zerfällt die S, das P in eine Summe, ein Produkt von zwei solchen, und werden auf den einen Teil die Schemata 12) von S. 121 anwendbar, wo- durch man zuletzt ui j oder uni j als expliziten Faktor, Summanden bekommt. Im andern Teile erscheint durch den Faktor 0'i l resp. 0'l j, bezüglich durch den Addenden 1'i l resp. 1'l j aus der verbleibenden Sl, bezüglich dem Pl, ein zuvor darin effektiv vorhanden gewesner Term fortan unwirksam ge- macht, ausgemerzt, herausgeschöpft oder exkludirt.
Nun tritt für ui j = anb der "Minimalwert" unsres Uh k wirklich ein, der in nach u allen Werten desselben enthalten sein muss, und zwar ist derselbe
[Formel 1]
, worin das Suffix ij, wenigstens, an u und un nicht mehr auftreten wird.
Ist dann mn irgend ein neues Suffix, so kann man ebenso Vh k = a'um n + b'unm n + g' entwickeln, wovon als Faktor von xh k blos auftreten kann der in nach u allen Vh k enthaltene und für ein gewisses um n wirklich vorkommende Minimalwert
[Formel 2]
, worin nun weder ij noch mn als Index von u oder un mehr vorkommen kann und in gewissen S, P sogar zwei Terme exkludirt, ausgeschöpft erscheinen werden. Und so weiter.
Es kommt nun blos darauf an, das Bildungsgesetz der Minimal- werte fort und fort zu übersehen -- so lange fort, bis aus den über- haupt auf Indizes von u oder un bezüglichen S und P alle Terme ex- kludirt, ausgeschöpft sein werden. Dies ist ja theoretisch möglich -- praktisch können die Komplikationen rasch unabsehbar werden. Die völlig ausgeschöpften S verschwinden, werden = 0, die P gleich 1 zu setzen sein.
Das Verfahren lässt analytischem Geschick noch weiten Spielraum: man kann die u-Koeffizienten z. B. reihenweise (zeilen- oder kolonnenweise) auszumerzen suchen, oder auch vorweg die ui i längs der Hauptdiagonale, oder auch die zu einander konversen paarweise, etc.
Gelingt das, so ist xh k als eine "Aussagenfunktion" ermittelt, in der kein u-Koeffizient mehr vorkommt, vor der also das
[Formel 3]
unterdrück- bar ist und die sich lediglich aus Koeffizienten der Parameter a, b, c, ... des f(u) aufbaut.
Alsdann verbleibt nur noch die Aufgabe, diese Aussagenfunktion -- ich möchte sagen: zu "verdichten", zu "condensiren", d. h. sie darzustellen als den Koeffizienten zum Suffix hk eines von h und k unabhängigen,
Elfte Vorlesung.
zerfällt die Σ, das Π in eine Summe, ein Produkt von zwei solchen, und werden auf den einen Teil die Schemata 12) von S. 121 anwendbar, wo- durch man zuletzt ui j oder ūi j als expliziten Faktor, Summanden bekommt. Im andern Teile erscheint durch den Faktor 0'i l resp. 0'l j, bezüglich durch den Addenden 1'i l resp. 1'l j aus der verbleibenden Σl, bezüglich dem Πl, ein zuvor darin effektiv vorhanden gewesner Term fortan unwirksam ge- macht, ausgemerzt, herausgeschöpft oder exkludirt.
Nun tritt für ui j = ᾱβ der „Minimalwert“ unsres Uh k wirklich ein, der in nach u allen Werten desselben enthalten sein muss, und zwar ist derselbe
[Formel 1]
, worin das Suffix ij, wenigstens, an u und ū nicht mehr auftreten wird.
Ist dann mn irgend ein neues Suffix, so kann man ebenso Vh k = α'um n + β'ūm n + γ' entwickeln, wovon als Faktor von xh k blos auftreten kann der in nach u allen Vh k enthaltene und für ein gewisses um n wirklich vorkommende Minimalwert
[Formel 2]
, worin nun weder ij noch mn als Index von u oder ū mehr vorkommen kann und in gewissen Σ, Π sogar zwei Terme exkludirt, ausgeschöpft erscheinen werden. Und so weiter.
