dieser beiden Faktoren das Pl einzeln zu nehmen sein, wo beim ersten das Schema 12+) von S. 121 anwendbar wird. So kommt: Ui j = ai hbh jui h + Sl0'l hai lbl jui l + Skci kek j(uni h + dh k)Pl(1'l h + uni l + dl k).
Dies hat bereits die entwickelte (lineare) Form: Ui j = aui h + buni h + g, die man besser im nicht homogenen Zustande belässt. Bevor wir die Werte von a, b, g, die hieraus ersichtlich, ausdrücklich hinschreiben, wollen wir aber eine etwas bequemere Symbolik einführen, die sich für alle der- artigen Aufgaben zu empfehlen scheint.
Eine Summe der Form Sl0'l hph(l) stellt nichts andres vor als wie die Summe aller ph(l) ohne ph(h), und kann dies auch durch die Schreibung
[Formel 1]
vollständig ausgedrückt werden. Analog wird
[Formel 2]
die Summe nach l aller ph(l) ohne ph(h) und ph(k) ausdrücken, und so weiter.
Dual entsprechend kann auch
[Formel 3]
u. s. w. geschrieben werden, indem die linkseitigen Ausdrücke nichts andres vorstellen als das Produkt aller ph(l) ohne ph(h), resp. ohne ph(h) und ph(k), etc.
Durch diese kleine Modifikation der in unsrer Disziplin legitimen Sym- bolik wird der Vorteil erzielt, dass, wenn fortgesetzt immer mehr Glieder aus der Summe, Faktoren aus dem P weggelassen werden sollen, der allgemeine Term der S und des P stetsfort den nämlichen (einen immer gleich einfachen) Ausdruck behält (während in der legitimen Darstellung dieser immerfort an Schwülstigkeit zunehmen müsste); mithin kann auch dieser allgemeine Term, als selbstverständlich der alte bleibend, unerwähnt gelassen, er braucht nicht wiederholt zu werden.
Wenn schliesslich von der Sl alle ihre Glieder, von dem Pl alle seine Faktoren derart ausgeschlossen sive in Wegfall gekommen sind, so wird jene gleich 0 und dieses gleich 1 geworden sein.
Benutzen wir dies, so werden wir haben:
[Formel 4]
wo als allgemeiner Term der Sl nun ai lbl jui l, des Pl aber uni l + dl k ge- radeso wie im ersten Ausdrucke unsres Ui j zu denken ist. --
Wie immer nun auch die übrigen ui l (ohne ui h) gegeben sein mögen, so lässt sich ui h so bestimmen, wählen, dass die obige lineare Funktion desselben, Ui j, ihren Minimalwert annimmt. Dieser muss sein: (a + g)(b + g), = g + ab und wird hier nach geringfügiger Zusammenziehung:
[Formel 5]
.
35*
§ 29. Verfahren der Exhaustion von Koeffizienten.
dieser beiden Faktoren das Πl einzeln zu nehmen sein, wo beim ersten das Schema 12+) von S. 121 anwendbar wird. So kommt: Ui j = ai hbh jui h + Σl0'l hai lbl jui l + Σkci kek j(ūi h + dh k)Πl(1'l h + ūi l + dl k).
Dies hat bereits die entwickelte (lineare) Form: Ui j = αui h + βūi h + γ, die man besser im nicht homogenen Zustande belässt. Bevor wir die Werte von α, β, γ, die hieraus ersichtlich, ausdrücklich hinschreiben, wollen wir aber eine etwas bequemere Symbolik einführen, die sich für alle der- artigen Aufgaben zu empfehlen scheint.
Eine Summe der Form Σl0'l hφ(l) stellt nichts andres vor als wie die Summe aller φ(l) ohne φ(h), und kann dies auch durch die Schreibung
[Formel 1]
vollständig ausgedrückt werden. Analog wird
[Formel 2]
die Summe nach l aller φ(l) ohne φ(h) und φ(k) ausdrücken, und so weiter.
Dual entsprechend kann auch
[Formel 3]
u. s. w. geschrieben werden, indem die linkseitigen Ausdrücke nichts andres vorstellen als das Produkt aller φ(l) ohne φ(h), resp. ohne φ(h) und φ(k), etc.
