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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

a ; in + (an j i)i in die folgende Klammer, des Inhaltes:
u + a ; in · (un j i)in + (an j i) · un ; i + a ; in · (un j 0),
hinein, und berücksichtigt, dass nach 29) des § 25: un ; i · i = uni ist, so er-
hält man nach einer Zusammenziehung von u + un, und Wiederausmultipli-
ziren mit a ; 1:
89) x = a ; 1 · (an j i)i + a ; in · {u + un j 0 + (un j i)in}
als erste Lösungsform, welche sich in der zweiten Form noch vereinfacht zu
der in dem Satze dargestellten:
90) [Formel 1] .

Mit letztrer 35) stimmt ganz glatt die Probe 1, gelingt nämlich der
Nachweis, dass
91) x ; in + x ; 1 · jn = a ; in + a ; 1 · jn
bei beliebigem u sein wird. Man braucht nämlich nur immer die Faktoren,
welche "Systeme" sind, wie a ; 1, a ; in, an j i, un j i, voranzustellen, dann (hinter
einem Punkt) zu berücksichtigen, dass i ; in = 0, 1 ; in = 1, i ; 1 = 1, so wird
die linke Seite:
= a ; in · (un j i + u ; in) + a ; 1 · {an j i + a ; in · (un j i + u ; 1)}jn,
und dass nun un j i + u ; 1 = 1 sein müsse, geht daraus hervor, das u ; 1 auch
u ; in als Glied (neben u ; i) umfasst, etc. Ähnlich stimmt Probe 1 mit der
Lösungsform 89).

Beide Lösungsformen sind indessen als wesentlich verschiedene leicht
nachzuweisen.

Weniger mühevoll, als durch das Partikularisiren aus dem allgemeinen
Schema 64) der Lösung des dritten Inversionsproblems, ist die Lösung unsrer
Aufgabe wiederum selbständig zu gewinnen. Wir geben hiernächst auch eine
selbständige Auflösung schon darum, weil aus ihr die Relationen zu lernen
sein werden, aufgrund von welchen für unsre Ergebnisse 89), 90) die Probe 2
zu leisten sein wird.

Die aufzulösende Gleichung 91) zerfällt äquivalent in die vier Subsum-
tionen a), die sich bezüglich zu den danebengesetzten b) vereinfachen:
a1)

x ; in a ; in + a ; 1 · jn, a2)x ; 1 · jn a ; in + a ; 1 · jn

b1)xa ; in + i, b2)x a ; 1

a3)

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b3) ax ; in + i, b4) a x ; 1.

Aus a1 folgt nämlich pariter nach dem ersten Inversionstheoreme:
x (a ; in + a ; 1 · jn) j i = a ; in + a ; 1 · (jn j 0) + 0 j i = a ; in + i
und aus a2) zunächst mit identischem Rechnen:
x ; 1 a ; in + a ; 1 · jn + j = a ; in + a ; 1 + j = a ; 1 + j,
hernach ebenso: x (a ; 1 + j) j 0 = a ; 1 + j j 0 = a ; 1 -- während in der
zweiten Zeile nur a und x die Rollen tauschen.

Elfte Vorlesung.

a ; ī + (ā ɟ i)ĭ in die folgende Klammer, des Inhaltes:
u + a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + (ā ɟ i) · ū ; i + a ; ī · (ū ɟ 0),
hinein, und berücksichtigt, dass nach 29) des § 25: ū ; i · ĭ = ūĭ ist, so er-
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ziren mit a ; 1:
89) x = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; ī · {u + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)ī̆}
als erste Lösungsform, welche sich in der zweiten Form noch vereinfacht zu
der in dem Satze dargestellten:
90) [Formel 1] .

Mit letztrer 35) stimmt ganz glatt die Probe 1, gelingt nämlich der
Nachweis, dass
91) x ; ī + x ; 1 · j̄̆ = a ; ī + a ; 1 · j̄̆
bei beliebigem u sein wird. Man braucht nämlich nur immer die Faktoren,
welche „Systeme“ sind, wie a ; 1, a ; ī, ā ɟ i, ū ɟ i, voranzustellen, dann (hinter
einem Punkt) zu berücksichtigen, dass ĭ ; ī = 0, 1 ; ī = 1, ĭ ; 1 = 1, so wird
die linke Seite:
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und dass nun ū ɟ i + u ; 1 = 1 sein müsse, geht daraus hervor, das u ; 1 auch
u ; ī als Glied (neben u ; i) umfasst, etc. Ähnlich stimmt Probe 1 mit der
Lösungsform 89).

Beide Lösungsformen sind indessen als wesentlich verschiedene leicht
nachzuweisen.

