jedenfalls auch mit 0-Werten ui h = 0 (bei hj), unk j = 0 (bei ki) ver- sehen vorkommen, sodass nur die beiden ersten Glieder zum Wert von x etwas beizusteuern vermögen. Der wirklich vorkommende minimale Wert, der in allen Werten enthalten ist, von einer homogen linearen Funktion: au + bun, = ab + abnu + anbun muss aber das Produkt von deren Koeffizienten, also ab sein, sintemal bei der Annahme u = anb die beiden letzten Glieder in der That verschwinden.
Demnach enthält das für alle erdenklichen u gebildete Ui j allemal zum mindesten das Glied ai jbj jci idi j und wird auch für gewisse Werte von u nicht mehr als diesen Term umspannen, sodass
[Formel 1]
gefunden ist. Damit haben wir xi j = (ad)i j(1'c ; 1)i j(1 ; b1')i j und x = ad · 1'c ; 1 ; b1', q. e. d.
Die Überlegung ist gewiss unanfechtbar; aber so günstig, dass sie sich dermassen glatt und einfach abwickelt, liegen die Verhältnisse nur selten.
Einen tiefern Einblick in die allgemein Erfolg verheissende Pro- duktirmethode werden wir schon durch die heuristische Herleitung (des ersten) der folgenden Resultate gewinnen.
Aufgabe 23. Zu entdecken, dass: 113)
[Formel 2]
-- wonach also, bei Vertauschung von d mit d im einen Ausdrucke, die untereinander stehenden gleich ausfallen würden.
Herleitung. Indem wir wieder die erste Aufgabe als x = PU for- muliren, werden wir haben:
[Formel 3]
und Ui j = Slai lbl jui l + Skci kek jPl(uni l + dl k). Die Sache liegt hier wiederum einfach insofern, als die u durchweg nur mit dem ersten Index i behaftet vorkommen.
Wir machen nun für irgend ein bestimmtes h hierin ui h prominent. Wie zu dem Ende die Sl zu behandeln ist, haben wir im vorigen Kontext geschildert (man multiplizire das allgemeine Glied mit 1'l h + 0'l h). Dual entsprechend wird zum allgemeinen Faktor des Pl blos (0 =)0'l h1'l h zu addiren, derselbe sodann nach dem dualen Gegenstück des Distributions- gesetzes in (uni l + dl k + 0'l h)(uni l + dl k + 1'l h) zu zerfällen und von jedem
Elfte Vorlesung.
jedenfalls auch mit 0-Werten ui h = 0 (bei h ≠ j), ūk j = 0 (bei k ≠ i) ver- sehen vorkommen, sodass nur die beiden ersten Glieder zum Wert von x etwas beizusteuern vermögen. Der wirklich vorkommende minimale Wert, der in allen Werten enthalten ist, von einer homogen linearen Funktion: αu + βū, = αβ + αβ̄u + ᾱβū muss aber das Produkt von deren Koeffizienten, also αβ sein, sintemal bei der Annahme u = ᾱβ die beiden letzten Glieder in der That verschwinden.
Demnach enthält das für alle erdenklichen u gebildete Ui j allemal zum mindesten das Glied ai jbj jci idi j und wird auch für gewisse Werte von u nicht mehr als diesen Term umspannen, sodass
[Formel 1]
gefunden ist. Damit haben wir xi j = (ad)i j(1'c ; 1)i j(1 ; b1')i j und x = ad · 1'c ; 1 ; b1', q. e. d.
Die Überlegung ist gewiss unanfechtbar; aber so günstig, dass sie sich dermassen glatt und einfach abwickelt, liegen die Verhältnisse nur selten.
Einen tiefern Einblick in die allgemein Erfolg verheissende Pro- duktirmethode werden wir schon durch die heuristische Herleitung (des ersten) der folgenden Resultate gewinnen.
Aufgabe 23. Zu entdecken, dass: 113)
[Formel 2]
— wonach also, bei Vertauschung von d mit d̆ im einen Ausdrucke, die untereinander stehenden gleich ausfallen würden.
Herleitung. Indem wir wieder die erste Aufgabe als x = ΠU for- muliren, werden wir haben:
[Formel 3]
und Ui j = Σlai lbl jui l + Σkci kek jΠl(ūi l + dl k). Die Sache liegt hier wiederum einfach insofern, als die u durchweg nur mit dem ersten Index i behaftet vorkommen.
Wir machen nun für irgend ein bestimmtes h hierin ui h prominent. Wie zu dem Ende die Σl zu behandeln ist, haben wir im vorigen Kontext geschildert (man multiplizire das allgemeine Glied mit 1'l h + 0'l h). Dual entsprechend wird zum allgemeinen Faktor des Πl blos (0 =)0'l h1'l h zu addiren, derselbe sodann nach dem dualen Gegenstück des Distributions- gesetzes in (ūi l + dl k + 0'l h)(ūi l + dl k + 1'l h) zu zerfällen und von jedem
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Elfte Vorlesung.
jedenfalls auch mit 0-Werten ui h = 0 (bei h ≠ j), ūk j = 0 (bei k ≠ i) ver-
sehen vorkommen, sodass nur die beiden ersten Glieder zum Wert von x
etwas beizusteuern vermögen. Der wirklich vorkommende minimale Wert,
der in allen Werten enthalten ist, von einer homogen linearen Funktion:
αu + βū, = αβ + αβ̄u + ᾱβū
muss aber das Produkt von deren Koeffizienten, also αβ sein, sintemal bei
der Annahme u = ᾱβ die beiden letzten Glieder in der That verschwinden.
Demnach enthält das für alle erdenklichen u gebildete Ui j allemal
zum mindesten das Glied ai jbj jci idi j und wird auch für gewisse Werte von u
nicht mehr als diesen Term umspannen, sodass
[FORMEL] gefunden ist. Damit haben wir
xi j = (ad)i j(1'c ; 1)i j(1 ; b1')i j und x = ad · 1'c ; 1 ; b1', q. e. d.
Die Überlegung ist gewiss unanfechtbar; aber so günstig, dass sie
sich dermassen glatt und einfach abwickelt, liegen die Verhältnisse nur
selten.
Einen tiefern Einblick in die allgemein Erfolg verheissende Pro-
duktirmethode werden wir schon durch die heuristische Herleitung (des
ersten) der folgenden Resultate gewinnen.
Aufgabe 23. Zu entdecken, dass:
113) [FORMEL]
— wonach also, bei Vertauschung von d mit d̆ im einen Ausdrucke,
die untereinander stehenden gleich ausfallen würden.
Herleitung. Indem wir wieder die erste Aufgabe als x = ΠU for-
muliren, werden wir haben:
[FORMEL] und Ui j = Σlai lbl jui l + Σkci kek jΠl(ūi l + dl k).
Die Sache liegt hier wiederum einfach insofern, als die u durchweg nur
mit dem ersten Index i behaftet vorkommen.
Wir machen nun für irgend ein bestimmtes h hierin ui h prominent.
Wie zu dem Ende die Σl zu behandeln ist, haben wir im vorigen Kontext
geschildert (man multiplizire das allgemeine Glied mit 1'l h + 0'l h). Dual
entsprechend wird zum allgemeinen Faktor des Πl blos (0 =)0'l h1'l h zu
addiren, derselbe sodann nach dem dualen Gegenstück des Distributions-
gesetzes in (ūi l + dl k + 0'l h)(ūi l + dl k + 1'l h) zu zerfällen und von jedem
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 546. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/560>, abgerufen am 23.11.2024.
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