nach den Unbekannten a, b symmetrisch allgemein zu lösen. Die Lösung nebst Verifikation folgt unter 27). Der Methodik zuliebe lege ich auch die Herleitung dar.
Auflösung. Um der Forderung 1 z ; 1 zu genügen, hat man be- kanntlich z = w + wn j 0. Soll aber z = a ; 0' · b gedacht werden, so muss der Adventivforderung zuliebe auch w = a ; 0' · b genommen werden; somit entsteht: a ; 0' · b = a ; 0' · b + (an j 1' + bn) j 0 was = c genannt werde. Nach Bd. 2, § 51, Aufg. 15 ist aber x = c + uvn, y = c + unv die allgemeine Lösung der Forderung xy = c. Soll dies auf x = a ; 0', y = b angewendet werden, so muss der Adventivforderung halber u durch a ; 0', v durch b ersetzt werden, also kommt: a ; 0' = a ; 0' + (an j 1' + bn) j 0 = {a + (an j 1' + bn) j 0} ; 0', b = b + (an j 1' + bn) j 0, sintemal e j 0 = (e j 0) ; 0' gilt -- 17) § 15. Nunmehr braucht nur noch der Forderung a ; 0' = d ; 0' allgemein genügt zu werden, wo d = a + (an j 1' + bn) j 0 bedeutet. Dies geschieht nach 26) des § 19 durch: a = (d j 1')dn + (d ; 0' j 0){(an j 1') ; 1 + a}, wobei wir haben: dn = an · (a ; 0')b ; 1, und da nach 17) des § 15 e ; 1 j 1' = e ; 1 gilt: dn j 1' = (a j 1') · (a ; 0')b ; 1, (dn j 1')d = (an j 1')a · (a ; 0')b ; 1, sintemal e ; 1 · (en j 0) = 0 auf e = (a ; 0')b anwendbar; weiter: d ; 0' = a ; 0' + (an j 1' + bn) j 0, d ; 0' j 0 = a ; 0' j 0 + (an j 1' + bn) j 0, somit endlich: a = (an j 1')a · (a ; 0')b ; 1 + (a ; 0' j 0)a + {(an j 1' + bn) j 0}{(an j 1') ; 1 + a}. Werden die Glieder, die a zum Faktor haben, gesammelt, so kommt: a = a{an j 1' + a ; 0' j 0 + (an j 1' + bn) j 0} + {(an j 1' + bn) j 0} · (an j 1') ; 1, indem das Negat eines Gliedes als Faktor eines andern unterdrückbar. Fügt man ferner dem dritten Gliede in der ersten geschweiften Klammer das Negat des vorhergehenden Gliedes als Faktor zu, so geht der davon herrührende Term im letzten Gliede von a ein, und bleibt: a = (a ; 0' j 0 + an j 1')a + {(an j 1' + bn) j 0} · (an j 1') ; 1.
Zeilenschematisch rechnend findet man aber leicht, dass allgemein ist (a ; 0' j 0 + an j 1')a = a, und darnach haben wir als die allgemeine Lösung unsres Problems: 25)
[Formel 1]
womit in der That die beiden Proben stimmen -- bei Rücksicht darauf dass allgemein
Elfte Vorlesung.
nach den Unbekannten a, b symmetrisch allgemein zu lösen. Die Lösung nebst Verifikation folgt unter 27). Der Methodik zuliebe lege ich auch die Herleitung dar.
