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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.

In den 32 Formeln 10) und 16) bis 20) wird man die S und P
vertreten finden von allen (binären identischen) Produkten und Summen,
die aus a ; i oder a ; in, sowie aus a j in oder a j i, und i oder in selbst,
gebildet werden können, etc. -- soferne wenigstens solche P, S, welche
auf den ersten Blick sich auf 0 oder 1 reduziren, nicht mit berück-
sichtigt werden.

Formeln solcher Art aber, in deren allgemeinem Terme statt a ; i oder
a ; in etwa a ; i oder a ; in aufträte, etc., würden, weil letztres ja in a ; 1 · i
resp. a ; 1 · in zerfällt, ohnehin leicht auf schon Bekanntes zurückzuführen
sein; sie stünden nicht auf gleicher Rangstufe mit den bisherigen und ver-
dienten nicht, gleich ihnen registrirt zu werden.

Von den angeführten Formeln erscheinen die 18) besonders merk-
würdig deshalb, weil sie gewisse relative Produkte wie a ; 0' als iden-
tische Produkte darzustellen lehren, während sonst das nur in Form
einer identischen Summe gelingt.

Behufs Begründung der Sätze ist bei 16) auf 30) des § 25 und
auf 7) zu verweisen.

Die 17) gehn als Partikularfälle aus unserm Th. 14) hervor, indem
z. B. rechts Pi(a ; i + i) = Pi(a ; i + i ; 1') = a j 1' sein muss.

Bei 18) transformire man identisch rechnend: a ; in + in = a ; in · i + in =
= a ; 0' · i + in = a ; 0' + in gemäss 30) des § 25, wo dann Pi(a ; 0' + in) =
= a ; 0' + Piin = a ; 0' + 0 nach 7) sein muss.

Bei 19) und 20) rekurrire man auf die Koeffizientenevidenz, wonach
links resp. ist:
Lh k = Si(a ; in)h kinh k = SiSlah linl kink h = Slah lSi0'l i0'i k = (a ; 0' ; 0')h k,
Lh k = SiPl(ah l + il k)ink h = SiPl(ah l + 1'l i)0'i k = Rh, q. e. d.

Als Gegenstücke und Ergänzungen zu den Formeln 14), 15) sind
ebenso anzuführen die Sätze, welche auch als Verallgemeinerungen
der obigen 16) bis 20) angesehen werden können:
21)

Si(a j i)(i j b) = (a j 1') ; (1' j b)

Pi(a ; in + in ; b) = a ; 0' j 0' ; b,

22)

Si(a j i)(in j b) = Si(a j i) · i ; b = (a j 1') ; b	Pi(a ; in + i ; b) = Pi(a ; in + in j b) = a ; 0' j b
Si(a j in)(i j b) = Sia ; i · (i j b) = a ; (1' j b)	Pi(a ; i + in ; b) = Pi(a j in + in ; b) = a j 0' ; b,

23)

[Tabelle]

24)*

Sia ; in · in ; b = a ; 1 ; b

Pi(a j i + i j b) = a j 0 j b.

§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.

In den 32 Formeln 10) und 16) bis 20) wird man die Σ und Π
vertreten finden von allen (binären identischen) Produkten und Summen,
die aus a ; i oder a ; ī, sowie aus a ɟ ī oder a ɟ i, und ĭ oder ī̆ selbst,
gebildet werden können, etc. — soferne wenigstens solche Π, Σ, welche
auf den ersten Blick sich auf 0 oder 1 reduziren, nicht mit berück-
sichtigt werden.

Formeln solcher Art aber, in deren allgemeinem Terme statt a ; i oder
a ; ī etwa a ; ĭ oder a ; ī̆ aufträte, etc., würden, weil letztres ja in a ; 1 · ĭ
resp. a ; 1 · ī̆ zerfällt, ohnehin leicht auf schon Bekanntes zurückzuführen
sein; sie stünden nicht auf gleicher Rangstufe mit den bisherigen und ver-
dienten nicht, gleich ihnen registrirt zu werden.

Behufs Begründung der Sätze ist bei 16) auf 30) des § 25 und
auf 7) zu verweisen.

Die 17) gehn als Partikularfälle aus unserm Th. 14) hervor, indem
z. B. rechts Πi(a ; i + ĭ) = Πi(a ; i + ĭ ; 1') = a ɟ 1' sein muss.

Bei 18) transformire man identisch rechnend: a ; ī + ī̆ = a ; ī · ĭ + ī̆ =
= a ; 0' · ĭ + ī̆ = a ; 0' + ī̆ gemäss 30) des § 25, wo dann Πi(a ; 0' + ī̆) =
= a ; 0' + Πiī̆ = a ; 0' + 0 nach 7) sein muss.

