§ 29. Sichtbarmachen von Termen behufs Produktevaluation.
Das dual Entsprechende für die S zu statuiren überlassen wir zumeist dem Leser.
Als Problem kann daher nur die Ermittelung solcher P, S ein Interesse bieten, bei denen im allgemeinen Term f(u) neben u oder u auch un oder un wesentlich vorkommt.
Aufgaben dieser Art haben wir in 1) und 6) gelöst. Dieselben lassen sich durch nachher zur Kenntniss zu nehmende Methoden noch- mals verallgemeinern zu dem Satze 111)
[Formel 1]
, worin die Summen nach k und l sich über irgendwelche Reihen oder Gebiete von Suffixwerten, wie 1, 2, 3, ... erstrecken.
Allgemeinern Erörterungen über die Methode wollen wir noch ein paar konkrete Beispiele vorausschicken, die nach Herleitung und Re- sultat von Interesse.
Aufgabe 22. Beim Anblick von 5) drängt sich als Gegenstück die Frage auf nach dem Werte der nächstfolgenden Produkte P, hinter die wir aber sogleich die sie beantwortende Wertangabe setzen: 112)
[Formel 2]
-- wobei das zweite Ergebniss sich auch durch Buchstabenvertauschung mit Rücksicht auf 109) aus dem ersten ableiten lässt.
Behufs Herleitung und Beweises nennen wir x das gesuchte erste P, und U dessen allgemeinen Faktor, so ist:
[Formel 3]
Ui j = Shai hbh jui h + Skci kdk junk j.
Diesen Ausdruck "entwickeln" wir nun nach ui j, indem wir letztres (und sein Negat) sozusagen "prominent machen" oder "in Evidenz bringen". Zu dem Ende ist nämlich erforderlich und ausreichend, dass man die Glieder oder Terme, in welchen u oder un mit diesem bestimmten Suffixe ij behaftet ist, überall wo sie sich finden können, hervor- oder heraustreten lasse.
Dies kann rein rechnerisch gemacht werden, in unserm Falle: indem man das allgemeine Glied der Sh mit (1 =)(1'h j + 0'h j), das der Sk mit (1 =)(1'k i + 0'k i) multiplizirt, dann zerlegt, und auf die ersten Teile das Schema 12x) von S. 121 anwendet. So kommt in der That: Ui j = ai jbj jui j + ci idi juni j + Sh0'h jai hbh jui h + Sk0'i kci kdk junk j, wo nun also in den beiden letzten Summen nur von einander und von ui j verschieden bezeigerte u-Koeffizienten vorkommen. Diese werden im
[Formel 4]
Schröder, Algebra der Relative. 35
§ 29. Sichtbarmachen von Termen behufs Produktevaluation.
Das dual Entsprechende für die Σ zu statuiren überlassen wir zumeist dem Leser.
Als Problem kann daher nur die Ermittelung solcher Π, Σ ein Interesse bieten, bei denen im allgemeinen Term f(u) neben u oder ŭ auch ū oder ū̆ wesentlich vorkommt.
Aufgaben dieser Art haben wir in 1) und 6) gelöst. Dieselben lassen sich durch nachher zur Kenntniss zu nehmende Methoden noch- mals verallgemeinern zu dem Satze 111)
[Formel 1]
, worin die Summen nach ϰ und λ sich über irgendwelche Reihen oder Gebiete von Suffixwerten, wie 1, 2, 3, … erstrecken.
Allgemeinern Erörterungen über die Methode wollen wir noch ein paar konkrete Beispiele vorausschicken, die nach Herleitung und Re- sultat von Interesse.
Aufgabe 22. Beim Anblick von 5) drängt sich als Gegenstück die Frage auf nach dem Werte der nächstfolgenden Produkte Π, hinter die wir aber sogleich die sie beantwortende Wertangabe setzen: 112)
[Formel 2]
— wobei das zweite Ergebniss sich auch durch Buchstabenvertauschung mit Rücksicht auf 109) aus dem ersten ableiten lässt.
