Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Elfte Vorlesung.

der andre (aber nicht beide) unterdrückbar. Man mag etwa als das Ein-
fachere für unser Ergebniss schreiben:
44) x = Sia ; i · {b j (c ; i + 1')} · i ; d.

Damit ist x zwar noch nicht völlig in geschlossener Form dargestellt,
aber doch das P nach u von der zweiten auf eine S nach i der ersten
Stufe oder Ordnung reduzirt.

Dieser letzteren jedoch lässt sich sogleich auch die noch einfachere
Form geben:
45) x = Sii · a{b j (c + i)} ; d
-- worin wiederum der Summand i auch von c abgetrennt und als Sum-
mand i zu b geschlagen werden dürfte.

Dies lässt sich einerseits leicht verifiziren, indem man auch für letztres x
den allgemeinen Koeffizienten xh k aufstellt; als solcher stellt sich in der
That -- nur l für i gesagt -- sogleich der vorletzte Ausdruck von xh k
heraus.

Andrerseits kann man auch den letzten Ausdruck 45) des x aus dem
vorhergehenden 44) systematisch ableiten -- mittelst Durchgangs durch
eine Doppelsumme. Zu dem Ende schreiben wir in 44) den mittleren Faktor
als (b + i ; c) j 1' in der Form e j 1' an und wählen von den vier Dar-
stellungen über die wir nach 14) oder 17), 16) oder 22), und 18) für
e j 1' verfügen:
e j 1' = Pj(e ; j + j) = Pj(e j jn + j) = Pj(e j j + jn) = Sj(e j j)j
die letzte, weil alsdann die beiden Summationszeichen unmittelbar ver-
tauscht werden dürfen.

Dann wird aber: (b + i ; c) j j = b j (c ; i + j) = b j (c + j) ; i = {b j (c + j)} ; i
wegen j = j ; i, etc. sein, und wir erhalten:
x = Sjj · Sia ; i · {b j (c + j)} ; i · i ; d =
= Sjj · Sia{b j (c + j)} ; i · i ; d = Sjj · a{b j (c + j)} ; d,
was abgesehen von der Bezeichnung der Summationsvariabeln die Dar-
stellung 45) von x ist.

[Zu berücksichtigen waren vorstehend die Sätze (wegen i = i ; 1) 10)
des § 27, 10), sodann 27) und 26) des § 25, zuletzt 14).]

Der Kontrolen für unser Ergebniss sind nun viele.

Vor allem wollen wir die schon kontrolirte Lösung der Aufgabe 12
aus ihm ableiten. Zu dem Ende ist in 45) a = 1, b = 0 zu nehmen,
hernach a und b für c und d zu schreiben. So entsteht zunächst:
x = Sii · {0 j (a + i)} ; b = Sii · (i j a) ; b = Sii · i ; (1' j a) ; b,
vergleiche 32) des § 25, nebst 25). Also nach 26):
x = 1 ; {(1' j a) ; b}1' = 1 ; 1'{b ; (a j 1')},
weil 1'c = 1'c. Nun gilt der bemerkenswerte Satz:

Elfte Vorlesung.

der andre (aber nicht beide) unterdrückbar. Man mag etwa als das Ein-
fachere für unser Ergebniss schreiben:
44) x = Σia ; i · {b ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d.

Damit ist x zwar noch nicht völlig in geschlossener Form dargestellt,
aber doch das Π nach u von der zweiten auf eine Σ nach i der ersten
Stufe oder Ordnung reduzirt.

Dieser letzteren jedoch lässt sich sogleich auch die noch einfachere
Form geben:
45) x = Σii · a{b ɟ (c + i)} ; d
— worin wiederum der Summand i auch von c abgetrennt und als Sum-
mand ĭ zu b geschlagen werden dürfte.

Dies lässt sich einerseits leicht verifiziren, indem man auch für letztres x
den allgemeinen Koeffizienten xh k aufstellt; als solcher stellt sich in der
That — nur l für i gesagt — sogleich der vorletzte Ausdruck von xh k
heraus.

