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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

Muss z. B. 1' b ; a sein, so folgt ja a fortiori auch 1' b ; 1; und
hatten wir 1' b j c ; a, so involvirt dies bereits 1' b j c ; 1, etc.

Sodann ist zu bemerken, dass bei den vier ersten Theoremen 7) die
Peirce'sche Resultante sogleich auch als die vollständige nachweisbar ist.

Sobald nämlich bei 10) bis 40) die angegebne Resultante erfüllt ist,
existirt auch sicher eine Wurzel der Aufgabe, und zwar in Gestalt von
x = an, welches die eine Prämisse kraft der Formel 1' a j an, die andre
eben kraft der Resultante erfüllt.

Von den übrigen Resultanten 50) .. 100) bleibt es vorerst fraglich,
ob sie die vollen sind, und glaube ich, dass die Entscheidung zum
Teil verneinend ausfallen wird. Dieselben würden so nur den Wert
von Schlüssen haben, deren Validität ausser Zweifel steht, die aber
nicht alles erschöpfen, was ohne Rücksicht auf x aus den Prämissen
folgt. Vermag man nun nicht Alles zu gewinnen, so muss man eben
mit Einigem sich schon begnügen.

Zu den oben verwerteten Sätzen 3) des § 8 über relative Knüpfungen
gelten analog für identische Knüpfungen eine Stufe tiefer die Sätze 2)
des § 8:
1' a + an, aan 0'.

Der Versuch, letztere ebenso zu verwerten, scheitert an dem Umstande,
dass man, nachdem die erste mit der konvertirten zweiten Prämisse durch
identische Multiplikation überschiebend verknüpft ist, nicht mehr über solche
Sätze verfügt, die eine Klammerverschiebung gestatten und es so ermög-
lichen würden, das x mit dem xn "zusammenzubringen".

Desgleichen lässt uns die Methode im stich bei den entsprechenden
Aufgaben, wo nur der Negationsstrich über dem x (in der zweiten Prämisse)
entfällt -- vergleiche S. 489 oben.

Abgesehen von der vorstehend dargelegten genialen Ausnutzung
derselben halte ich überhaupt die Idee, die Subsumtionen auf das
Subjekt 1' oder das Prädikat 0' (statt 1, 0) zu bringen, für nicht be-
sonders förderlich. Vielmehr scheint mir zunächst vor dieser eine
andre Schreibweise den Vorzug wegen ihrer grössern Durchsichtigkeit
zu verdienen.

Wie man nämlich für 1' a j b besser a + b = 1 gemäss 22) des
§ 8 schreiben wird, so wird man auch bei 1' a ; b gut thun einen
Satz zu berücksichtigen, der lautet wie folgt:
8) (1' a ; b) = (ab ; 1 = 1) = (1 ; ab = 1) | (a j b 0') = {(a + b) j 0 = 0} = {0 j (a + b) = 0}
und lehrt, dass 1' a ; b lediglich besagt, dass das Relativ ab keine
Leerzeilen habe -- gemäss welchem also wegen 4) auch noch nebenher
gelten muss:
9) (1' a ; b) = (1' ab ; 1) = (1' 1 ; ab) | (a j b 0') = {a + b) j 0 0'} = {0 j (a + b) 0'}.

Elfte Vorlesung.

Muss z. B. 1' ⋹ b ; ă sein, so folgt ja a fortiori auch 1' ⋹ b ; 1; und
hatten wir 1' ⋹ b ɟ c ; ă, so involvirt dies bereits 1' ⋹ b ɟ c ; 1, etc.

Sodann ist zu bemerken, dass bei den vier ersten Theoremen 7) die
Peirce’sche Resultante sogleich auch als die vollständige nachweisbar ist.

Sobald nämlich bei 10) bis 40) die angegebne Resultante erfüllt ist,
existirt auch sicher eine Wurzel der Aufgabe, und zwar in Gestalt von
x = ā̆, welches die eine Prämisse kraft der Formel 1' ⋹ a ɟ ā̆, die andre
eben kraft der Resultante erfüllt.

Von den übrigen Resultanten 50) ‥ 100) bleibt es vorerst fraglich,
ob sie die vollen sind, und glaube ich, dass die Entscheidung zum
Teil verneinend ausfallen wird. Dieselben würden so nur den Wert
von Schlüssen haben, deren Validität ausser Zweifel steht, die aber
nicht alles erschöpfen, was ohne Rücksicht auf x aus den Prämissen
folgt. Vermag man nun nicht Alles zu gewinnen, so muss man eben
mit Einigem sich schon begnügen.

Zu den oben verwerteten Sätzen 3) des § 8 über relative Knüpfungen
gelten analog für identische Knüpfungen eine Stufe tiefer die Sätze 2)
des § 8:
1' ⋹ a + ā̆, aā̆ ⋹ 0'.