Es kommt nun blos darauf an, das Bildungsgesetz der Minimal- werte fort und fort zu übersehen — so lange fort, bis aus den über- haupt auf Indizes von u oder ū bezüglichen Σ und Π alle Terme ex- kludirt, ausgeschöpft sein werden. Dies ist ja theoretisch möglich — praktisch können die Komplikationen rasch unabsehbar werden. Die völlig ausgeschöpften Σ verschwinden, werden = 0, die Π gleich 1 zu setzen sein.
Das Verfahren lässt analytischem Geschick noch weiten Spielraum: man kann die u-Koeffizienten z. B. reihenweise (zeilen- oder kolonnenweise) auszumerzen suchen, oder auch vorweg die ui i längs der Hauptdiagonale, oder auch die zu einander konversen paarweise, etc.
Gelingt das, so ist xh k als eine „Aussagenfunktion“ ermittelt, in der kein u-Koeffizient mehr vorkommt, vor der also das
[Formel 3]
unterdrück- bar ist und die sich lediglich aus Koeffizienten der Parameter a, b, c, … des f(u) aufbaut.
Alsdann verbleibt nur noch die Aufgabe, diese Aussagenfunktion — ich möchte sagen: zu „verdichten“, zu „condensiren“, d. h. sie darzustellen als den Koeffizienten zum Suffix hk eines von h und k unabhängigen,
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Elfte Vorlesung.
zerfällt die Σ, das Π in eine Summe, ein Produkt von zwei solchen, und
werden auf den einen Teil die Schemata 12) von S. 121 anwendbar, wo-
durch man zuletzt ui j oder ūi j als expliziten Faktor, Summanden bekommt.
Im andern Teile erscheint durch den Faktor 0'i l resp. 0'l j, bezüglich durch
den Addenden 1'i l resp. 1'l j aus der verbleibenden Σl, bezüglich dem Πl,
ein zuvor darin effektiv vorhanden gewesner Term fortan unwirksam ge-
macht, ausgemerzt, herausgeschöpft oder exkludirt.
Nun tritt für ui j = ᾱβ der „Minimalwert“ unsres Uh k wirklich
ein, der in nach u allen Werten desselben enthalten sein muss, und
zwar ist derselbe
[FORMEL],
worin das Suffix ij, wenigstens, an u und ū nicht mehr auftreten wird.
Ist dann mn irgend ein neues Suffix, so kann man ebenso
Vh k = α'um n + β'ūm n + γ'
entwickeln, wovon als Faktor von xh k blos auftreten kann der in nach u
allen Vh k enthaltene und für ein gewisses um n wirklich vorkommende
Minimalwert
[FORMEL],
worin nun weder ij noch mn als Index von u oder ū mehr vorkommen
kann und in gewissen Σ, Π sogar zwei Terme exkludirt, ausgeschöpft
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Es kommt nun blos darauf an, das Bildungsgesetz der Minimal-
werte fort und fort zu übersehen — so lange fort, bis aus den über-
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kludirt, ausgeschöpft sein werden. Dies ist ja theoretisch möglich —
praktisch können die Komplikationen rasch unabsehbar werden. Die
völlig ausgeschöpften Σ verschwinden, werden = 0, die Π gleich 1
zu setzen sein.
Das Verfahren lässt analytischem Geschick noch weiten Spielraum:
man kann die u-Koeffizienten z. B. reihenweise (zeilen- oder kolonnenweise)
auszumerzen suchen, oder auch vorweg die ui i längs der Hauptdiagonale,
oder auch die zu einander konversen paarweise, etc.
Gelingt das, so ist xh k als eine „Aussagenfunktion“ ermittelt, in
der kein u-Koeffizient mehr vorkommt, vor der also das [FORMEL] unterdrück-
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Alsdann verbleibt nur noch die Aufgabe, diese Aussagenfunktion —
ich möchte sagen: zu „verdichten“, zu „condensiren“, d. h. sie darzustellen
als den Koeffizienten zum Suffix hk eines von h und k unabhängigen,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 550. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/564>, abgerufen am 18.06.2024.
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