Andrerseits kann man auch den letzten Ausdruck 45) des x aus dem
vorhergehenden 44) systematisch ableiten — mittelst Durchgangs durch
eine Doppelsumme. Zu dem Ende schreiben wir in 44) den mittleren Faktor
als (b + ĭ ; c̆) ɟ 1' in der Form e ɟ 1' an und wählen von den vier Dar-
stellungen über die wir nach 14) oder 17), 16) oder 22), und 18) für
e ɟ 1' verfügen:
e ɟ 1' = Πj(e ; j + j̆) = Πj(e ɟ j̄ + j̆) = Πj(e ɟ j + j̄̆) = Σj(e ɟ j)j̆
die letzte, weil alsdann die beiden Summationszeichen unmittelbar ver-
tauscht werden dürfen.

Dann wird aber: (b + ĭ ; c̆) ɟ j = b ɟ (c ; i + j) = b ɟ (c + j) ; i = {b ɟ (c + j)} ; i
wegen j = j ; i, etc. sein, und wir erhalten:
x = Σjj̆ · Σia ; i · {b ɟ (c + j)} ; i · ĭ ; d =
= Σjj̆ · Σia{b ɟ (c + j)} ; i · ĭ ; d = Σjj̆ · a{b ɟ (c + j)} ; d,
was abgesehen von der Bezeichnung der Summationsvariabeln die Dar-
stellung 45) von x ist.

[Zu berücksichtigen waren vorstehend die Sätze (wegen i = i ; 1) 10)
des § 27, 10), sodann 27) und 26) des § 25, zuletzt 14).]

Der Kontrolen für unser Ergebniss sind nun viele.

Vor allem wollen wir die schon kontrolirte Lösung der Aufgabe 12
aus ihm ableiten. Zu dem Ende ist in 45) a = 1, b = 0 zu nehmen,
hernach a und b für c und d zu schreiben. So entsteht zunächst:
x = Σiĭ · {0 ɟ (a + i)} ; b = Σiĭ · (ĭ ɟ a) ; b = Σiĭ · ĭ ; (1' ɟ a) ; b,
vergleiche 32) des § 25, nebst 25). Also nach 26):
x = 1 ; {(1' ɟ a) ; b}1' = 1 ; 1'{b̆ ; (ă ɟ 1')},
weil 1'c = 1'c̆. Nun gilt der bemerkenswerte Satz:

