Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 28. Zu den Hülfsaufgaben. a ; 1 + an j 1' = 1, und a fortiori a ; 1 + (an j 1') ; 1 = 1wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen. Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen. Wegen 0' = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz:
a = a + {(bn j 1' + an) j 0} · (an j 1') ; 1 und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der Faktor (an j 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon folgendes die Lösung darstelle: 27) a = a + (bn j 1' + an) j 0, b = b + (an j 1' + bn) j 0 -- worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos in ihrer Ausdrucksform differiren. Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden, Wir hatten nun durch x der Forderung 50) sub 10) Genüge zu leisten, Weil gn = etc. j 0 System ist, so muss also sein 31*
§ 28. Zu den Hülfsaufgaben. α ; 1 + ᾱ ɟ 1' = 1, und a fortiori α ; 1 + (ᾱ ɟ 1') ; 1 = 1wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen. Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen. Wegen 0'̆ = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz:
a = α + {(β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1 und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der Faktor (ᾱ ɟ 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon folgendes die Lösung darstelle: 27) a = α + (β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0, b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 — worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos in ihrer Ausdrucksform differiren. Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden, Wir hatten nun durch x der Forderung 50) sub 10) Genüge zu leisten, Weil γ̄ = etc. ɟ 0 System ist, so muss also sein 31*
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0497" n="483"/><fw place="top" type="header">§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.</fw><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">α</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1' = 1, und a fortiori <hi rendition="#i">α</hi> ; 1 + (<hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1') ; 1 = 1</hi><lb/> wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen.</p><lb/> <p>Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen.</p><lb/> <p>Wegen 0'̆ = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der <hi rendition="#g">Satz</hi>:<lb/> 26) <table><lb/><row><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> ; 0')<hi rendition="#i">b</hi> ; 1 = (<hi rendition="#i">b</hi> ; 0')<hi rendition="#i">a</hi> ; 1</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">b</hi>) ɟ 0 = (<hi rendition="#i">b</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">a</hi>) ɟ 0</cell></row><lb/></table> und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> + {(<hi rendition="#i">β̄</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">ᾱ</hi>) ɟ 0} · (<hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1') ; 1</hi><lb/> und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der<lb/> Faktor (<hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon<lb/> folgendes die Lösung darstelle:<lb/> 27) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> + (<hi rendition="#i">β̄</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">ᾱ</hi>) ɟ 0, <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">β</hi> + (<hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">β̄</hi>) ɟ 0</hi><lb/> — worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos<lb/> in ihrer Ausdrucksform differiren.</p><lb/> <p>Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung<lb/> 28) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">α</hi> ; 0')<hi rendition="#i">β</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">γ</hi> = (<hi rendition="#i">β</hi> ; 0')<hi rendition="#i">α</hi> ; 1,</hi><lb/> so ist <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> + <hi rendition="#i">γ̄</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">β</hi> + <hi rendition="#i">γ̄</hi> unsre Lösung. Denn für <hi rendition="#i">γ</hi> = 1 wird <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi>,<lb/><hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">β</hi> und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner <hi rendition="#i">γ</hi> sowie <hi rendition="#i">γ̄</hi> „System“<lb/> ist, haben wir <hi rendition="#i">γ̄</hi> ; 0' = <hi rendition="#i">γ̄</hi> ; 1 ; 0' = <hi rendition="#i">γ̄</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">γ̄</hi><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> ; 0' = <hi rendition="#i">α</hi> ; 0' + <hi rendition="#i">γ̄</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">β</hi> + <hi rendition="#i">γ̄</hi>,<lb/> (<hi rendition="#i">a</hi> ; 0')<hi rendition="#i">b</hi> ; 1 = (<hi rendition="#i">α</hi> ; 0')<hi rendition="#i">β</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">γ̄</hi> = <hi rendition="#i">γ</hi> + <hi rendition="#i">γ̄</hi> = 1,</hi><lb/> und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige <hi rendition="#i">α</hi>, <hi rendition="#i">β</hi>, q. e. d.