Desgleichen lässt uns die Methode im stich bei den entsprechenden
Aufgaben, wo nur der Negationsstrich über dem x (in der zweiten Prämisse)
entfällt — vergleiche S. 489 oben.

Wie man nämlich für 1' ⋹ a ɟ b besser a + b̆ = 1 gemäss 22) des
§ 8 schreiben wird, so wird man auch bei 1' ⋹ a ; b gut thun einen
Satz zu berücksichtigen, der lautet wie folgt:
8) (1' ⋹ a ; b) = (ab̆ ; 1 = 1) = (1 ; ăb = 1) | (a ɟ b ⋹ 0') = {(a + b̆) ɟ 0 = 0} = {0 ɟ (ă + b) = 0}
und lehrt, dass 1' ⋹ a ; b lediglich besagt, dass das Relativ ab̆ keine
Leerzeilen habe — gemäss welchem also wegen 4) auch noch nebenher
gelten muss:
9) (1' ⋹ a ; b) = (1' ⋹ ab̆ ; 1) = (1' ⋹ 1 ; ăb) | (a ɟ b ⋹ 0') = {a + b̆) ɟ 0 ⋹ 0'} = {0 ɟ (ă + b) ⋹ 0'}.

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[474/0488] Elfte Vorlesung. Muss z. B. 1' ⋹ b ; ă sein, so folgt ja a fortiori auch 1' ⋹ b ; 1; und hatten wir 1' ⋹ b ɟ c ; ă, so involvirt dies bereits 1' ⋹ b ɟ c ; 1, etc. Sodann ist zu bemerken, dass bei den vier ersten Theoremen 7) die Peirce’sche Resultante sogleich auch als die vollständige nachweisbar ist. Sobald nämlich bei 10) bis 40) die angegebne Resultante erfüllt ist, existirt auch sicher eine Wurzel der Aufgabe, und zwar in Gestalt von x = ā̆, welches die eine Prämisse kraft der Formel 1' ⋹ a ɟ ā̆, die andre eben kraft der Resultante erfüllt. Von den übrigen Resultanten 50) ‥ 100) bleibt es vorerst fraglich, ob sie die vollen sind, und glaube ich, dass die Entscheidung zum Teil verneinend ausfallen wird. Dieselben würden so nur den Wert von Schlüssen haben, deren Validität ausser Zweifel steht, die aber nicht alles erschöpfen, was ohne Rücksicht auf x aus den Prämissen folgt. Vermag man nun nicht Alles zu gewinnen, so muss man eben mit Einigem sich schon begnügen. Zu den oben verwerteten Sätzen 3) des § 8 über relative Knüpfungen gelten analog für identische Knüpfungen eine Stufe tiefer die Sätze 2) des § 8: 1' ⋹ a + ā̆, aā̆ ⋹ 0'. Der Versuch, letztere ebenso zu verwerten, scheitert an dem Umstande, dass man, nachdem die erste mit der konvertirten zweiten Prämisse durch identische Multiplikation überschiebend verknüpft ist, nicht mehr über solche Sätze verfügt, die eine Klammerverschiebung gestatten und es so ermög- lichen würden, das x mit dem x̄̆ „zusammenzubringen“. Desgleichen lässt uns die Methode im stich bei den entsprechenden Aufgaben, wo nur der Negationsstrich über dem x (in der zweiten Prämisse) entfällt — vergleiche S. 489 oben. Abgesehen von der vorstehend dargelegten genialen Ausnutzung derselben halte ich überhaupt die Idee, die Subsumtionen auf das Subjekt 1' oder das Prädikat 0' (statt 1, 0) zu bringen, für nicht be- sonders förderlich. Vielmehr scheint mir zunächst vor dieser eine andre Schreibweise den Vorzug wegen ihrer grössern Durchsichtigkeit zu verdienen. Wie man nämlich für 1' ⋹ a ɟ b besser a + b̆ = 1 gemäss 22) des § 8 schreiben wird, so wird man auch bei 1' ⋹ a ; b gut thun einen Satz zu berücksichtigen, der lautet wie folgt: 8) (1' ⋹ a ; b) = (ab̆ ; 1 = 1) = (1 ; ăb = 1) | (a ɟ b ⋹ 0') = {(a + b̆) ɟ 0 = 0} = {0 ɟ (ă + b) = 0} und lehrt, dass 1' ⋹ a ; b lediglich besagt, dass das Relativ ab̆ keine Leerzeilen habe — gemäss welchem also wegen 4) auch noch nebenher gelten muss: 9) (1' ⋹ a ; b) = (1' ⋹ ab̆ ; 1) = (1' ⋹ 1 ; ăb) | (a ɟ b ⋹ 0') = {a + b̆) ɟ 0 ⋹ 0'} = {0 ɟ (ă + b) ⋹ 0'}.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 474. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/488>, abgerufen am 23.11.2024.

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