlich rechts und links als weniger geeignet erscheint, muss ich solche Verwendung eines so häufig als Interpunktions- zeichen gebrauchten Trennungszeichens nach wie vor für gänzlich unan- nehmbar erklären wegen der Verwirrung die sie anzurichten nicht verfehlen kann sowohl und vor allem im Texte, als auch in den Formeln, wo Funk- tionen von mehreren Argumenten in Betracht kommen, die ja auch durch Kommata zu trennen wären. Vergl. Bd. 1, S. 193 sq.
Die relative Multiplikation sodann drückt Peirce sozusagen symme- trisch mittelst einfachen Nebeneinanderstellens der Faktoren aus. Hiezu konnte ich mich schon darum, weil letztres Verfahren anderweitig vergeben war, nicht mehr bequemen.
Allerdings lassen sich zwei Umstände zugunsten dieses Peirce’schen Verfahrens anführen. Der eine ist geringfügiger Art: wird ein Relativ a
Schröder, Algebra der Relative. 3
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§ 3. Einordnung und Gleichheit zwischen Relativen.
Korollar zu (14) (a = b) = Πi j(ai j = bi j)
— wonach denn zwei Relative dann und nur dann einander gleich zu
nennen sein werden, wenn sie in den gleichstelligen Koeffizienten über-
einstimmen, d. h. identisch die nämlichen Elementepaare ausschliesslich
umfassen.
Damit findet auch unsre oben noch verbal geführte Überlegung,
dass ein binäres Relativ durch seine Koeffizienten bestimmt sei, ihre
rechnerische Bestätigung, und es wird den bereits in Gleichungenform
gegebenen Festsetzungen (5) bis (13) durch (14) und (1) ihr voller
Inhalt gesichert.
Wenn gelegentlich auch von Beziehungen der Unterordnung wie a ⊂ b
(wo a „echter“ Teil von b zu nennen), vielleicht der Sekanz a  b, etc.
wird gesprochen werden, so können wir diese gleichwie die Beziehungen
a ≠ b (a ungleich b), a ⋹ b (a nicht eingeordnet b), gemäss Bd. 2 nun auch
als auf der Grundlage von (14) definirt erachten.
Zum Schlusse noch ein Wort der Rechtfertigung über die Ab-
weichungen meines Bezeichnungssystems von den Peirce’schen, resp.
dem uns am nächsten kommenden von diesen:
Wegen des nicht kommutativen Charakters der relativen Addition habe
ich das Piu-Zeichen unsymmetrisch gestaltet, während Peirce 9c sich noch
mit dem steifen bei Todesanzeigen üblichen Kreuze behalf. Aus ähnlichem
Grunde ist für die relative Multiplikation der Strichpunkt, das Semikolon,
als ein unsymmetrisches Knüpfungszeichen von mir gewählt, während ich
die identische Multiplikation als eine kommutative Knüpfung auch sym-
metrisch ausdrücke, sei es vermittelst des Punktes als Malzeichens, sei es
— wie zumeist — durch einfaches Nebeneinanderstellen der Faktoren (ohne
ausdrückliches Verbindungszeichen). In letztrer Hinsicht weiche ich wesent-
lich von Peirce ab.
Peirce bezeichnet das identische Produkt mit „a,b“. Ganz abgesehen
davon, dass dieses Komma als Malzeichen für eine kommutative Knüpfung
wegen seiner Unsymmetrie hinsichtlich rechts und links als weniger geeignet
erscheint, muss ich solche Verwendung eines so häufig als Interpunktions-
zeichen gebrauchten Trennungszeichens nach wie vor für gänzlich unan-
nehmbar erklären wegen der Verwirrung die sie anzurichten nicht verfehlen
kann sowohl und vor allem im Texte, als auch in den Formeln, wo Funk-
tionen von mehreren Argumenten in Betracht kommen, die ja auch durch
Kommata zu trennen wären. Vergl. Bd. 1, S. 193 sq.
Die relative Multiplikation sodann drückt Peirce sozusagen symme-
trisch mittelst einfachen Nebeneinanderstellens der Faktoren aus. Hiezu
konnte ich mich schon darum, weil letztres Verfahren anderweitig vergeben
war, nicht mehr bequemen.
Allerdings lassen sich zwei Umstände zugunsten dieses Peirce’schen
Verfahrens anführen. Der eine ist geringfügiger Art: wird ein Relativ a
Schröder, Algebra der Relative. 3
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 33. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/47>, abgerufen am 21.11.2024.
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