Behufs Herleitung und Beweises nennen wir x das gesuchte erste Π, und U dessen allgemeinen Faktor, so ist:
[Formel 3]
Ui j = Σhai hbh jui h + Σkci kdk jūk j.
Diesen Ausdruck „entwickeln“ wir nun nach ui j, indem wir letztres (und sein Negat) sozusagen „prominent machen“ oder „in Evidenz bringen“. Zu dem Ende ist nämlich erforderlich und ausreichend, dass man die Glieder oder Terme, in welchen u oder ū mit diesem bestimmten Suffixe ij behaftet ist, überall wo sie sich finden können, hervor- oder heraustreten lasse.
Dies kann rein rechnerisch gemacht werden, in unserm Falle: indem man das allgemeine Glied der Σh mit (1 =)(1'h j + 0'h j), das der Σk mit (1 =)(1'k i + 0'k i) multiplizirt, dann zerlegt, und auf die ersten Teile das Schema 12×) von S. 121 anwendet. So kommt in der That: Ui j = ai jbj jui j + ci idi jūi j + Σh0'h jai hbh jui h + Σk0'i kci kdk jūk j, wo nun also in den beiden letzten Summen nur von einander und von ui j verschieden bezeigerte u-Koeffizienten vorkommen. Diese werden im
[Formel 4]
Schröder, Algebra der Relative. 35
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[545/0559]
§ 29. Sichtbarmachen von Termen behufs Produktevaluation.
Das dual Entsprechende für die Σ zu statuiren überlassen wir
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Als Problem kann daher nur die Ermittelung solcher Π, Σ ein
Interesse bieten, bei denen im allgemeinen Term f(u) neben u oder ŭ
auch ū oder ū̆ wesentlich vorkommt.
Aufgaben dieser Art haben wir in 1) und 6) gelöst. Dieselben
lassen sich durch nachher zur Kenntniss zu nehmende Methoden noch-
mals verallgemeinern zu dem Satze
111) [FORMEL],
worin die Summen nach ϰ und λ sich über irgendwelche Reihen oder
Gebiete von Suffixwerten, wie 1, 2, 3, … erstrecken.
Allgemeinern Erörterungen über die Methode wollen wir noch ein
paar konkrete Beispiele vorausschicken, die nach Herleitung und Re-
sultat von Interesse.
Aufgabe 22. Beim Anblick von 5) drängt sich als Gegenstück
die Frage auf nach dem Werte der nächstfolgenden Produkte Π, hinter
die wir aber sogleich die sie beantwortende Wertangabe setzen:
112) [FORMEL]
— wobei das zweite Ergebniss sich auch durch Buchstabenvertauschung
mit Rücksicht auf 109) aus dem ersten ableiten lässt.
Behufs Herleitung und Beweises nennen wir x das gesuchte erste Π,
und U dessen allgemeinen Faktor, so ist:
[FORMEL]Ui j = Σhai hbh jui h + Σkci kdk jūk j.
Diesen Ausdruck „entwickeln“ wir nun nach ui j, indem wir letztres
(und sein Negat) sozusagen „prominent machen“ oder „in Evidenz bringen“.
Zu dem Ende ist nämlich erforderlich und ausreichend, dass man die Glieder
oder Terme, in welchen u oder ū mit diesem bestimmten Suffixe ij behaftet
ist, überall wo sie sich finden können, hervor- oder heraustreten lasse.
Dies kann rein rechnerisch gemacht werden, in unserm Falle: indem
man das allgemeine Glied der Σh mit (1 =)(1'h j + 0'h j), das der Σk mit
(1 =)(1'k i + 0'k i) multiplizirt, dann zerlegt, und auf die ersten Teile das
Schema 12×) von S. 121 anwendet. So kommt in der That:
Ui j = ai jbj jui j + ci idi jūi j + Σh0'h jai hbh jui h + Σk0'i kci kdk jūk j,
wo nun also in den beiden letzten Summen nur von einander und von ui j
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Schröder, Algebra der Relative. 35
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 545. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/559>, abgerufen am 23.11.2024.
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