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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 27. Relativkoeffizienten mit nur einem Index.

Mit dem absoluten Namen "Liebender" ist ein jeder zu bezeichnen,
der überhaupt jemanden (irgendwen, oder irgendetwas) liebt (eventuell
auch blos eine Sache; doch vereinfacht es unsre Erörterungen, wenn
wir den Denkbereich 11 auf Personen beschränkt annehmen). Gibt es
nun eine Person h die von i geliebt wird, d. h. existirt ein Element h
derart dass i a ; h oder ai h = 1 ist, so wird auch (a ; 1)i j = Shai h = 1
und damit ai = 1 sein; und andernfalles haben wir ai = 0. Es ist
also ai gleich 1 oder gleich 0, jenachdem i ein "Liebender (schlecht-
weg)" ist oder nicht, q. e. d. Ebenso heisst "Vater" einer, der über-
haupt ein Kind gezeugt hat, und würde unser ai besagen: i ist Vater,
sobald uns das binäre Relativ a den Begriff "Vater von-" reprä-
sentirte. Etc.

Mit (71) wird auch die Abkürzung gegeben sein:
72) Shah j = (1 ; a)i j = (a ; 1)j i = aj.

Es gelten aber für den so erweiterten Begriff der Koeffizienten ai
nicht mehr alle die Sätze die für den engern im Denkbereiche 11 der
uninären Relative aufgestellt worden. Namentlich werden die Glei-
chungen 60, 67, 68) teilweise zu modifiziren sein zu den Subsumtionen:
73) (ai) ani oder (an)i,
74)

(ab)i aibiai + bi = (a + b)i
75)
(Pa)i PaiSai = (Sa)i,
wie aus a ; 1 an ; 1, nämlich an j 0 an ; 1, sowie links ab ; 1 a ; 1 · b ; 1,
(Pa) ; 1 P(a ; 1) sive Pa ; 1 mit Rücksicht auf 71) analytisch sofort
erhellt. Die Formeln rechts in 74, 75) bleiben als Gleichungen in
Kraft und entsprechen denen links nur mehr "pseudodual"; sie ver-
stehen sich als gültige aus a ; 1 + b ; 1 = (a + b) ; 1 und S(a ; 1) sive
Sa ; 1 = (Sa) ; 1. Dass sie in der That aus denen links nicht durch
Kontraposition ableitbar sind, oder umgekehrt, geht eben daraus hervor,
dass gemäss 73) auch (ani) nicht = sondern blos ai sein muss.

Bildet man Phai h als das Negat von Shani h, etc. so ergeben sich
nach (71) auch noch für diese P die Abkürzungen:
76) Phai h = (a j 0)i j = (ani), Phah j = (0 j a)i j = (anj)
-- welche etwas unbequemen Symbole jedoch nach dem Gesagten
nicht weiter reduzirbar sind.

Die Formeln 59) gelten für die erweiterte, mit (71) zu einer all-
gemeingültigen erhobene Begriffserklärung der ai, welche somit von
der Einschränkung, dass a von vornherein als ein System gedacht
werden müsse, befreit ist, nicht. Es muss im allgemeinen unmöglich

Schröder, Algebra der Relative. 30
§ 27. Relativkoeffizienten mit nur einem Index.

Mit dem absoluten Namen „Liebender“ ist ein jeder zu bezeichnen,
der überhaupt jemanden (irgendwen, oder irgendetwas) liebt (eventuell
auch blos eine Sache; doch vereinfacht es unsre Erörterungen, wenn
wir den Denkbereich 11 auf Personen beschränkt annehmen). Gibt es
nun eine Person h die von i geliebt wird, d. h. existirt ein Element h
derart dass i ⋹ a ; h oder ai h = 1 ist, so wird auch (a ; 1)i j = Σhai h = 1
und damit ai = 1 sein; und andernfalles haben wir ai = 0. Es ist
also ai gleich 1 oder gleich 0, jenachdem i ein „Liebender (schlecht-
weg)“ ist oder nicht, q. e. d. Ebenso heisst „Vater“ einer, der über-
haupt ein Kind gezeugt hat, und würde unser ai besagen: i ist Vater,
sobald uns das binäre Relativ a den Begriff „Vater von-“ reprä-
sentirte. Etc.

Mit (71) wird auch die Abkürzung gegeben sein:
72) Σhah j = (1 ; a)i j = (ă ; 1)j i = ăj.

