Diese Festsetzung schliesst sich den fundamentalen Konventionen des § 3 an. Wird sie zugrunde gelegt, so gelten folgende Darstellungen: 59)
[Formel 1]
für jedes System a, d. h. für jedes Relativ a, das = a ; 1 ist.
Zur Begründung und Erläuterung von diesen ist Mehreres zu sagen.
Wir beweisen zunächst die erste von den Formeln, indem wir für L = a und R = Siaii die Übereinstimmung des allgemeinen Koeffizienten zum Suffix hk nachweisen. Wir haben Lh k = ah k und wegen 57), (8) des § 3, 12) des § 8 und (58): Rh k = Siaiih k = SiSlai l1'i h = SlSiai l1'i h = Slah l = ah, mithin nach (58) in der That Lh k = Rh k.
Dafür, dass hier sogleich (Saii)h k = Saiih k gesetzt worden, sind nur die Festsetzungen (15) und (10) des § 3 -- mit Rücksicht etwa auf die Bemerkung am Schlusse des § 10 -- anzuziehen gewesen.
Nach eben bewiesenem Schema der ersten Gleichung 59) muss nun, weil, wenn a System ist auch an System sein wird, auch gelten: an = Sianii -- wobei über die Bedeutung des Koeffizienten ani = (an)i = Shani h kein Zweifel obwalten kann. Nach der Bemerkung in [ ] unter 58) ist dies jedoch auch = Phani h = Shai h und damit als ein Satz bewiesen: 60) ani = (ai).
Hiernach aber geht aus unsrer Darstellung von an durch Kontraposition die zweite Darstellung, von a = Pi(ai + in), im Gespanne 59) hervor, der eine ähnliche für an entsprechen wird.
Aus den hiemit gerechtfertigten beiden Doppelgleichungen der ersten Zeile von 59) folgen sodann die der zweiten Zeile mittelst beiderseitigen Konvertirens. Dabei wird nur zu beachten sein, dass, weil ai blos = 0 oder = 1 sein kann und diese in unsrer Theorie mit den Wahrheitswerten identifizirten Moduln durch Konvertiren nicht geändert werden, auch 61) (ai) = ai bleibt -- wovon aber ai = (a)i, wie nachher zu sehn, wohl unterschieden werden muss.
Mit dem ersten Satze des Gespannes 59) ist nun bewiesen:
Jedes System ist darstellbar als eine Summe von Elementen (welche natürlich derselben eingeordnet sein werden), es ist ein Inbegriff von in ihm enthaltnen Elementen, desgleichen ist es darstellbar als iden- tisches Produkt ("Gemeinheit") von Elementnegaten, den Negaten solcher Elemente die nicht in ihm enthalten sind -- und zwar, wie noch zu sehn, von allen diesen.
§ 27. Von Systemen zu den uninären Relativen.
Diese Festsetzung schliesst sich den fundamentalen Konventionen des § 3 an. Wird sie zugrunde gelegt, so gelten folgende Darstellungen: 59)
[Formel 1]
für jedes System a, d. h. für jedes Relativ a, das = a ; 1 ist.
Zur Begründung und Erläuterung von diesen ist Mehreres zu sagen.
Wir beweisen zunächst die erste von den Formeln, indem wir für L = a und R = Σiaii die Übereinstimmung des allgemeinen Koeffizienten zum Suffix hk nachweisen. Wir haben Lh k = ah k und wegen 57), (8) des § 3, 12) des § 8 und (58): Rh k = Σiaiih k = ΣiΣlai l1'i h = ΣlΣiai l1'i h = Σlah l = ah, mithin nach (58) in der That Lh k = Rh k.
Dafür, dass hier sogleich (Σaii)h k = Σaiih k gesetzt worden, sind nur die Festsetzungen (15) und (10) des § 3 — mit Rücksicht etwa auf die Bemerkung am Schlusse des § 10 — anzuziehen gewesen.
Nach eben bewiesenem Schema der ersten Gleichung 59) muss nun, weil, wenn a System ist auch ā System sein wird, auch gelten: ā = Σiāii — wobei über die Bedeutung des Koeffizienten āi = (ā)i = Σhāi h kein Zweifel obwalten kann. Nach der Bemerkung in [ ] unter 58) ist dies jedoch auch = Πhāi h = Σhai h͞ und damit als ein Satz bewiesen: 60) āi = (ai)͞.
Hiernach aber geht aus unsrer Darstellung von ā durch Kontraposition die zweite Darstellung, von a = Πi(ai + ī), im Gespanne 59) hervor, der eine ähnliche für ā entsprechen wird.
