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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

(d = )(a ; b){(un + cn) j bn} = a ; i · (un + an) ; i · j = a ; i · un ; i · j = aun ; i · j,
sintemal nach 26) des § 25: a ; i · an ; i = aan ; i = 0 ; i = 0. Das Ergebniss
d = aun ; i · j ist nun mit b (oder auch mit 1) relativ nachzumultipliziren. Es
wird: d ; b = aun ; i · j ; j ; i = aun ; i · i = auni, da j ; j = 1 ; jj = 1 ; j = 1 ist
(dagegen d ; 1 = aun ; i selbst, weil j ; 1 = 1). Jenes führt zu der Lösung:
x = (a + in)[u + auni] = (a + in)(ai + u) = ia + au + uin = ai + uin,
womit der Satz gefunden ist:
88) [Formel 1] .
(Dieses, d. h. Benutzung des d ; 1, würde zu einer minder einfachen und von
der vorstehenden wesentlich verschiedenen Lösungsform führen, bei welcher
rechts in x noch das Glied aun ; i · in hinzuträte.)

Weit bequemer, als wie soeben durch Partikularisiren aus der Lösung
des allgemeinen Inversionsproblemes, lässt sich das so einfache Ergebniss 88)
gewinnen, indem man die Gleichung x ; i · j = a ; i · j selbständig auflöst --
und zwar wie folgt:

Die beiden in der Gleichung enthaltnen Subsumtionen geben äquivalent
die Doppelsubsumtion:
a ; i · j x ; i a ; i + jn,
aus deren zweiter Teilsubsumtion sofort x als Subjekt, aus deren erster aber
nach Ersetzung des x ; i durch x j in auch x als Prädikat isolirt werden kann
-- beides nach dem ersten Inversionstheoreme. So entsteht:
(a ; i) j ; i x (a ; i + jn) j in,
wo das Subjekt sich vereinfacht zu a ; i · i · j ; 1 = ai, das Prädikat zu
a ; i + jn j 0 j in = a ; i + in = a + in und x = ai + u(a + in)
gefunden ist im Einklang mit 88).

Es stimmt hiemit die Probe 1, indem:
x ; i = ai ; i + uin ; i = a ; ii + u ; ini = a ; i
wird, und dass auch die Probe 2 stimme, ist mit der eben gegebenen selb-
ständigen Herleitung implicite gezeigt.

In der Gestalt x ; (i : j) = a angesetzt, bedingt unser Problem eine Re-
sultante, die einiger Beachtung wert ist. Systematisch, nach dem Schema 2)
des § 19 gebildet lautet sie:
a (a j j : i) ; (i : j) = (a j jn j in) ; i ; j = (a ; j j 0 j in) ; i ; 1 ; j =
= (a ; j + in) ; i · j = (a ; j ; 1 ; i + 1 ; ini)j = a ; j · j, also a = a ; (j : j),
oder nach 29) des § 25: a = aj, a j.

Als eine Konklusion kann man diese einfache Resultante freilich auch
sofort aus der Schreibung x ; i · j = a des Problems gewinnen.

Elfte Vorlesung.

(d = )(a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} = a ; i · (ū + ā) ; i · j̆ = a ; i · ū ; i · j̆ = aū ; i · j̆,
sintemal nach 26) des § 25: a ; i · ā ; i = aā ; i = 0 ; i = 0. Das Ergebniss
d = aū ; i · j̆ ist nun mit b̆ (oder auch mit 1) relativ nachzumultipliziren. Es
wird: d ; b̆ = aū ; i · j̆ ; j ; ĭ = aū ; i · ĭ = aūĭ, da j̆ ; j = 1 ; jj = 1 ; j = 1 ist
(dagegen d ; 1 = aū ; i selbst, weil j̆ ; 1 = 1). Jenes führt zu der Lösung:
x = (a + ī̆)[u + aūĭ] = (a + ī̆)(aĭ + u) = ĭa + au + uī̆ = aĭ + uī̆,
womit der Satz gefunden ist:
88) [Formel 1] .
(Dieses, d. h. Benutzung des d ; 1, würde zu einer minder einfachen und von
der vorstehenden wesentlich verschiedenen Lösungsform führen, bei welcher
rechts in x noch das Glied aū ; i · ī̆ hinzuträte.)

Weit bequemer, als wie soeben durch Partikularisiren aus der Lösung
des allgemeinen Inversionsproblemes, lässt sich das so einfache Ergebniss 88)
gewinnen, indem man die Gleichung x ; i · j̆ = a ; i · j̆ selbständig auflöst —
und zwar wie folgt:

Die beiden in der Gleichung enthaltnen Subsumtionen geben äquivalent
die Doppelsubsumtion:
a ; i · j̆ ⋹ x ; i ⋹ a ; i + j̄̆,
aus deren zweiter Teilsubsumtion sofort x als Subjekt, aus deren erster aber
nach Ersetzung des x ; i durch x ɟ ī auch x als Prädikat isolirt werden kann
— beides nach dem ersten Inversionstheoreme. So entsteht:
(a ; i) j̆ ; ĭ ⋹ x ⋹ (a ; i + j̄̆) ɟ ī̆,
wo das Subjekt sich vereinfacht zu a ; i · ĭ · j̆ ; 1 = aĭ, das Prädikat zu
a ; i + j̄̆ ɟ 0 ɟ ī̆ = a ; i + ī̆ = a + ī̆ und x = aĭ + u(a + ī̆)
gefunden ist im Einklang mit 88).