Bei 19) und 20) rekurrire man auf die Koeffizientenevidenz, wonach
links resp. ist:
Lh k = Σi(a ; ī)h kī̆h k = ΣiΣlah līl kīk h = Σlah lΣi0'l i0'i k = (a ; 0' ; 0')h k,
Lh k = ΣiΠl(ah l + il k)īk h = ΣiΠl(ah l + 1'l i)0'i k = Rh, q. e. d.

Als Gegenstücke und Ergänzungen zu den Formeln 14), 15) sind
ebenso anzuführen die Sätze, welche auch als Verallgemeinerungen
der obigen 16) bis 20) angesehen werden können:
21)

Σi(a ɟ i)(ĭ ɟ b) = (a ɟ 1') ; (1' ɟ b)

Πi(a ; ī + ī̆ ; b) = a ; 0' ɟ 0' ; b,

22)

Σi(a ɟ i)(ī̆ ɟ b) = Σi(a ɟ i) · ĭ ; b = (a ɟ 1') ; b	Πi(a ; ī + ĭ ; b) = Πi(a ; ī + ī̆ ɟ b) = a ; 0' ɟ b
Σi(a ɟ ī)(ĭ ɟ b) = Σia ; i · (ĭ ɟ b) = a ; (1' ɟ b)	Πi(a ; i + ī̆ ; b) = Πi(a ɟ ī + ī̆ ; b) = a ɟ 0' ; b,

23)

[Tabelle]

24)*

Σia ; ī · ī̆ ; b = a ; 1 ; b

Πi(a ɟ i + ĭ ɟ b) = a ɟ 0 ɟ b.

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[501/0515] § 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe. In den 32 Formeln 10) und 16) bis 20) wird man die Σ und Π vertreten finden von allen (binären identischen) Produkten und Summen, die aus a ; i oder a ; ī, sowie aus a ɟ ī oder a ɟ i, und ĭ oder ī̆ selbst, gebildet werden können, etc. — soferne wenigstens solche Π, Σ, welche auf den ersten Blick sich auf 0 oder 1 reduziren, nicht mit berück- sichtigt werden. Formeln solcher Art aber, in deren allgemeinem Terme statt a ; i oder a ; ī etwa a ; ĭ oder a ; ī̆ aufträte, etc., würden, weil letztres ja in a ; 1 · ĭ resp. a ; 1 · ī̆ zerfällt, ohnehin leicht auf schon Bekanntes zurückzuführen sein; sie stünden nicht auf gleicher Rangstufe mit den bisherigen und ver- dienten nicht, gleich ihnen registrirt zu werden. Von den angeführten Formeln erscheinen die 18) besonders merk- würdig deshalb, weil sie gewisse relative Produkte wie a ; 0' als iden- tische Produkte darzustellen lehren, während sonst das nur in Form einer identischen Summe gelingt. Behufs Begründung der Sätze ist bei 16) auf 30) des § 25 und auf 7) zu verweisen. Die 17) gehn als Partikularfälle aus unserm Th. 14) hervor, indem z. B. rechts Πi(a ; i + ĭ) = Πi(a ; i + ĭ ; 1') = a ɟ 1' sein muss. Bei 18) transformire man identisch rechnend: a ; ī + ī̆ = a ; ī · ĭ + ī̆ = = a ; 0' · ĭ + ī̆ = a ; 0' + ī̆ gemäss 30) des § 25, wo dann Πi(a ; 0' + ī̆) = = a ; 0' + Πiī̆ = a ; 0' + 0 nach 7) sein muss. Bei 19) und 20) rekurrire man auf die Koeffizientenevidenz, wonach links resp. ist: Lh k = Σi(a ; ī)h kī̆h k = ΣiΣlah līl kīk h = Σlah lΣi0'l i0'i k = (a ; 0' ; 0')h k, Lh k = ΣiΠl(ah l + il k)īk h = ΣiΠl(ah l + 1'l i)0'i k = Rh, q. e. d. Als Gegenstücke und Ergänzungen zu den Formeln 14), 15) sind ebenso anzuführen die Sätze, welche auch als Verallgemeinerungen der obigen 16) bis 20) angesehen werden können: 21) Σi(a ɟ i)(ĭ ɟ b) = (a ɟ 1') ; (1' ɟ b) Πi(a ; ī + ī̆ ; b) = a ; 0' ɟ 0' ; b, 22) Σi(a ɟ i)(ī̆ ɟ b) = Σi(a ɟ i) · ĭ ; b = (a ɟ 1') ; b Πi(a ; ī + ĭ ; b) = Πi(a ; ī + ī̆ ɟ b) = a ; 0' ɟ b Σi(a ɟ ī)(ĭ ɟ b) = Σia ; i · (ĭ ɟ b) = a ; (1' ɟ b) Πi(a ; i + ī̆ ; b) = Πi(a ɟ ī + ī̆ ; b) = a ɟ 0' ; b, 23) 24)* Σia ; ī · ī̆ ; b = a ; 1 ; b Πi(a ɟ i + ĭ ɟ b) = a ɟ 0 ɟ b.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 501. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/515>, abgerufen am 26.06.2024.

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