</p><lb/> <p>Die beiden Lösungsformen für <hi rendition="#i">a</hi> sind gleichwohl wesentlich verschieden,<lb/> sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre,<lb/> dass allgemein<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">β̄</hi>) ɟ 0 ⋹ <hi rendition="#i">α</hi> + (<hi rendition="#i">ᾱ</hi> ɟ 1') ; 1</hi><lb/> gälte, was schon bei <hi rendition="#i">β̄</hi> = 1 nicht zutrifft.</p><lb/> <p>Wir hatten nun durch <hi rendition="#i">x</hi> der Forderung 5<hi rendition="#sup">0</hi>) sub 10) Genüge zu leisten,<lb/> welche bedingt:<lb/><hi rendition="#c">1 ⋹ <hi rendition="#i">ax</hi> ; 1 ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> ; 1, 1 ⋹ <hi rendition="#i">bx̄</hi> ; 1 ⋹ <hi rendition="#i">x̄</hi> ; 1,</hi><lb/> d. h. a fortiori muss <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = 1 und <hi rendition="#i">x̄</hi> ; 1 = 1 sein, oder unser <hi rendition="#i">x</hi> — nach<lb/> S. 475 das konverse desjenigen in 22) — kann weder Leerzeilen noch<lb/> Vollzeilen haben.</p><lb/> <p>Weil <hi rendition="#i">γ̄</hi> = etc. ɟ 0 System ist, so muss also sein<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">γ̄x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">γ̄</hi> · <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">γ̄</hi>, ebenso <hi rendition="#i">γ̄x̄</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">γ̄</hi>,</hi><lb/> und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage<lb/> darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> unsrer Forderung 5<hi rendition="#sup">0</hi>)<lb/> bei ganz beliebigen Werten von <hi rendition="#i">α</hi>, <hi rendition="#i">β</hi> allemal durch ein <hi rendition="#i">x</hi> zu genügen.<lb/> Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt:<lb/> 29) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">αx</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">γ̄</hi> = 1)(<hi rendition="#i">βx̄</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">γ̄</hi> = 1).</hi></p><lb/> <fw place="bottom" type="sig">31*</fw><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [483/0497]
§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.
α ; 1 + ᾱ ɟ 1' = 1, und a fortiori α ; 1 + (ᾱ ɟ 1') ; 1 = 1
wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen.
Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen.
Wegen 0'̆ = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz:
26) (a ; 0')b ; 1 = (b ; 0')a ; 1 (a ɟ 1' + b) ɟ 0 = (b ɟ 1' + a) ɟ 0
und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben:
a = α + {(β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1
und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der
Faktor (ᾱ ɟ 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon
folgendes die Lösung darstelle:
27) a = α + (β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0, b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0
— worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos
in ihrer Ausdrucksform differiren.
Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung
28) (α ; 0')β ; 1 = γ = (β ; 0')α ; 1,
so ist a = α + γ̄, b = β + γ̄ unsre Lösung. Denn für γ = 1 wird a = α,
b = β und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner γ sowie γ̄ „System“
ist, haben wir γ̄ ; 0' = γ̄ ; 1 ; 0' = γ̄ ; 1 = γ̄
a ; 0' = α ; 0' + γ̄, a ; 0' · b = α ; 0' · β + γ̄,
(a ; 0')b ; 1 = (α ; 0')β ; 1 + γ̄ = γ + γ̄ = 1,
und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige α, β, q. e. d.
Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden,
sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre,
dass allgemein
(ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 ⋹ α + (ᾱ ɟ 1') ; 1
gälte, was schon bei β̄ = 1 nicht zutrifft.
Wir hatten nun durch x der Forderung 50) sub 10) Genüge zu leisten,
welche bedingt:
1 ⋹ ax ; 1 ⋹ x ; 1, 1 ⋹ bx̄ ; 1 ⋹ x̄ ; 1,
d. h. a fortiori muss x ; 1 = 1 und x̄ ; 1 = 1 sein, oder unser x — nach
S. 475 das konverse desjenigen in 22) — kann weder Leerzeilen noch
Vollzeilen haben.
Weil γ̄ = etc. ɟ 0 System ist, so muss also sein
γ̄x ; 1 = γ̄ · x ; 1 = γ̄, ebenso γ̄x̄ ; 1 = γ̄,
und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage
darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von a, b unsrer Forderung 50)
bei ganz beliebigen Werten von α, β allemal durch ein x zu genügen.
Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt:
29) (αx ; 1 + γ̄ = 1)(βx̄ ; 1 + γ̄ = 1).
31*
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/497 |
Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 483. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/497>, abgerufen am 18.02.2025. |