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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 3. Aussagenschemata.
Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft,
mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für
welches Au zutrifft.

Hienach wird der Aussage [Formel 1] der Wahrheitswert 1 immer dann
und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist,
der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u
gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist.

Der Aussage [Formel 2] wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen,
wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches
Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur
dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für
jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist.

Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem
Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben:
[Formel 3] oder kürzer:
a) [Formel 4]
womit auch gegeben ist:
b)

[Tabelle]
.
Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs-
bereiche der sogenannte "allgemeine Faktor" Au des Aussagen-P auch
angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher ("eigent-
licher") "Faktor" des ohne P-zeichen als ein "binäres" (zweifaktoriges)
bereits anderweitig erklärten Aussagen-"Produktes" im engsten Sinne;
und ebenso, dass das sog. "allgemeine Glied" einer Aussagen-S auch
wirklicher (oder "eigentlicher") Summand ist einer binomischen Aus-
sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche
sich eben unsre Aussagen-S jederzeit muss hinstellen lassen.

Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un-
mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-P und S
nach folgenden Schemata "auszuführen" ist:
g)

[Tabelle]
.

Und in dem hier bethätigten "dictum de omni et de nullo", durch
welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An-
erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches "Axiom"
zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines "Prin-

§ 3. Aussagenschemata.
Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft,
mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für
welches Au zutrifft.

Hienach wird der Aussage [Formel 1] der Wahrheitswert 1 immer dann
und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist,
der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u
gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist.

Der Aussage [Formel 2] wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen,
wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches
Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur
dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für
jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist.

Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem
Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben:
[Formel 3] oder kürzer:
α) [Formel 4]
womit auch gegeben ist:
β)

[Tabelle]
.
Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs-
bereiche der sogenannte „allgemeine Faktor“ Au des Aussagen-Π auch
angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher („eigent-
licher“) „Faktor“ des ohne Π-zeichen als ein „binäres“ (zweifaktoriges)
bereits anderweitig erklärten Aussagen-„Produktes“ im engsten Sinne;
und ebenso, dass das sog. „allgemeine Glied“ einer Aussagen-Σ auch
wirklicher (oder „eigentlicher“) Summand ist einer binomischen Aus-
sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche
sich eben unsre Aussagen-Σ jederzeit muss hinstellen lassen.

Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un-
mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-Π und Σ
nach folgenden Schemata „auszuführen“ ist:
γ)

[Tabelle]
.

Und in dem hier bethätigten „dictum de omni et de nullo“, durch
welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An-
erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches „Axiom“
zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines „Prin-

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[37/0051] § 3. Aussagenschemata. Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft, mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für welches Au zutrifft. Hienach wird der Aussage [FORMEL] der Wahrheitswert 1 immer dann und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist, der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist. Der Aussage [FORMEL] wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen, wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist. Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben: [FORMEL] oder kürzer: α) [FORMEL] womit auch gegeben ist: β) . Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs- bereiche der sogenannte „allgemeine Faktor“ Au des Aussagen-Π auch angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher („eigent- licher“) „Faktor“ des ohne Π-zeichen als ein „binäres“ (zweifaktoriges) bereits anderweitig erklärten Aussagen-„Produktes“ im engsten Sinne; und ebenso, dass das sog. „allgemeine Glied“ einer Aussagen-Σ auch wirklicher (oder „eigentlicher“) Summand ist einer binomischen Aus- sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche sich eben unsre Aussagen-Σ jederzeit muss hinstellen lassen. Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un- mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-Π und Σ nach folgenden Schemata „auszuführen“ ist: γ) . Und in dem hier bethätigten „dictum de omni et de nullo“, durch welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An- erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches „Axiom“ zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines „Prin-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/51>, abgerufen am 04.12.2024.