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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe.

Aufgabe 13. Gesucht [Formel 1] , wie in 38) S. 508.
Sie begreift die vorhergehenden Aufgaben 8 bis 12 als Sonderfälle unter
sich -- die 9 und 10 allerdings nicht voll, sondern nur mit deren hervor-
gehobnem Unterfalle. Wir haben -- demnächst kraft 39):
[Formel 2] und frägt sich zunächst, welchen Wert dieses letzte [Formel 3] besitzt. Hierbei ist
zu beachten, dass die mi nicht konstant bezüglich i sind, sondern in der
Si parallel mit i von Glied zu Glied wechseln.

Sofern nach i alle mi ungleich k sind, wird uh k = 0 neben nach i
allen [Formel 4] vorkommen und unser [Formel 5] verschwinden.

Sind jedoch nach i einige mi gleich k, so wird in den zugehörigen
Gliedern der letzten Si der Faktor [Formel 6] gegen den Summanden uh k
fortfallen und [Formel 7] als unveräusserlicher Bestandteil des allgemeinen
Faktors in unserm [Formel 8] auftreten, auf diesen aber auch das ganze [Formel 9] sich
reduziren, weil neben uh k = 0 auch die übrigen [Formel 10] (in denen mi von k
verschieden) = 0 vorkommen werden -- sintemal ja für u alle erdenk-
lichen Werte aus 12 gesetzt werden sollen. Also muss sein:
43) [Formel 11] ,
was auch für den vorhergehenden Fall den richtigen Wert 0 wiedergibt.
Die Summe rechterhand dürfte selbstverständlich nicht nach dem Schema 12)
der S. 121 zu einem einzigen Gliede reduzirt werden, weil in ihr mi nicht
bezüglich i konstant ist, sondern seine Bedeutung parallel mit i wechselt;
diese Summe kann vielmehr der effektiven Glieder beliebig viele haben.
Damit wird:
[Formel 12] ,
wenn wir unser (oben vorwärts angewendetes) Schema 39) nun wieder
rückwärts anwenden.

Nun kann man cm i = ci m = (i ; c)h m = (c ; i)m k nach Belieben schreiben,
den Term auch tautologisch verdoppelt ansetzen und für den einen die
vorletzte, für den andern die letzte Form wählen. Je nachdem ergibt sich:
Pm(bh m + cm i + 1'm k) = {(b + i ; c) j 1'}h k = {b j (c ; i + 1')}h k = {(b + i ; c) j (c ; i + 1')}h k,
und da auch noch ah i = (a ; i)h k, di k = (i ; d)h k, so wird:
xh k = Si[a ; i · {(b + i ; c) j (c ; i + 1')} · i ; d]h k
oder also:
x = Sia ; i · {(b + i ; c) j (c ; i + 1')} · i ; d,
wo von den beiden Termen i ; c und c ; i auch nach Belieben der eine oder

§ 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe.

Aufgabe 13. Gesucht [Formel 1] , wie in 38) S. 508.
Sie begreift die vorhergehenden Aufgaben 8 bis 12 als Sonderfälle unter
sich — die 9 und 10 allerdings nicht voll, sondern nur mit deren hervor-
gehobnem Unterfalle. Wir haben — demnächst kraft 39):
[Formel 2] und frägt sich zunächst, welchen Wert dieses letzte [Formel 3] besitzt. Hierbei ist
zu beachten, dass die mι nicht konstant bezüglich i sind, sondern in der
Σi parallel mit i von Glied zu Glied wechseln.

Sofern nach ι alle mι ungleich k sind, wird uh k = 0 neben nach ι
allen [Formel 4] vorkommen und unser [Formel 5] verschwinden.