Es stimmt hiemit die Probe 1, indem:
x ; i = aĭ ; i + uī̆ ; i = a ; ii + u ; īi = a ; i
wird, und dass auch die Probe 2 stimme, ist mit der eben gegebenen selb-
ständigen Herleitung implicite gezeigt.

In der Gestalt x ; (i : j) = a angesetzt, bedingt unser Problem eine Re-
sultante, die einiger Beachtung wert ist. Systematisch, nach dem Schema 2)
des § 19 gebildet lautet sie:
a ⋹ (a ɟ j : i͞) ; (i : j) = (a ɟ j̄ ɟ ī̆) ; i ; j̆ = (a ; j ɟ 0 ɟ ī̆) ; i ; 1 ; j̆ =
= (a ; j + ī̆) ; i · j̆ = (a ; j ; 1 ; i + 1 ; īi)j̆ = a ; j · j̆, also a = a ; (j : j),
oder nach 29) des § 25: a = aj̆, a ⋹ j̆.

Als eine Konklusion kann man diese einfache Resultante freilich auch
sofort aus der Schreibung x ; i · j̆ = a des Problems gewinnen.

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[534/0548] Elfte Vorlesung. (d = )(a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} = a ; i · (ū + ā) ; i · j̆ = a ; i · ū ; i · j̆ = aū ; i · j̆, sintemal nach 26) des § 25: a ; i · ā ; i = aā ; i = 0 ; i = 0. Das Ergebniss d = aū ; i · j̆ ist nun mit b̆ (oder auch mit 1) relativ nachzumultipliziren. Es wird: d ; b̆ = aū ; i · j̆ ; j ; ĭ = aū ; i · ĭ = aūĭ, da j̆ ; j = 1 ; jj = 1 ; j = 1 ist (dagegen d ; 1 = aū ; i selbst, weil j̆ ; 1 = 1). Jenes führt zu der Lösung: x = (a + ī̆)[u + aūĭ] = (a + ī̆)(aĭ + u) = ĭa + au + uī̆ = aĭ + uī̆, womit der Satz gefunden ist: 88) [FORMEL]. (Dieses, d. h. Benutzung des d ; 1, würde zu einer minder einfachen und von der vorstehenden wesentlich verschiedenen Lösungsform führen, bei welcher rechts in x noch das Glied aū ; i · ī̆ hinzuträte.) Weit bequemer, als wie soeben durch Partikularisiren aus der Lösung des allgemeinen Inversionsproblemes, lässt sich das so einfache Ergebniss 88) gewinnen, indem man die Gleichung x ; i · j̆ = a ; i · j̆ selbständig auflöst — und zwar wie folgt: Die beiden in der Gleichung enthaltnen Subsumtionen geben äquivalent die Doppelsubsumtion: a ; i · j̆ ⋹ x ; i ⋹ a ; i + j̄̆, aus deren zweiter Teilsubsumtion sofort x als Subjekt, aus deren erster aber nach Ersetzung des x ; i durch x ɟ ī auch x als Prädikat isolirt werden kann — beides nach dem ersten Inversionstheoreme. So entsteht: (a ; i) j̆ ; ĭ ⋹ x ⋹ (a ; i + j̄̆) ɟ ī̆, wo das Subjekt sich vereinfacht zu a ; i · ĭ · j̆ ; 1 = aĭ, das Prädikat zu a ; i + j̄̆ ɟ 0 ɟ ī̆ = a ; i + ī̆ = a + ī̆ und x = aĭ + u(a + ī̆) gefunden ist im Einklang mit 88). Es stimmt hiemit die Probe 1, indem: x ; i = aĭ ; i + uī̆ ; i = a ; ii + u ; īi = a ; i wird, und dass auch die Probe 2 stimme, ist mit der eben gegebenen selb- ständigen Herleitung implicite gezeigt. In der Gestalt x ; (i : j) = a angesetzt, bedingt unser Problem eine Re- sultante, die einiger Beachtung wert ist. Systematisch, nach dem Schema 2) des § 19 gebildet lautet sie: a ⋹ (a ɟ j : i͞) ; (i : j) = (a ɟ j̄ ɟ ī̆) ; i ; j̆ = (a ; j ɟ 0 ɟ ī̆) ; i ; 1 ; j̆ = = (a ; j + ī̆) ; i · j̆ = (a ; j ; 1 ; i + 1 ; īi)j̆ = a ; j · j̆, also a = a ; (j : j), oder nach 29) des § 25: a = aj̆, a ⋹ j̆. Als eine Konklusion kann man diese einfache Resultante freilich auch sofort aus der Schreibung x ; i · j̆ = a des Problems gewinnen.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 534. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/548>, abgerufen am 23.11.2024.

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