Aus den hiemit gerechtfertigten beiden Doppelgleichungen der ersten Zeile von 59) folgen sodann die der zweiten Zeile mittelst beiderseitigen Konvertirens. Dabei wird nur zu beachten sein, dass, weil ai blos = 0 oder = 1 sein kann und diese in unsrer Theorie mit den Wahrheitswerten identifizirten Moduln durch Konvertiren nicht geändert werden, auch 61) (ai)͝ = ai bleibt — wovon aber ăi = (ă)i, wie nachher zu sehn, wohl unterschieden werden muss.
Mit dem ersten Satze des Gespannes 59) ist nun bewiesen:
Jedes System ist darstellbar als eine Summe von Elementen (welche natürlich derselben eingeordnet sein werden), es ist ein Inbegriff von in ihm enthaltnen Elementen, desgleichen ist es darstellbar als iden- tisches Produkt („Gemeinheit“) von Elementnegaten, den Negaten solcher Elemente die nicht in ihm enthalten sind — und zwar, wie noch zu sehn, von allen diesen.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0471"n="457"/><fwplace="top"type="header">§ 27. Von Systemen zu den uninären Relativen.</fw><lb/><p>Diese Festsetzung schliesst sich den fundamentalen Konventionen<lb/>
des § 3 an. Wird sie zugrunde gelegt, so gelten folgende Darstellungen:<lb/>
59) <formula/><lb/><hirendition="#i">für jedes System a</hi>, d. h. für jedes Relativ <hirendition="#i">a</hi>, das = <hirendition="#i">a</hi> ; 1 ist.</p><lb/><p>Zur Begründung und Erläuterung von diesen ist Mehreres zu sagen.</p><lb/><p>Wir <hirendition="#g">beweisen</hi> zunächst die erste von den Formeln, indem wir für<lb/><hirendition="#i">L</hi> = <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">R</hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>a<hirendition="#sub">i</hi>i</hi> die Übereinstimmung des allgemeinen Koeffizienten<lb/>
zum Suffix <hirendition="#i">hk</hi> nachweisen. Wir haben <hirendition="#i">L<hirendition="#sub">h k</hi></hi> = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h k</hi></hi> und wegen 57), (8)<lb/>
des § 3, 12) des § 8 und (58):<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">R<hirendition="#sub">h k</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>a<hirendition="#sub">i</hi>i<hirendition="#sub">h k</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>Σ<hirendition="#sub">l</hi>a<hirendition="#sub">i l</hi></hi>1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">l</hi>Σ<hirendition="#sub">i</hi>a<hirendition="#sub">i l</hi></hi>1'<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">l</hi>a<hirendition="#sub">h l</hi></hi> = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">h</hi></hi>,</hi><lb/>
mithin nach (58) in der That <hirendition="#i">L<hirendition="#sub">h k</hi></hi> = <hirendition="#i">R<hirendition="#sub">h k</hi></hi>.</p><lb/><p>Dafür, dass hier sogleich (<hirendition="#i">Σa<hirendition="#sub">i</hi>i</hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">h k</hi></hi> = <hirendition="#i">Σa<hirendition="#sub">i</hi>i<hirendition="#sub">h k</hi></hi> gesetzt worden, sind nur<lb/>
die Festsetzungen (15) und (10) des § 3 — mit Rücksicht etwa auf die<lb/>
Bemerkung am Schlusse des § 10 — anzuziehen gewesen.</p><lb/><p>Nach eben bewiesenem Schema der ersten Gleichung 59) muss nun,<lb/>
weil, wenn <hirendition="#i">a</hi> System ist auch <hirendition="#i">ā</hi> System sein wird, auch gelten: <hirendition="#i">ā</hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>ā<hirendition="#sub">i</hi>i</hi><lb/>— wobei über die Bedeutung des Koeffizienten <hirendition="#i">ā<hirendition="#sub">i</hi></hi> = (<hirendition="#i">ā</hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">h</hi>ā<hirendition="#sub">i h</hi></hi> kein<lb/>
Zweifel obwalten kann. Nach der Bemerkung in [ ] unter 58) ist dies<lb/>
jedoch auch = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">h</hi>ā<hirendition="#sub">i h</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">h</hi>a<hirendition="#sub">i h</hi></hi>͞ und damit als ein <hirendition="#g">Satz</hi> bewiesen:<lb/>
60) <hirendition="#et"><hirendition="#i">ā<hirendition="#sub">i</hi></hi> = (<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi>)͞.</hi></p><lb/><p>Hiernach aber geht aus unsrer Darstellung von <hirendition="#i">ā</hi> durch Kontraposition<lb/>
