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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.

Viertens. Sei b = i : j = in + jn = in j jn Negat eines Elementepaares,
Einaugennegat oder "Einlücker", mithin bn = ij = ij, b = jn + in = jn j in,
bn = ji = j ; i. So wird: a ; b = a ; in + a ; 1 · jn = a ; 1 · (a ; in + jn),
c = (a ; 1 j j)(a ; 1 j i){(a ; in + jn) j ji} = (a ; 1 + 0 j j)(a ; 1 + i)(a ; in + jn j ji) =
= a ; 1 · (a ; in + i) = a ; in + a ; 1 · i = a ; (in + i), da jn j j = 0 j (j + jn) = 1, jn j i =
= jn j 0 j i = 0 j i = i, also: cn = an j iin, un + cn = (un + an j i)(un + an j in),
(un + cn) j bn = {(un + an j i) j i}{(un + an j i) j j}{(un + an j in) j i}{(un + an j in) j j} =
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= {an j i + (un j i)(un j 0 + j)}{an j 0 + (un + in) j i}{an j 0 + (un + in) j 0 + j},
wobei der mittlere Faktor wegen des Gliedes un j (in + i) = un j 1 = 1 weg-
fällt. Also wird:
(un + cn) j bn = {an j i + un j 0 + (un j i)j}(an j 0 + un j in + j) =
= an j 0 + (an j i)(un ; i + j) + un j 0 + (un j i)j,
d = (a ; b){(un + cn) j bn} = a ; in · {un j 0 + (un j i)j} + a ; 1 · {(an j i) · un ; i + un j 0}jn,
wovon der erste Term a ; in · (un j 0), mit j + jn multiplizirt, zum einen Teile im
nächsten, zum andern im letzten Terme eingeht, mithin bleibt:
d = a ; in · (un j i)j + a ; 1 · (an j i + un j 0) · un ; i · jn,
indem das un ; i = un j in dem ihm eingeordneten un j 0 als Faktor zugesetzt
werden darf.

Nunmehr ist -- wollen wir alle uns zugänglichen Lösungsformen finden --
sowol d ; b als d ; 1 zu bilden. Letzteres gestaltet sich einfacher:
d ; 1 = a ; in · (un j i) + a ; 1 · (an j i + un j 0) · un ; i,
sintemal diese Faktoren -- als durchweg "Systeme" -- vortreten, hernach
j ; 1 sowie jn ; 1 = 1 ist. Bei ersterem erhalten wir:
d ; b = d ; jn + d ; in = a · j ; jn + b · jn ; jn + d ; 1 · in,
wenn a das erste, b das zweite der beiden Glieder des d ; 1 für den Augen-
blick genannt wird. Nun ist aber j ; jn = 1 ; jjn = 0 und jn ; jn = 1 ; jnjn = 1,
sonach entsteht:
d ; b = b + (a + b)in = ain + b = a ; in · (un j i)in + a ; 1 · (an j i + un j 0) · un ; i.

Da nunmehr [Formel 1] zu setzen ist, so erhalten wir als erste
Lösungsform:
x = (a ; in + a ; 1 · i){u + a ; in · (un j i)in + a ; 1 · (an j i + un j 0) · un ; i},
woraus die zweite durch Unterdrückung des Faktors in hervorgeht. Man kann
hier sogleich den Faktor a ; 1 ganz und gar vorziehen (der ja auch bei a ; in
anbringbar ist). Multiplizirt man im übrigen mit a ; in + i oder besser

§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.

Viertens. Sei b = i : j͞ = ī + j̄̆ = ī ɟ j̄̆ Negat eines Elementepaares,
Einaugennegat oder „Einlücker“, mithin b̄ = ij̆ = ij̆, b̆ = j̄ + ī̆ = j̄ ɟ ī̆,
b̄̆ = jĭ = j ; ĭ. So wird: a ; b = a ; ī + a ; 1 · j̄̆ = a ; 1 · (a ; ī + j̄̆),
c = (a ; 1 ɟ j)(a ; 1 ɟ ĭ){(a ; ī + j̄̆) ɟ jĭ} = (a ; 1 + 0 ɟ j)(a ; 1 + ĭ)(a ; ī + j̄̆ ɟ jĭ) =
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= j̄̆ ɟ 0 ɟ ĭ = 0 ɟ ĭ = ĭ, also: c̄ = ā ɟ iī̆, ū + c̄ = (ū + ā ɟ i)(ū + ā ɟ ī̆),
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wobei der mittlere Faktor wegen des Gliedes ū ɟ (ī + i) = ū ɟ 1 = 1 weg-
fällt. Also wird:
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wovon der erste Term a ; ī · (ū ɟ 0), mit j̆ + j̄̆ multiplizirt, zum einen Teile im
nächsten, zum andern im letzten Terme eingeht, mithin bleibt:
d = a ; ī · (ū ɟ i)j̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i · j̄̆,
indem das ū ; i = ū ɟ ī dem ihm eingeordneten ū ɟ 0 als Faktor zugesetzt
werden darf.