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0534" n="520"/><fw place="top" type="header">Elfte Vorlesung.</fw><lb/>
der andre (aber nicht beide) unterdrückbar. Man mag etwa als das Ein-<lb/>
fachere für unser Ergebniss schreiben:<lb/>
44) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> · {<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> + 1')} · <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">d</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Damit ist <hi rendition="#i">x</hi> zwar noch nicht völlig in geschlossener Form dargestellt,<lb/>
aber doch das <hi rendition="#i">&#x03A0;</hi> nach <hi rendition="#i">u</hi> von der zweiten auf eine <hi rendition="#i">&#x03A3;</hi> nach <hi rendition="#i">i</hi> der ersten<lb/>
Stufe oder Ordnung <hi rendition="#i">reduzirt</hi>.</p><lb/>
          <p>Dieser letzteren jedoch lässt sich sogleich auch die noch einfachere<lb/>
Form geben:<lb/>
45) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>i</hi> · <hi rendition="#i">a</hi>{<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">i</hi>)} ; <hi rendition="#i">d</hi></hi><lb/>
&#x2014; worin wiederum der Summand <hi rendition="#i">i</hi> auch von <hi rendition="#i">c</hi> abgetrennt und als Sum-<lb/>
mand <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> zu <hi rendition="#i">b</hi> geschlagen werden dürfte.</p><lb/>
          <p>Dies lässt sich einerseits leicht verifiziren, indem man auch für letztres <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
den allgemeinen Koeffizienten <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> aufstellt; als solcher stellt sich in der<lb/>
That &#x2014; nur <hi rendition="#i">l</hi> für <hi rendition="#i">i</hi> gesagt &#x2014; sogleich der vorletzte Ausdruck von <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">h k</hi></hi><lb/>
heraus.</p><lb/>
          <p>Andrerseits kann man auch den letzten Ausdruck 45) des <hi rendition="#i">x</hi> aus dem<lb/>
vorhergehenden 44) systematisch ableiten &#x2014; mittelst Durchgangs durch<lb/>
eine Doppelsumme. Zu dem Ende schreiben wir in 44) den mittleren Faktor<lb/>
als (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">c&#x0306;</hi>) &#x025F; 1' in der Form <hi rendition="#i">e</hi> &#x025F; 1' an und wählen von den vier Dar-<lb/>
stellungen über die wir nach 14) oder 17), 16) oder 22), und 18) für<lb/><hi rendition="#i">e</hi> &#x025F; 1' verfügen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">e</hi> &#x025F; 1' = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">j</hi></hi>(<hi rendition="#i">e</hi> ; <hi rendition="#i">j</hi> + <hi rendition="#i">j&#x0306;</hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">j</hi></hi>(<hi rendition="#i">e</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">j&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">j&#x0306;</hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">j</hi></hi>(<hi rendition="#i">e</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">j</hi> + <hi rendition="#i">j&#x0304;&#x0306;</hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">j</hi></hi>(<hi rendition="#i">e</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">j</hi>)<hi rendition="#i">j&#x0306;</hi></hi><lb/>
die letzte, weil alsdann die beiden Summationszeichen unmittelbar ver-<lb/>
tauscht werden dürfen.</p><lb/>
          <p>Dann wird aber: (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">c&#x0306;</hi>) &#x025F; <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> + <hi rendition="#i">j</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">j</hi>) ; <hi rendition="#i">i</hi> = {<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">j</hi>)} ; <hi rendition="#i">i</hi><lb/>
wegen <hi rendition="#i">j</hi> = <hi rendition="#i">j</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi>, etc. sein, und wir erhalten:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">j</hi>j&#x0306;</hi> · <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> · {<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">j</hi>)} ; <hi rendition="#i">i</hi> · <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">d</hi> =<lb/>
= <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">j</hi>j&#x0306;</hi> · <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>a</hi>{<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">j</hi>)} ; <hi rendition="#i">i</hi> · <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">d</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">j</hi>j&#x0306;</hi> · <hi rendition="#i">a</hi>{<hi rendition="#i">b</hi> &#x025F; (<hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">j</hi>)} ; <hi rendition="#i">d</hi>,</hi><lb/>