die zweite Darstellung, von <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">Π<hirendition="#sub">i</hi></hi>(<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi> + <hirendition="#i">ī</hi>), im Gespanne 59) hervor, der<lb/>
eine ähnliche für <hirendition="#i">ā</hi> entsprechen wird.</p><lb/><p>Aus den hiemit gerechtfertigten beiden Doppelgleichungen der ersten<lb/>
Zeile von 59) folgen sodann die der zweiten Zeile mittelst beiderseitigen<lb/>
Konvertirens. Dabei wird nur zu beachten sein, dass, weil <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi> blos = 0<lb/>
oder = 1 sein kann und diese in unsrer Theorie mit den Wahrheitswerten<lb/>
identifizirten Moduln durch Konvertiren nicht geändert werden, auch<lb/>
61) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi>)͝ = <hirendition="#i">a<hirendition="#sub">i</hi></hi></hi><lb/>
bleibt — wovon aber <hirendition="#i">ă<hirendition="#sub">i</hi></hi> = (<hirendition="#i">ă</hi>)<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i</hi></hi>, wie nachher zu sehn, wohl unterschieden<lb/>
werden muss.</p><lb/><p>Mit dem ersten Satze des Gespannes 59) ist nun bewiesen:</p><lb/><p><hirendition="#i">Jedes System ist darstellbar als eine Summe von Elementen</hi> (welche<lb/>
natürlich derselben eingeordnet sein werden), es <hirendition="#i">ist ein Inbegriff von<lb/>
in ihm enthaltnen Elementen</hi>, desgleichen ist es darstellbar als iden-<lb/>
tisches <hirendition="#i">Produkt</hi> („Gemeinheit“) <hirendition="#i">von Elementnegaten</hi>, den Negaten <hirendition="#i">solcher</hi><lb/>
Elemente die <hirendition="#i">nicht</hi> in ihm enthalten sind — und zwar, wie noch zu<lb/>
sehn, von <hirendition="#i">allen</hi> diesen.</p><lb/></div></div></body></text></TEI>
[457/0471]
§ 27. Von Systemen zu den uninären Relativen.
Diese Festsetzung schliesst sich den fundamentalen Konventionen
des § 3 an. Wird sie zugrunde gelegt, so gelten folgende Darstellungen:
59) [FORMEL]
für jedes System a, d. h. für jedes Relativ a, das = a ; 1 ist.
Zur Begründung und Erläuterung von diesen ist Mehreres zu sagen.
Wir beweisen zunächst die erste von den Formeln, indem wir für
L = a und R = Σiaii die Übereinstimmung des allgemeinen Koeffizienten
zum Suffix hk nachweisen. Wir haben Lh k = ah k und wegen 57), (8)
des § 3, 12) des § 8 und (58):
Rh k = Σiaiih k = ΣiΣlai l1'i h = ΣlΣiai l1'i h = Σlah l = ah,
mithin nach (58) in der That Lh k = Rh k.
Dafür, dass hier sogleich (Σaii)h k = Σaiih k gesetzt worden, sind nur
die Festsetzungen (15) und (10) des § 3 — mit Rücksicht etwa auf die
Bemerkung am Schlusse des § 10 — anzuziehen gewesen.
Nach eben bewiesenem Schema der ersten Gleichung 59) muss nun,
weil, wenn a System ist auch ā System sein wird, auch gelten: ā = Σiāii
— wobei über die Bedeutung des Koeffizienten āi = (ā)i = Σhāi h kein
Zweifel obwalten kann. Nach der Bemerkung in [ ] unter 58) ist dies
jedoch auch = Πhāi h = Σhai h͞ und damit als ein Satz bewiesen:
60) āi = (ai)͞.
Hiernach aber geht aus unsrer Darstellung von ā durch Kontraposition
die zweite Darstellung, von a = Πi(ai + ī), im Gespanne 59) hervor, der
eine ähnliche für ā entsprechen wird.
Aus den hiemit gerechtfertigten beiden Doppelgleichungen der ersten
Zeile von 59) folgen sodann die der zweiten Zeile mittelst beiderseitigen
Konvertirens. Dabei wird nur zu beachten sein, dass, weil ai blos = 0
oder = 1 sein kann und diese in unsrer Theorie mit den Wahrheitswerten
identifizirten Moduln durch Konvertiren nicht geändert werden, auch
61) (ai)͝ = ai
bleibt — wovon aber ăi = (ă)i, wie nachher zu sehn, wohl unterschieden
werden muss.
Mit dem ersten Satze des Gespannes 59) ist nun bewiesen:
Jedes System ist darstellbar als eine Summe von Elementen (welche
natürlich derselben eingeordnet sein werden), es ist ein Inbegriff von
in ihm enthaltnen Elementen, desgleichen ist es darstellbar als iden-
tisches Produkt („Gemeinheit“) von Elementnegaten, den Negaten solcher
Elemente die nicht in ihm enthalten sind — und zwar, wie noch zu
sehn, von allen diesen.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 457. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/471>, abgerufen am 23.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