Durch diese kleine Modifikation der in unsrer Disziplin legitimen Sym- bolik wird der Vorteil erzielt, dass, wenn fortgesetzt immer mehr Glieder aus der Summe, Faktoren aus dem Π weggelassen werden sollen, der allgemeine Term der Σ und des Π stetsfort den nämlichen (einen immer gleich einfachen) Ausdruck behält (während in der legitimen Darstellung dieser immerfort an Schwülstigkeit zunehmen müsste); mithin kann auch dieser allgemeine Term, als selbstverständlich der alte bleibend, unerwähnt gelassen, er braucht nicht wiederholt zu werden.
Wenn schliesslich von der Σl alle ihre Glieder, von dem Πl alle seine Faktoren derart ausgeschlossen sive in Wegfall gekommen sind, so wird jene gleich 0 und dieses gleich 1 geworden sein.
Benutzen wir dies, so werden wir haben:
[Formel 4]
wo als allgemeiner Term der Σl nun ai lbl jui l, des Πl aber ūi l + dl k ge- radeso wie im ersten Ausdrucke unsres Ui j zu denken ist. —
Wie immer nun auch die übrigen ui l (ohne ui h) gegeben sein mögen, so lässt sich ui h so bestimmen, wählen, dass die obige lineare Funktion desselben, Ui j, ihren Minimalwert annimmt. Dieser muss sein: (α + γ)(β + γ), = γ + αβ und wird hier nach geringfügiger Zusammenziehung:
[Formel 5]
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[547/0561]
§ 29. Verfahren der Exhaustion von Koeffizienten.
dieser beiden Faktoren das Πl einzeln zu nehmen sein, wo beim ersten
das Schema 12+) von S. 121 anwendbar wird. So kommt:
Ui j = ai hbh jui h + Σl0'l hai lbl jui l + Σkci kek j(ūi h + dh k)Πl(1'l h + ūi l + dl k).
Dies hat bereits die entwickelte (lineare) Form:
Ui j = αui h + βūi h + γ,
die man besser im nicht homogenen Zustande belässt. Bevor wir die
Werte von α, β, γ, die hieraus ersichtlich, ausdrücklich hinschreiben, wollen
wir aber eine etwas bequemere Symbolik einführen, die sich für alle der-
artigen Aufgaben zu empfehlen scheint.
Eine Summe der Form Σl0'l hφ(l) stellt nichts andres vor als wie die
Summe aller φ(l) ohne φ(h), und kann dies auch durch die Schreibung
[FORMEL] vollständig ausgedrückt werden. Analog wird
[FORMEL] die Summe nach l aller φ(l) ohne φ(h) und φ(k) ausdrücken, und so
weiter.
Dual entsprechend kann auch
[FORMEL] u. s. w. geschrieben werden, indem die linkseitigen Ausdrücke nichts andres
vorstellen als das Produkt aller φ(l) ohne φ(h), resp. ohne φ(h) und
φ(k), etc.
Durch diese kleine Modifikation der in unsrer Disziplin legitimen Sym-
bolik wird der Vorteil erzielt, dass, wenn fortgesetzt immer mehr Glieder
aus der Summe, Faktoren aus dem Π weggelassen werden sollen, der
allgemeine Term der Σ und des Π stetsfort den nämlichen (einen immer
gleich einfachen) Ausdruck behält (während in der legitimen Darstellung
dieser immerfort an Schwülstigkeit zunehmen müsste); mithin kann auch
dieser allgemeine Term, als selbstverständlich der alte bleibend, unerwähnt
gelassen, er braucht nicht wiederholt zu werden.
Wenn schliesslich von der Σl alle ihre Glieder, von dem Πl alle seine
Faktoren derart ausgeschlossen sive in Wegfall gekommen sind, so wird
jene gleich 0 und dieses gleich 1 geworden sein.
Benutzen wir dies, so werden wir haben:
[FORMEL] wo als allgemeiner Term der Σl nun ai lbl jui l, des Πl aber ūi l + dl k ge-
radeso wie im ersten Ausdrucke unsres Ui j zu denken ist. —
Wie immer nun auch die übrigen ui l (ohne ui h) gegeben sein mögen,
so lässt sich ui h so bestimmen, wählen, dass die obige lineare Funktion
desselben, Ui j, ihren Minimalwert annimmt. Dieser muss sein:
(α + γ)(β + γ), = γ + αβ
und wird hier nach geringfügiger Zusammenziehung:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 547. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/561>, abgerufen am 23.11.2024.
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