§ 29. Diskussion des P der Wurzeln des Inversionsproblems.
Auflösung. Als allgemeine Lösung der Subsumtion a · c ; bxc ; b haben wir nach 11) des § 19: x = u + a(c ; b){(un + cn) j bn} ; b, worin das b auch durch 1 ersetzbar. Hiervon das P nach u genommen gibt -- mit Rücksicht auf die letzte Bemerkung -- nach den Schemata 48): 51a)
[Formel 1]
sintemal i ; 1 = 1 ist.
Hervorragendes Interesse bietet uns der Fall c = 1, wo wir für die allgemeine Wurzel x der Subsumtion des zweiten Inversionsproblems a · 1 ; bx ; b nach den Ergebnissen des § 18 [unter Meidung der dem Fehlerverzeichniss verfallenen Formel 26)] die Ausdrucksformen haben: 52)
[Formel 2]
deren drei erste nach Schema 27) des § 25 auf je eine der zwei letzten (und somit zum Teil auch aufeinander) zurückführbar sind.
Demgemäss ergeben sich nun auch für die Gemeinheit y jener Wurzeln nach 5) die Ausdrücke: 53)
[Formel 3]
bezüglich deren Ähnliches zu bemerken wäre. Die Gleichheit der beiden letzten von diesen beruht auf dem Satze 15) S. 210, wonach wir, b mit b vertauschend, haben: a ; (bn j 1')(b ; 1) = a ; (bn j 1')b, weil eben (bn j 1') · b ; 1 = = (bn j 1')b. Für Letztres, was zeilenrechnerisch leicht zu erweisen, kann man auch den Beweis per Koeffizientenevidenz geben mit: Li j = Pk(bni k + 1'k j)Slbi l, Ri j = Pk(bni k + 1'k j)bi j. Da im Pk nun kj sein muss, so gibt bei lj uns k = l einen effek- tiven Faktor, wobei in Li j sich bni l mit bi l vernichtet, und bleibt sonach von der Sl in jenem nur das Glied mit l = j stehen, worauf Li j mit Ri j übereinstimmt, q. e. d.
Unser Ergebniss ist also, dass: 54)
[Formel 4]
.
Da dieses Px jedem der x eingeordnet sein muss, so wird sich nun auch der Satz zu bewahrheiten haben: 55)
[Formel 5]
§ 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems.
Auflösung. Als allgemeine Lösung der Subsumtion a · c ; b ⋹ xc ; b haben wir nach 11) des § 19: x = u + a(c ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆, worin das b̆ auch durch 1 ersetzbar. Hiervon das Π nach u genommen gibt — mit Rücksicht auf die letzte Bemerkung — nach den Schemata 48): 51a)
[Formel 1]
sintemal ĭ ; 1 = 1 ist.
Hervorragendes Interesse bietet uns der Fall c = 1, wo wir für die allgemeine Wurzel x der Subsumtion des zweiten Inversionsproblems a · 1 ; b ⋹ x ; b nach den Ergebnissen des § 18 [unter Meidung der dem Fehlerverzeichniss verfallenen Formel 26)] die Ausdrucksformen haben: 52)
[Formel 2]
deren drei erste nach Schema 27) des § 25 auf je eine der zwei letzten (und somit zum Teil auch aufeinander) zurückführbar sind.
Demgemäss ergeben sich nun auch für die Gemeinheit y jener Wurzeln nach 5) die Ausdrücke: 53)
[Formel 3]
bezüglich deren Ähnliches zu bemerken wäre. Die Gleichheit der beiden letzten von diesen beruht auf dem Satze 15) S. 210, wonach wir, b̆ mit b vertauschend, haben: a ; (b̄ ɟ 1')(b ; 1) = a ; (b̄ ɟ 1')b, weil eben (b̄ ɟ 1') · b ; 1 = = (b̄ ɟ 1')b. Für Letztres, was zeilenrechnerisch leicht zu erweisen, kann man auch den Beweis per Koeffizientenevidenz geben mit: Li j = Πk(b̄i k + 1'k j)Σlbi l, Ri j = Πk(b̄i k + 1'k j)bi j. Da im Πk nun k ≠ j sein muss, so gibt bei l ≠ j uns k = l einen effek- tiven Faktor, wobei in Li j sich b̄i l mit bi l vernichtet, und bleibt sonach von der Σl in jenem nur das Glied mit l = j stehen, worauf Li j mit Ri j übereinstimmt, q. e. d.
Unser Ergebniss ist also, dass: 54)
[Formel 4]
.
Da dieses Πx jedem der x eingeordnet sein muss, so wird sich nun auch der Satz zu bewahrheiten haben: 55)
[Formel 5]
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§ 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems.
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x = u + a(c ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆,
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gibt — mit Rücksicht auf die letzte Bemerkung — nach den Schemata 48):
51a) [FORMEL]
sintemal ĭ ; 1 = 1 ist.
Hervorragendes Interesse bietet uns der Fall c = 1, wo wir für die
allgemeine Wurzel x der Subsumtion des zweiten Inversionsproblems
a · 1 ; b ⋹ x ; b nach den Ergebnissen des § 18 [unter Meidung der dem
Fehlerverzeichniss verfallenen Formel 26)] die Ausdrucksformen haben:
52) [FORMEL]
deren drei erste nach Schema 27) des § 25 auf je eine der zwei letzten
(und somit zum Teil auch aufeinander) zurückführbar sind.
Demgemäss ergeben sich nun auch für die Gemeinheit y jener Wurzeln
nach 5) die Ausdrücke:
53) [FORMEL]
bezüglich deren Ähnliches zu bemerken wäre. Die Gleichheit der beiden
letzten von diesen beruht auf dem Satze 15) S. 210, wonach wir, b̆ mit b
vertauschend, haben: a ; (b̄ ɟ 1')(b ; 1) = a ; (b̄ ɟ 1')b, weil eben (b̄ ɟ 1') · b ; 1 =
= (b̄ ɟ 1')b. Für Letztres, was zeilenrechnerisch leicht zu erweisen, kann
man auch den Beweis per Koeffizientenevidenz geben mit:
Li j = Πk(b̄i k + 1'k j)Σlbi l, Ri j = Πk(b̄i k + 1'k j)bi j.
Da im Πk nun k ≠ j sein muss, so gibt bei l ≠ j uns k = l einen effek-
tiven Faktor, wobei in Li j sich b̄i l mit bi l vernichtet, und bleibt sonach
von der Σl in jenem nur das Glied mit l = j stehen, worauf Li j mit Ri j
übereinstimmt, q. e. d.
Unser Ergebniss ist also, dass:
54) [FORMEL].
Da dieses Πx jedem der x eingeordnet sein muss, so wird sich
nun auch der Satz zu bewahrheiten haben:
55) [FORMEL]
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 523. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/537>, abgerufen am 23.11.2024.
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