Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.

a ; 1 + an j 1' = 1, und a fortiori a ; 1 + (an j 1') ; 1 = 1
wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen.

Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen.

Wegen 0' = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz:
26)

(a ; 0')b ; 1 = (b ; 0')a ; 1

(a j 1' + b) j 0 = (b j 1' + a) j 0

und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben:
a = a + {(bn j 1' + an) j 0} · (an j 1') ; 1
und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der
Faktor (an j 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon
folgendes die Lösung darstelle:
27) a = a + (bn j 1' + an) j 0, b = b + (an j 1' + bn) j 0
-- worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos
in ihrer Ausdrucksform differiren.

Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung
28) (a ; 0')b ; 1 = g = (b ; 0')a ; 1,
so ist a = a + gn, b = b + gn unsre Lösung. Denn für g = 1 wird a = a,
b = b und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner g sowie gn "System"
ist, haben wir gn ; 0' = gn ; 1 ; 0' = gn ; 1 = gn
a ; 0' = a ; 0' + gn, a ; 0' · b = a ; 0' · b + gn,
(a ; 0')b ; 1 = (a ; 0')b ; 1 + gn = g + gn = 1,
und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige a, b, q. e. d.

Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden,
sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre,
dass allgemein
(an j 1' + bn) j 0 a + (an j 1') ; 1
gälte, was schon bei bn = 1 nicht zutrifft.

Wir hatten nun durch x der Forderung 50) sub 10) Genüge zu leisten,
welche bedingt:
1 ax ; 1 x ; 1, 1 bxn ; 1 xn ; 1,
d. h. a fortiori muss x ; 1 = 1 und xn ; 1 = 1 sein, oder unser x -- nach
S. 475 das konverse desjenigen in 22) -- kann weder Leerzeilen noch
Vollzeilen haben.

Weil gn = etc. j 0 System ist, so muss also sein
gnx ; 1 = gn · x ; 1 = gn, ebenso gnxn ; 1 = gn,
und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage
darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von a, b unsrer Forderung 50)
bei ganz beliebigen Werten von a, b allemal durch ein x zu genügen.
Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt:
29) (ax ; 1 + gn = 1)(bxn ; 1 + gn = 1).

31*

§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.

α ; 1 + ᾱ ɟ 1' = 1, und a fortiori α ; 1 + (ᾱ ɟ 1') ; 1 = 1
wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen.

Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen.

Wegen 0'̆ = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz:
26)

(a ; 0')b ; 1 = (b ; 0')a ; 1

(a ɟ 1' + b) ɟ 0 = (b ɟ 1' + a) ɟ 0

und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben:
a = α + {(β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1
und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der
Faktor (ᾱ ɟ 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon
folgendes die Lösung darstelle:
27) a = α + (β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0, b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0
— worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos
in ihrer Ausdrucksform differiren.

Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung
28) (α ; 0')β ; 1 = γ = (β ; 0')α ; 1,
so ist a = α + γ̄, b = β + γ̄ unsre Lösung. Denn für γ = 1 wird a = α,
b = β und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner γ sowie γ̄ „System“
ist, haben wir γ̄ ; 0' = γ̄ ; 1 ; 0' = γ̄ ; 1 = γ̄
a ; 0' = α ; 0' + γ̄, a ; 0' · b = α ; 0' · β + γ̄,
(a ; 0')b ; 1 = (α ; 0')β ; 1 + γ̄ = γ + γ̄ = 1,
und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige α, β, q. e. d.

Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden,
sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre,
dass allgemein
(ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 ⋹ α + (ᾱ ɟ 1') ; 1
gälte, was schon bei β̄ = 1 nicht zutrifft.

Wir hatten nun durch x der Forderung 50) sub 10) Genüge zu leisten,
welche bedingt:
1 ⋹ ax ; 1 ⋹ x ; 1, 1 ⋹ bx̄ ; 1 ⋹ x̄ ; 1,
d. h. a fortiori muss x ; 1 = 1 und x̄ ; 1 = 1 sein, oder unser x — nach
S. 475 das konverse desjenigen in 22) — kann weder Leerzeilen noch
Vollzeilen haben.

Weil γ̄ = etc. ɟ 0 System ist, so muss also sein
γ̄x ; 1 = γ̄ · x ; 1 = γ̄, ebenso γ̄x̄ ; 1 = γ̄,
und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage
darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von a, b unsrer Forderung 50)
bei ganz beliebigen Werten von α, β allemal durch ein x zu genügen.
Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt:
29) (αx ; 1 + γ̄ = 1)(βx̄ ; 1 + γ̄ = 1).

