Beweis von 8). Es ist: 1'i j = Shai hbh j für ji als nichtssagend erfüllt, für j = i dagegen äquivalent mit: 1'i i = 1 = 1i j = Shai hbh i = Sh(ab)i h = (ab ; 1)i j, q. e. d.
Nach den genannten Schemata wollen wir nun die Formeln 7) sowol hinsichtlich der Prämissen als auch der Resultanten noch über- sichtlicher darstellen. Bei jenen zunächst getrennt zu nehmenden wird somit das Vorbild zu beachten sein: (1' a j x) = (a + x = 1), (1' a ; x) = (ax ; 1 = 1), (1' a j b ; x) = (a + x ; b = 1), {1' a ; (b j x)} = {a(x j b) ; 1 = 1}, nach dessen Anwendung sie wieder vereinigt werden können. Sowol x als xn wird dann nur noch mit dem Konversionsringel behaftet vor- kommen, und wird man zur Vereinfachung der Schreibung x für x sagen. Ersetzt man ebenso diejenigen von den Parametern, welche darnach in den Prämissen noch geringelt auftreten*), durch ihre Kon- verse, so stellen die Sätze 7) sich nunmehr wie folgt dar: 10)
[Formel 1]
, wo die Vollständigkeit, wie gesagt, nur bei den vier ersten Resultanten garantirt werden kann. Diese fliessen aus einem gemeinsamen Schema: 11) {(a + x)f(xn) = 1} {f(a) = 1} welches gilt und die volle Resultante der Elimination von x aus der Proposition linkerhand liefert, sobald in f(xn) -- populär zu reden -- wirklich "blos xn (ohne x selber) vorkommt". Stellt nämlich -- ge- nauer gesagt -- f(xn) das Ergebniss vor von irgendwelchen Knüpfungen (vermittelst der vier knüpfenden von den 6 Spezies) der beiden Rela- tive xn und xn mit irgendwelchen von x unabhängigen Relativen, m. a. W. ist
*) Nämlich c bei 30), 40), 60), 70), b und d bei 80), 90), 100).
§ 28. Studie über Elimination.
Beweis von 8). Es ist: 1'i j = Σhai hbh j für j ≠ i als nichtssagend erfüllt, für j = i dagegen äquivalent mit: 1'i i = 1 = 1i j = Σhai hbh i = Σh(ab̆)i h = (ab̆ ; 1)i j, q. e. d.
Nach den genannten Schemata wollen wir nun die Formeln 7) sowol hinsichtlich der Prämissen als auch der Resultanten noch über- sichtlicher darstellen. Bei jenen zunächst getrennt zu nehmenden wird somit das Vorbild zu beachten sein: (1' ⋹ a ɟ x) = (a + x̆ = 1), (1' ⋹ a ; x) = (ax̆ ; 1 = 1), (1' ⋹ a ɟ b ; x) = (a + x̆ ; b̆ = 1), {1' ⋹ a ; (b ɟ x)} = {a(x̆ ɟ b̆) ; 1 = 1}, nach dessen Anwendung sie wieder vereinigt werden können. Sowol x als x̄ wird dann nur noch mit dem Konversionsringel behaftet vor- kommen, und wird man zur Vereinfachung der Schreibung x für x̆ sagen. Ersetzt man ebenso diejenigen von den Parametern, welche darnach in den Prämissen noch geringelt auftreten*), durch ihre Kon- verse, so stellen die Sätze 7) sich nunmehr wie folgt dar: 10)
[Formel 1]
, wo die Vollständigkeit, wie gesagt, nur bei den vier ersten Resultanten garantirt werden kann. Diese fliessen aus einem gemeinsamen Schema: 11) {(a + x)f(x̄) = 1} ⋹ {f(a) = 1} welches gilt und die volle Resultante der Elimination von x aus der Proposition linkerhand liefert, sobald in f(x̄) — populär zu reden — wirklich „blos x̄ (ohne x selber) vorkommt“. Stellt nämlich — ge- nauer gesagt — f(x̄) das Ergebniss vor von irgendwelchen Knüpfungen (vermittelst der vier knüpfenden von den 6 Spezies) der beiden Rela- tive x̄ und x̄̆ mit irgendwelchen von x unabhängigen Relativen, m. a. W. ist
*) Nämlich c bei 30), 40), 60), 70), b und d bei 80), 90), 100).
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§ 28. Studie über Elimination.
Beweis von 8). Es ist: 1'i j = Σhai hbh j für j ≠ i als nichtssagend
erfüllt, für j = i dagegen äquivalent mit:
1'i i = 1 = 1i j = Σhai hbh i = Σh(ab̆)i h = (ab̆ ; 1)i j, q. e. d.
Nach den genannten Schemata wollen wir nun die Formeln 7)
sowol hinsichtlich der Prämissen als auch der Resultanten noch über-
sichtlicher darstellen. Bei jenen zunächst getrennt zu nehmenden wird
somit das Vorbild zu beachten sein:
(1' ⋹ a ɟ x) = (a + x̆ = 1), (1' ⋹ a ; x) = (ax̆ ; 1 = 1),
(1' ⋹ a ɟ b ; x) = (a + x̆ ; b̆ = 1), {1' ⋹ a ; (b ɟ x)} = {a(x̆ ɟ b̆) ; 1 = 1},
nach dessen Anwendung sie wieder vereinigt werden können. Sowol
x als x̄ wird dann nur noch mit dem Konversionsringel behaftet vor-
kommen, und wird man zur Vereinfachung der Schreibung x für x̆
sagen. Ersetzt man ebenso diejenigen von den Parametern, welche
darnach in den Prämissen noch geringelt auftreten *), durch ihre Kon-
verse, so stellen die Sätze 7) sich nunmehr wie folgt dar:
10) [FORMEL],
wo die Vollständigkeit, wie gesagt, nur bei den vier ersten Resultanten
garantirt werden kann. Diese fliessen aus einem gemeinsamen Schema:
11) {(a + x)f(x̄) = 1} ⋹ {f(a) = 1}
welches gilt und die volle Resultante der Elimination von x aus der
Proposition linkerhand liefert, sobald in f(x̄) — populär zu reden —
wirklich „blos x̄ (ohne x selber) vorkommt“. Stellt nämlich — ge-
nauer gesagt — f(x̄) das Ergebniss vor von irgendwelchen Knüpfungen
(vermittelst der vier knüpfenden von den 6 Spezies) der beiden Rela-
tive x̄ und x̄̆ mit irgendwelchen von x unabhängigen Relativen, m. a. W. ist
*) Nämlich c bei 30), 40), 60), 70), b und d bei 80), 90), 100).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 475. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/489>, abgerufen am 23.11.2024.
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