Sind jedoch nach ι einige mι gleich k, so wird in den zugehörigen
Gliedern der letzten Σi der Faktor [Formel 6] gegen den Summanden uh k
fortfallen und [Formel 7] als unveräusserlicher Bestandteil des allgemeinen
Faktors in unserm [Formel 8] auftreten, auf diesen aber auch das ganze [Formel 9] sich
reduziren, weil neben uh k = 0 auch die übrigen [Formel 10] (in denen mι von k
verschieden) = 0 vorkommen werden — sintemal ja für u alle erdenk-
lichen Werte aus 12 gesetzt werden sollen. Also muss sein:
43) [Formel 11] ,
was auch für den vorhergehenden Fall den richtigen Wert 0 wiedergibt.
Die Summe rechterhand dürfte selbstverständlich nicht nach dem Schema 12)
der S. 121 zu einem einzigen Gliede reduzirt werden, weil in ihr mι nicht
bezüglich i konstant ist, sondern seine Bedeutung parallel mit i wechselt;
diese Summe kann vielmehr der effektiven Glieder beliebig viele haben.
Damit wird:
[Formel 12] ,
wenn wir unser (oben vorwärts angewendetes) Schema 39) nun wieder
rückwärts anwenden.

Nun kann man cm i = c̆i m = (i ; c̆)h m = (c ; i)m k nach Belieben schreiben,
den Term auch tautologisch verdoppelt ansetzen und für den einen die
vorletzte, für den andern die letzte Form wählen. Je nachdem ergibt sich:
Πm(bh m + cm i + 1'm k) = {(b + ĭ ; c̆) ɟ 1'}h k = {b ɟ (c ; i + 1')}h k = {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')}h k,
und da auch noch ah i = (a ; i)h k, di k = (ĭ ; d)h k, so wird:
xh k = Σi[a ; i · {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d]h k
oder also:
x = Σia ; i · {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d,
wo von den beiden Termen ĭ ; c̆ und c ; i auch nach Belieben der eine oder

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[519/0533] § 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe. Aufgabe 13. Gesucht [FORMEL], wie in 38) S. 508. Sie begreift die vorhergehenden Aufgaben 8 bis 12 als Sonderfälle unter sich — die 9 und 10 allerdings nicht voll, sondern nur mit deren hervor- gehobnem Unterfalle. Wir haben — demnächst kraft 39): [FORMEL] und frägt sich zunächst, welchen Wert dieses letzte [FORMEL] besitzt. Hierbei ist zu beachten, dass die mι nicht konstant bezüglich i sind, sondern in der Σi parallel mit i von Glied zu Glied wechseln. Sofern nach ι alle mι ungleich k sind, wird uh k = 0 neben nach ι allen [FORMEL] vorkommen und unser [FORMEL] verschwinden. Sind jedoch nach ι einige mι gleich k, so wird in den zugehörigen Gliedern der letzten Σi der Faktor [FORMEL] gegen den Summanden uh k fortfallen und [FORMEL] als unveräusserlicher Bestandteil des allgemeinen Faktors in unserm [FORMEL] auftreten, auf diesen aber auch das ganze [FORMEL] sich reduziren, weil neben uh k = 0 auch die übrigen [FORMEL] (in denen mι von k verschieden) = 0 vorkommen werden — sintemal ja für u alle erdenk- lichen Werte aus 12 gesetzt werden sollen. Also muss sein: 43) [FORMEL], was auch für den vorhergehenden Fall den richtigen Wert 0 wiedergibt. Die Summe rechterhand dürfte selbstverständlich nicht nach dem Schema 12) der S. 121 zu einem einzigen Gliede reduzirt werden, weil in ihr mι nicht bezüglich i konstant ist, sondern seine Bedeutung parallel mit i wechselt; diese Summe kann vielmehr der effektiven Glieder beliebig viele haben. Damit wird: [FORMEL], wenn wir unser (oben vorwärts angewendetes) Schema 39) nun wieder rückwärts anwenden. Nun kann man cm i = c̆i m = (i ; c̆)h m = (c ; i)m k nach Belieben schreiben, den Term auch tautologisch verdoppelt ansetzen und für den einen die vorletzte, für den andern die letzte Form wählen. Je nachdem ergibt sich: Πm(bh m + cm i + 1'm k) = {(b + ĭ ; c̆) ɟ 1'}h k = {b ɟ (c ; i + 1')}h k = {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')}h k, und da auch noch ah i = (a ; i)h k, di k = (ĭ ; d)h k, so wird: xh k = Σi[a ; i · {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d]h k oder also: x = Σia ; i · {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d, wo von den beiden Termen ĭ ; c̆ und c ; i auch nach Belieben der eine oder

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 519. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/533>, abgerufen am 23.11.2024.

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