Auflösung. Um der Forderung 1 ⋹z ; 1 zu genügen, hat man be- kanntlich z = w + w̄ ɟ 0. Soll aber z = a ; 0' · b gedacht werden, so muss der Adventivforderung zuliebe auch w = α ; 0' · β genommen werden; somit entsteht: a ; 0' · b = α ; 0' · β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 was = c genannt werde. Nach Bd. 2, § 51, Aufg. 15 ist aber x = c + uv̄, y = c + ūv die allgemeine Lösung der Forderung xy = c. Soll dies auf x = a ; 0', y = b angewendet werden, so muss der Adventivforderung halber u durch α ; 0', v durch β ersetzt werden, also kommt: a ; 0' = α ; 0' + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 = {α + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0} ; 0', b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0, sintemal e ɟ 0 = (e ɟ 0) ; 0' gilt — 17) § 15. Nunmehr braucht nur noch der Forderung a ; 0' = d ; 0' allgemein genügt zu werden, wo d = α + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 bedeutet. Dies geschieht nach 26) des § 19 durch: a = (d ɟ 1')d̄ + (d ; 0' ɟ 0){(ᾱ ɟ 1') ; 1 + α}, wobei wir haben: d̄ = ᾱ · (α ; 0')β ; 1, und da nach 17) des § 15 e ; 1 ɟ 1' = e ; 1 gilt: d̄ ɟ 1' = (α ɟ 1') · (α ; 0')β ; 1, (d̄ ɟ 1')d = (ᾱ ɟ 1')α · (α ; 0')β ; 1, sintemal e ; 1 · (ē ɟ 0) = 0 auf e = (α ; 0')β anwendbar; weiter: d ; 0' = α ; 0' + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0, d ; 0' ɟ 0 = α ; 0' ɟ 0 + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0, somit endlich: a = (ᾱ ɟ 1')α · (α ; 0')β ; 1 + (α ; 0' ɟ 0)α + {(ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0}{(ᾱ ɟ 1') ; 1 + α}. Werden die Glieder, die α zum Faktor haben, gesammelt, so kommt: a = α{ᾱ ɟ 1' + α ; 0' ɟ 0 + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0} + {(ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1, indem das Negat eines Gliedes als Faktor eines andern unterdrückbar. Fügt man ferner dem dritten Gliede in der ersten geschweiften Klammer das Negat des vorhergehenden Gliedes als Faktor zu, so geht der davon herrührende Term im letzten Gliede von a ein, und bleibt: a = (α ; 0' ɟ 0 + ᾱ ɟ 1')α + {(ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1.
Zeilenschematisch rechnend findet man aber leicht, dass allgemein ist (α ; 0' ɟ 0 + ᾱ ɟ 1')α = α, und darnach haben wir als die allgemeine Lösung unsres Problems: 25)
[Formel 1]
womit in der That die beiden Proben stimmen — bei Rücksicht darauf dass allgemein
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[482/0496]
Elfte Vorlesung.
nach den Unbekannten a, b symmetrisch allgemein zu lösen. Die
Lösung nebst Verifikation folgt unter 27). Der Methodik zuliebe lege
ich auch die Herleitung dar.
Auflösung. Um der Forderung 1 ⋹z ; 1 zu genügen, hat man be-
kanntlich z = w + w̄ ɟ 0. Soll aber z = a ; 0' · b gedacht werden, so muss
der Adventivforderung zuliebe auch w = α ; 0' · β genommen werden; somit
entsteht:
a ; 0' · b = α ; 0' · β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 was = c
genannt werde. Nach Bd. 2, § 51, Aufg. 15 ist aber x = c + uv̄, y = c + ūv
die allgemeine Lösung der Forderung xy = c. Soll dies auf x = a ; 0',
y = b angewendet werden, so muss der Adventivforderung halber u durch
α ; 0', v durch β ersetzt werden, also kommt:
a ; 0' = α ; 0' + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 = {α + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0} ; 0',
b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0, sintemal e ɟ 0 = (e ɟ 0) ; 0' gilt — 17) § 15.
Nunmehr braucht nur noch der Forderung a ; 0' = d ; 0' allgemein genügt
zu werden, wo d = α + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 bedeutet. Dies geschieht nach 26)
des § 19 durch:
a = (d ɟ 1')d̄ + (d ; 0' ɟ 0){(ᾱ ɟ 1') ; 1 + α},
wobei wir haben: d̄ = ᾱ · (α ; 0')β ; 1, und da nach 17) des § 15 e ; 1 ɟ 1' = e ; 1
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Werden die Glieder, die α zum Faktor haben, gesammelt, so kommt:
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indem das Negat eines Gliedes als Faktor eines andern unterdrückbar.
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das Negat des vorhergehenden Gliedes als Faktor zu, so geht der davon
herrührende Term im letzten Gliede von a ein, und bleibt:
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(α ; 0' ɟ 0 + ᾱ ɟ 1')α = α,
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25) [FORMEL]
womit in der That die beiden Proben stimmen — bei Rücksicht darauf
dass allgemein
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 482. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/496>, abgerufen am 18.02.2025.
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