Die aufzulösende Gleichung 91) zerfällt äquivalent in die vier Subsum-
tionen α), die sich bezüglich zu den danebengesetzten β) vereinfachen:
α1)

x ; ī ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆, α2)x ; 1 · j̄̆ ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆

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α3)

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β3) a⋹x ; ī + ĭ, β4) a ⋹ x ; 1.

Aus α1 folgt nämlich pariter nach dem ersten Inversionstheoreme:
x⋹ (a ; ī + a ; 1 · j̄̆) ɟ ĭ = a ; ī + a ; 1 · (j̄̆ ɟ 0) + 0 ɟ ĭ = a ; ī + ĭ
und aus α2) zunächst mit identischem Rechnen:
x ; 1 ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆ + j̆ = a ; ī + a ; 1 + j̆ = a ; 1 + j̆,
hernach ebenso: x ⋹ (a ; 1 + j̆) ɟ 0 = a ; 1 + j̆ ɟ 0 = a ; 1 — während in der
zweiten Zeile nur a und x die Rollen tauschen.

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[536/0550] Elfte Vorlesung. a ; ī + (ā ɟ i)ĭ in die folgende Klammer, des Inhaltes: u + a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + (ā ɟ i) · ū ; i + a ; ī · (ū ɟ 0), hinein, und berücksichtigt, dass nach 29) des § 25: ū ; i · ĭ = ūĭ ist, so er- hält man nach einer Zusammenziehung von u + ū, und Wiederausmultipli- ziren mit a ; 1: 89) x = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; ī · {u + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)ī̆} als erste Lösungsform, welche sich in der zweiten Form noch vereinfacht zu der in dem Satze dargestellten: 90) [FORMEL]. Mit letztrer 35) stimmt ganz glatt die Probe 1, gelingt nämlich der Nachweis, dass 91) x ; ī + x ; 1 · j̄̆ = a ; ī + a ; 1 · j̄̆ bei beliebigem u sein wird. Man braucht nämlich nur immer die Faktoren, welche „Systeme“ sind, wie a ; 1, a ; ī, ā ɟ i, ū ɟ i, voranzustellen, dann (hinter einem Punkt) zu berücksichtigen, dass ĭ ; ī = 0, 1 ; ī = 1, ĭ ; 1 = 1, so wird die linke Seite: = a ; ī · (ū ɟ i + u ; ī) + a ; 1 · {ā ɟ i + a ; ī · (ū ɟ i + u ; 1)}j̄̆, und dass nun ū ɟ i + u ; 1 = 1 sein müsse, geht daraus hervor, das u ; 1 auch u ; ī als Glied (neben u ; i) umfasst, etc. Ähnlich stimmt Probe 1 mit der Lösungsform 89). Beide Lösungsformen sind indessen als wesentlich verschiedene leicht nachzuweisen. Weniger mühevoll, als durch das Partikularisiren aus dem allgemeinen Schema 64) der Lösung des dritten Inversionsproblems, ist die Lösung unsrer Aufgabe wiederum selbständig zu gewinnen. Wir geben hiernächst auch eine selbständige Auflösung schon darum, weil aus ihr die Relationen zu lernen sein werden, aufgrund von welchen für unsre Ergebnisse 89), 90) die Probe 2 zu leisten sein wird. Die aufzulösende Gleichung 91) zerfällt äquivalent in die vier Subsum- tionen α), die sich bezüglich zu den danebengesetzten β) vereinfachen: α1) x ; ī ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆, α2)x ; 1 · j̄̆ ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆ β1)x⋹a ; ī + ĭ, β2)x ⋹ a ; 1 α3)a ; ī ⋹ x ; ī + x ; 1 · j̄̆, α4)a ; 1 · j̄̆ ⋹ x ; ī + x ; 1 · j̄̆ β3) a⋹x ; ī + ĭ, β4) a ⋹ x ; 1. Aus α1 folgt nämlich pariter nach dem ersten Inversionstheoreme: x⋹ (a ; ī + a ; 1 · j̄̆) ɟ ĭ = a ; ī + a ; 1 · (j̄̆ ɟ 0) + 0 ɟ ĭ = a ; ī + ĭ und aus α2) zunächst mit identischem Rechnen: x ; 1 ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆ + j̆ = a ; ī + a ; 1 + j̆ = a ; 1 + j̆, hernach ebenso: x ⋹ (a ; 1 + j̆) ɟ 0 = a ; 1 + j̆ ɟ 0 = a ; 1 — während in der zweiten Zeile nur a und x die Rollen tauschen.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 536. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/550>, abgerufen am 18.02.2025.

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