Es gelten aber für den so erweiterten Begriff der Koeffizienten ai
nicht mehr alle die Sätze die für den engern im Denkbereiche 11 der
uninären Relative aufgestellt worden. Namentlich werden die Glei-
chungen 60, 67, 68) teilweise zu modifiziren sein zu den Subsumtionen:
73) (ai)͞ ⋹ āi oder (ā)i,
74)

(ab)i ⋹ aibiai + bi = (a + b)i
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(Πa)i ⋹ ΠaiΣai = (Σa)i,
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(Πa) ; 1 ⋹ Π(a ; 1) sive Πa ; 1 mit Rücksicht auf 71) analytisch sofort
erhellt. Die Formeln rechts in 74, 75) bleiben als Gleichungen in
Kraft und entsprechen denen links nur mehr „pseudodual“; sie ver-
stehen sich als gültige aus a ; 1 + b ; 1 = (a + b) ; 1 und Σ(a ; 1) sive
Σa ; 1 = (Σa) ; 1. Dass sie in der That aus denen links nicht durch
Kontraposition ableitbar sind, oder umgekehrt, geht eben daraus hervor,
dass gemäss 73) auch (āi)͞ nicht = sondern blos ⋹ ai sein muss.

Bildet man Πhai h als das Negat von Σhāi h, etc. so ergeben sich
nach (71) auch noch für diese Π die Abkürzungen:
76) Πhai h = (a ɟ 0)i j = (āi)͞, Πhah j = (0 ɟ a)i j = (ā̆j)͞
— welche etwas unbequemen Symbole jedoch nach dem Gesagten
nicht weiter reduzirbar sind.

Die Formeln 59) gelten für die erweiterte, mit (71) zu einer all-
gemeingültigen erhobene Begriffserklärung der ai, welche somit von
der Einschränkung, dass a von vornherein als ein System gedacht
werden müsse, befreit ist, nicht. Es muss im allgemeinen unmöglich

Schröder, Algebra der Relative. 30
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[465/0479] § 27. Relativkoeffizienten mit nur einem Index. Mit dem absoluten Namen „Liebender“ ist ein jeder zu bezeichnen, der überhaupt jemanden (irgendwen, oder irgendetwas) liebt (eventuell auch blos eine Sache; doch vereinfacht es unsre Erörterungen, wenn wir den Denkbereich 11 auf Personen beschränkt annehmen). Gibt es nun eine Person h die von i geliebt wird, d. h. existirt ein Element h derart dass i ⋹ a ; h oder ai h = 1 ist, so wird auch (a ; 1)i j = Σhai h = 1 und damit ai = 1 sein; und andernfalles haben wir ai = 0. Es ist also ai gleich 1 oder gleich 0, jenachdem i ein „Liebender (schlecht- weg)“ ist oder nicht, q. e. d. Ebenso heisst „Vater“ einer, der über- haupt ein Kind gezeugt hat, und würde unser ai besagen: i ist Vater, sobald uns das binäre Relativ a den Begriff „Vater von-“ reprä- sentirte. Etc. Mit (71) wird auch die Abkürzung gegeben sein: 72) Σhah j = (1 ; a)i j = (ă ; 1)j i = ăj. Es gelten aber für den so erweiterten Begriff der Koeffizienten ai nicht mehr alle die Sätze die für den engern im Denkbereiche 11 der uninären Relative aufgestellt worden. Namentlich werden die Glei- chungen 60, 67, 68) teilweise zu modifiziren sein zu den Subsumtionen: 73) (ai)͞ ⋹ āi oder (ā)i, 74) (ab)i ⋹ aibi ai + bi = (a + b)i 75) (Πa)i ⋹ Πai Σai = (Σa)i, wie aus a ; 1͞ ⋹ ā ; 1, nämlich ā ɟ 0 ⋹ ā ; 1, sowie links ab ; 1 ⋹ a ; 1 · b ; 1, (Πa) ; 1 ⋹ Π(a ; 1) sive Πa ; 1 mit Rücksicht auf 71) analytisch sofort erhellt. Die Formeln rechts in 74, 75) bleiben als Gleichungen in Kraft und entsprechen denen links nur mehr „pseudodual“; sie ver- stehen sich als gültige aus a ; 1 + b ; 1 = (a + b) ; 1 und Σ(a ; 1) sive Σa ; 1 = (Σa) ; 1. Dass sie in der That aus denen links nicht durch Kontraposition ableitbar sind, oder umgekehrt, geht eben daraus hervor, dass gemäss 73) auch (āi)͞ nicht = sondern blos ⋹ ai sein muss. Bildet man Πhai h als das Negat von Σhāi h, etc. so ergeben sich nach (71) auch noch für diese Π die Abkürzungen: 76) Πhai h = (a ɟ 0)i j = (āi)͞, Πhah j = (0 ɟ a)i j = (ā̆j)͞ — welche etwas unbequemen Symbole jedoch nach dem Gesagten nicht weiter reduzirbar sind. Die Formeln 59) gelten für die erweiterte, mit (71) zu einer all- gemeingültigen erhobene Begriffserklärung der ai, welche somit von der Einschränkung, dass a von vornherein als ein System gedacht werden müsse, befreit ist, nicht. Es muss im allgemeinen unmöglich Schröder, Algebra der Relative. 30

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 465. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/479>, abgerufen am 23.11.2024.