31*

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0497" n="483"/><fw place="top" type="header">§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.</fw><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1' = 1, und a fortiori <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 1 + (<hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1') ; 1 = 1</hi><lb/>
wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen.</p><lb/>
          <p>Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen.</p><lb/>
          <p>Wegen 0'&#x0306; = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der <hi rendition="#g">Satz</hi>:<lb/>
26) <table><lb/><row><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> ; 0')<hi rendition="#i">b</hi> ; 1 = (<hi rendition="#i">b</hi> ; 0')<hi rendition="#i">a</hi> ; 1</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">b</hi>) &#x025F; 0 = (<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">a</hi>) &#x025F; 0</cell></row><lb/></table> und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + {(<hi rendition="#i">&#x03B2;&#x0304;</hi> &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi>) &#x025F; 0} · (<hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1') ; 1</hi><lb/>
und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der<lb/>
Faktor (<hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon<lb/>
folgendes die Lösung darstelle:<lb/>
27) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + (<hi rendition="#i">&#x03B2;&#x0304;</hi> &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi>) &#x025F; 0, <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + (<hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">&#x03B2;&#x0304;</hi>) &#x025F; 0</hi><lb/>
&#x2014; worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos<lb/>
in ihrer Ausdrucksform differiren.</p><lb/>
          <p>Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung<lb/>
28) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 0')<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> = (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> ; 0')<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 1,</hi><lb/>
so ist <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> unsre Lösung. Denn für <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> = 1 wird <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> sowie <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> &#x201E;System&#x201C;<lb/>
ist, haben wir <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> ; 0' = <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> ; 1 ; 0' = <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> ; 0' = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 0' + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi>,<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> ; 0')<hi rendition="#i">b</hi> ; 1 = (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> ; 0')<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> = 1,</hi><lb/>
und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, q. e. d.</p><lb/>
          <p>Die beiden Lösungsformen für <hi rendition="#i">a</hi> sind gleichwohl wesentlich verschieden,<lb/>
sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre,<lb/>
dass allgemein<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">&#x03B2;&#x0304;</hi>) &#x025F; 0 &#x22F9; <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + (<hi rendition="#i">&#x03B1;&#x0304;</hi> &#x025F; 1') ; 1</hi><lb/>
gälte, was schon bei <hi rendition="#i">&#x03B2;&#x0304;</hi> = 1 nicht zutrifft.</p><lb/>
          <p>Wir hatten nun durch <hi rendition="#i">x</hi> der Forderung 5<hi rendition="#sup">0</hi>) sub 10) Genüge zu leisten,<lb/>
welche bedingt:<lb/><hi rendition="#c">1 &#x22F9; <hi rendition="#i">ax</hi> ; 1 &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> ; 1, 1 &#x22F9; <hi rendition="#i">bx&#x0304;</hi> ; 1 &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1,</hi><lb/>
d. h. a fortiori muss <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = 1 und <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = 1 sein, oder unser <hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; nach<lb/>
S. 475 das konverse desjenigen in 22) &#x2014; kann weder Leerzeilen noch<lb/>
Vollzeilen haben.</p><lb/>
          <p>Weil <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> = etc. &#x025F; 0 System ist, so muss also sein<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> · <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi>, ebenso <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;x&#x0304;</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi>,</hi><lb/>
und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage<lb/>
darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> unsrer Forderung 5<hi rendition="#sup">0</hi>)<lb/>
bei ganz beliebigen Werten von <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> allemal durch ein <hi rendition="#i">x</hi> zu genügen.<lb/>
Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt:<lb/>
29) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">&#x03B1;x</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> = 1)(<hi rendition="#i">&#x03B2;x&#x0304;</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">&#x03B3;&#x0304;</hi> = 1).</hi></p><lb/>
          <fw place="bottom" type="sig">31*</fw><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[483/0497] § 28. Zu den Hülfsaufgaben. α ; 1 + ᾱ ɟ 1' = 1, und a fortiori α ; 1 + (ᾱ ɟ 1') ; 1 = 1 wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen. Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen. Wegen 0'̆ = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz: 26) (a ; 0')b ; 1 = (b ; 0')a ; 1 (a ɟ 1' + b) ɟ 0 = (b ɟ 1' + a) ɟ 0 und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben: a = α + {(β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1 und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der Faktor (ᾱ ɟ 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon folgendes die Lösung darstelle: 27) a = α + (β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0, b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 — worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos in ihrer Ausdrucksform differiren. Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung 28) (α ; 0')β ; 1 = γ = (β ; 0')α ; 1, so ist a = α + γ̄, b = β + γ̄ unsre Lösung. Denn für γ = 1 wird a = α, b = β und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner γ sowie γ̄ „System“ ist, haben wir γ̄ ; 0' = γ̄ ; 1 ; 0' = γ̄ ; 1 = γ̄ a ; 0' = α ; 0' + γ̄, a ; 0' · b = α ; 0' · β + γ̄, (a ; 0')b ; 1 = (α ; 0')β ; 1 + γ̄ = γ + γ̄ = 1, und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige α, β, q. e. d. Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden, sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre, dass allgemein (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 ⋹ α + (ᾱ ɟ 1') ; 1 gälte, was schon bei β̄ = 1 nicht zutrifft. Wir hatten nun durch x der Forderung 50) sub 10) Genüge zu leisten, welche bedingt: 1 ⋹ ax ; 1 ⋹ x ; 1, 1 ⋹ bx̄ ; 1 ⋹ x̄ ; 1, d. h. a fortiori muss x ; 1 = 1 und x̄ ; 1 = 1 sein, oder unser x — nach S. 475 das konverse desjenigen in 22) — kann weder Leerzeilen noch Vollzeilen haben. Weil γ̄ = etc. ɟ 0 System ist, so muss also sein γ̄x ; 1 = γ̄ · x ; 1 = γ̄, ebenso γ̄x̄ ; 1 = γ̄, und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von a, b unsrer Forderung 50) bei ganz beliebigen Werten von α, β allemal durch ein x zu genügen. Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt: 29) (αx ; 1 + γ̄ = 1)(βx̄ ; 1 + γ̄ = 1). 31*

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/497
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 483. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/497>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.