Nunmehr ist — wollen wir alle uns zugänglichen Lösungsformen finden —
sowol d ; b̆ als d ; 1 zu bilden. Letzteres gestaltet sich einfacher:
d ; 1 = a ; ī · (ū ɟ i) + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i,
sintemal diese Faktoren — als durchweg „Systeme“ — vortreten, hernach
j̆ ; 1 sowie j̄̆ ; 1 = 1 ist. Bei ersterem erhalten wir:
d ; b̆ = d ; j̄ + d ; ī̆ = α · j̆ ; j̄ + β · j̄̆ ; j̄ + d ; 1 · ī̆,
wenn α das erste, β das zweite der beiden Glieder des d ; 1 für den Augen-
blick genannt wird. Nun ist aber j̆ ; j̄ = 1 ; jj̄ = 0 und j̄̆ ; j̄ = 1 ; j̄j̄ = 1,
sonach entsteht:
d ; b̆ = β + (α + β)ī̆ = αī̆ + β = a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i.

Da nunmehr [Formel 1] zu setzen ist, so erhalten wir als erste
Lösungsform:
x = (a ; ī + a ; 1 · ĭ){u + a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i},
woraus die zweite durch Unterdrückung des Faktors ī̆ hervorgeht. Man kann
hier sogleich den Faktor a ; 1 ganz und gar vorziehen (der ja auch bei a ; ī
anbringbar ist). Multiplizirt man im übrigen mit a ; ī + ĭ oder besser

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[535/0549] § 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems. Viertens. Sei b = i : j͞ = ī + j̄̆ = ī ɟ j̄̆ Negat eines Elementepaares, Einaugennegat oder „Einlücker“, mithin b̄ = ij̆ = ij̆, b̆ = j̄ + ī̆ = j̄ ɟ ī̆, b̄̆ = jĭ = j ; ĭ. So wird: a ; b = a ; ī + a ; 1 · j̄̆ = a ; 1 · (a ; ī + j̄̆), c = (a ; 1 ɟ j)(a ; 1 ɟ ĭ){(a ; ī + j̄̆) ɟ jĭ} = (a ; 1 + 0 ɟ j)(a ; 1 + ĭ)(a ; ī + j̄̆ ɟ jĭ) = = a ; 1 · (a ; ī + ĭ) = a ; ī + a ; 1 · ĭ = a ; (ī + ĭ), da j̄̆ ɟ j = 0 ɟ (j + j̄) = 1, j̄̆ ɟ ĭ = = j̄̆ ɟ 0 ɟ ĭ = 0 ɟ ĭ = ĭ, also: c̄ = ā ɟ iī̆, ū + c̄ = (ū + ā ɟ i)(ū + ā ɟ ī̆), (ū + c̄) ɟ b̄ = {(ū + ā ɟ i) ɟ i}{(ū + ā ɟ i) ɟ j̆}{(ū + ā ɟ ī̆) ɟ i}{(ū + ā ɟ ī̆) ɟ j̆} = = (ā ɟ i + ū ɟ i)(ā ɟ i + ū ɟ 0 + j̆){(ū + ā ɟ 0 + ī̆) ɟ i}{(ū + ā ɟ 0 + ī̆) ɟ 0 + j̆} = = {ā ɟ i + (ū ɟ i)(ū ɟ 0 + j̆)}{ā ɟ 0 + (ū + ī̆) ɟ i}{ā ɟ 0 + (ū + ī̆) ɟ 0 + j̆}, wobei der mittlere Faktor wegen des Gliedes ū ɟ (ī + i) = ū ɟ 1 = 1 weg- fällt. Also wird: (ū + c̄) ɟ b̄ = {ā ɟ i + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)j̆}(ā ɟ 0 + ū ɟ ī + j̆) = = ā ɟ 0 + (ā ɟ i)(ū ; i + j̆) + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)j̆, d = (a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} = a ; ī · {ū ɟ 0 + (ū ɟ i)j̆} + a ; 1 · {(ā ɟ i) · ū ; i + ū ɟ 0}j̄̆, wovon der erste Term a ; ī · (ū ɟ 0), mit j̆ + j̄̆ multiplizirt, zum einen Teile im nächsten, zum andern im letzten Terme eingeht, mithin bleibt: d = a ; ī · (ū ɟ i)j̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i · j̄̆, indem das ū ; i = ū ɟ ī dem ihm eingeordneten ū ɟ 0 als Faktor zugesetzt werden darf. Nunmehr ist — wollen wir alle uns zugänglichen Lösungsformen finden — sowol d ; b̆ als d ; 1 zu bilden. Letzteres gestaltet sich einfacher: d ; 1 = a ; ī · (ū ɟ i) + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i, sintemal diese Faktoren — als durchweg „Systeme“ — vortreten, hernach j̆ ; 1 sowie j̄̆ ; 1 = 1 ist. Bei ersterem erhalten wir: d ; b̆ = d ; j̄ + d ; ī̆ = α · j̆ ; j̄ + β · j̄̆ ; j̄ + d ; 1 · ī̆, wenn α das erste, β das zweite der beiden Glieder des d ; 1 für den Augen- blick genannt wird. Nun ist aber j̆ ; j̄ = 1 ; jj̄ = 0 und j̄̆ ; j̄ = 1 ; j̄j̄ = 1, sonach entsteht: d ; b̆ = β + (α + β)ī̆ = αī̆ + β = a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i. Da nunmehr [FORMEL] zu setzen ist, so erhalten wir als erste Lösungsform: x = (a ; ī + a ; 1 · ĭ){u + a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i}, woraus die zweite durch Unterdrückung des Faktors ī̆ hervorgeht. Man kann hier sogleich den Faktor a ; 1 ganz und gar vorziehen (der ja auch bei a ; ī anbringbar ist). Multiplizirt man im übrigen mit a ; ī + ĭ oder besser

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 535. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/549>, abgerufen am 23.11.2024.