was abgesehen von der Bezeichnung der Summationsvariabeln die Dar-<lb/>
stellung 45) von <hi rendition="#i">x</hi> ist.</p><lb/>
          <p>[Zu berücksichtigen waren vorstehend die Sätze (wegen <hi rendition="#i">i</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> ; 1) 10)<lb/>
des § 27, 10), sodann 27) und 26) des § 25, zuletzt 14).]</p><lb/>
          <p>Der Kontrolen für unser Ergebniss sind nun viele.</p><lb/>
          <p>Vor allem wollen wir die schon kontrolirte Lösung der Aufgabe 12<lb/>
aus ihm ableiten. Zu dem Ende ist in 45) <hi rendition="#i">a</hi> = 1, <hi rendition="#i">b</hi> = 0 zu nehmen,<lb/>
hernach <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> für <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">d</hi> zu schreiben. So entsteht zunächst:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>i&#x0306;</hi> · {0 &#x025F; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">i</hi>)} ; <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>i&#x0306;</hi> · (<hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">a</hi>) ; <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">i</hi>i&#x0306;</hi> · <hi rendition="#i">i&#x0306;</hi> ; (1' &#x025F; <hi rendition="#i">a</hi>) ; <hi rendition="#i">b</hi>,</hi><lb/>
vergleiche 32) des § 25, nebst 25). Also nach 26):<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = 1 ; {(1' &#x025F; <hi rendition="#i">a</hi>) ; <hi rendition="#i">b</hi>}1' = 1 ; 1'{<hi rendition="#i">b&#x0306;</hi> ; (<hi rendition="#i">a&#x0306;</hi> &#x025F; 1')},</hi><lb/>
weil 1'<hi rendition="#i">c</hi> = 1'<hi rendition="#i">c&#x0306;</hi>. Nun gilt der bemerkenswerte <hi rendition="#g">Satz</hi>:<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[520/0534] Elfte Vorlesung. der andre (aber nicht beide) unterdrückbar. Man mag etwa als das Ein- fachere für unser Ergebniss schreiben: 44) x = Σia ; i · {b ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d. Damit ist x zwar noch nicht völlig in geschlossener Form dargestellt, aber doch das Π nach u von der zweiten auf eine Σ nach i der ersten Stufe oder Ordnung reduzirt. Dieser letzteren jedoch lässt sich sogleich auch die noch einfachere Form geben: 45) x = Σii · a{b ɟ (c + i)} ; d — worin wiederum der Summand i auch von c abgetrennt und als Sum- mand ĭ zu b geschlagen werden dürfte. Dies lässt sich einerseits leicht verifiziren, indem man auch für letztres x den allgemeinen Koeffizienten xh k aufstellt; als solcher stellt sich in der That — nur l für i gesagt — sogleich der vorletzte Ausdruck von xh k heraus. Andrerseits kann man auch den letzten Ausdruck 45) des x aus dem vorhergehenden 44) systematisch ableiten — mittelst Durchgangs durch eine Doppelsumme. Zu dem Ende schreiben wir in 44) den mittleren Faktor als (b + ĭ ; c̆) ɟ 1' in der Form e ɟ 1' an und wählen von den vier Dar- stellungen über die wir nach 14) oder 17), 16) oder 22), und 18) für e ɟ 1' verfügen: e ɟ 1' = Πj(e ; j + j̆) = Πj(e ɟ j̄ + j̆) = Πj(e ɟ j + j̄̆) = Σj(e ɟ j)j̆ die letzte, weil alsdann die beiden Summationszeichen unmittelbar ver- tauscht werden dürfen. Dann wird aber: (b + ĭ ; c̆) ɟ j = b ɟ (c ; i + j) = b ɟ (c + j) ; i = {b ɟ (c + j)} ; i wegen j = j ; i, etc. sein, und wir erhalten: x = Σjj̆ · Σia ; i · {b ɟ (c + j)} ; i · ĭ ; d = = Σjj̆ · Σia{b ɟ (c + j)} ; i · ĭ ; d = Σjj̆ · a{b ɟ (c + j)} ; d, was abgesehen von der Bezeichnung der Summationsvariabeln die Dar- stellung 45) von x ist. [Zu berücksichtigen waren vorstehend die Sätze (wegen i = i ; 1) 10) des § 27, 10), sodann 27) und 26) des § 25, zuletzt 14).] Der Kontrolen für unser Ergebniss sind nun viele. Vor allem wollen wir die schon kontrolirte Lösung der Aufgabe 12 aus ihm ableiten. Zu dem Ende ist in 45) a = 1, b = 0 zu nehmen, hernach a und b für c und d zu schreiben. So entsteht zunächst: x = Σiĭ · {0 ɟ (a + i)} ; b = Σiĭ · (ĭ ɟ a) ; b = Σiĭ · ĭ ; (1' ɟ a) ; b, vergleiche 32) des § 25, nebst 25). Also nach 26): x = 1 ; {(1' ɟ a) ; b}1' = 1 ; 1'{b̆ ; (ă ɟ 1')}, weil 1'c = 1'c̆. Nun gilt der bemerkenswerte Satz:

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/534
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 520. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/534>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.