wertausdruck von Ui j von sämtlichen Argumenten ui h, kürzer gesagt: von u, unabhängig geworden und durfte das Zeichen
[Formel 1]
vor dieser Kon- stanten nach dem Tautologiegesetz unterdrückt werden.
Nebenbei gesagt geht für a = 1, b = 1' nach einer kleinen Buch- stabenvertauschung unser erstes Resultat 113) auch über in: 50) -- jene Formel, die wir vordem auf kunstvollerem verschlungenen Wege, durch Vermittelung unendlich vielfacher P, nur zu finden vermocht hatten. Ebenso begreift unser Resultat für d = 0' auch unser Theorem 6) unter sich und erscheint als eines der allgemeinsten von den P, die sich in geschlossener Form bisher angeben liessen.
"Theoretisch" ist nun das bei den letzten Aufgaben Erkannte leicht zu verallgemeinern.
Soll mit der "absoluten Erstreckung" ein
[Formel 2]
ermittelt werden, wo U = f(u) eine gegebne Relativfunktion ist, so suche man den allgemeinen Koeffizienten
[Formel 3]
.
Man wird zunächst keine Schwierigkeit finden, gemäss den Fest- setzungen (10) bis (13) des § 3 den allgemeinen Faktor Uh k des letztern P explizite als eine "Aussagenfunktion" darzustellen, welche sich vermittelst der drei Spezies des Aussagenkalkuls nebst eventuell S und Pzeichen in bestimmter Weise aufbaut aus den Koeffizienten des Arguments u (und seines Negats un) sowol als sämtlicher etwaigen Parameter a, b, c, ... des f(u).
Diese Aussagenfunktion kann in der Gestalt Uh k = aui j + buni j + g "entwickelt" werden nach dem u-Koeffizienten mit irgend einem be- stimmten Suffixe ij. Und zwar ist diese Entwickelung linear und wenn man will auch homogen; doch ist der homogenen Form (a + g)ui j + (b + g)uni j die noch nicht homogen gemachte aus bald ersichtlichem Grunde vor- zuziehn. Die Polynomkoeffizienten a, b, g sind zwar nicht unabhängig von u (sie führen nämlich ev. die übrigen u-Koeffizienten), aber doch sind sie unabhängig von ui j.
Um solchermasseen ui j "prominent zu machen", es "in Evidenz zu bringen" -- wobei vielleicht die Fälle i = oder j sowie i, j = oder h, k getrennt zu behandeln sind -- braucht man blos zu beachten: sooft ein erster Index l des u oder un von einem Sl beherrscht ist, so kann man den allgemeinen Term dieser S mit 1'i l + 0'i l (= 1) multipliziren -- bei einem zweiten Index dagegen thue man es mit 1'l j + 0'l j. Sind sie dagegen von einem Pl beherrscht, so kann man 0'i l1'i l(= 0), resp. 0'l j1'l j zum all- gemeinen Term addiren -- beidemal gemäss dem Distributionsgesetze a(b + c) = ab + ac, beziehungsweise a + bc = (a + b)(a + c) zerlegend. So
§ 29. Zur allgemeinen Produktauswertungsmethode.
wertausdruck von Ui j von sämtlichen Argumenten ui h, kürzer gesagt: von u, unabhängig geworden und durfte das Zeichen
[Formel 1]
vor dieser Kon- stanten nach dem Tautologiegesetz unterdrückt werden.
Nebenbei gesagt geht für a = 1, b = 1' nach einer kleinen Buch- stabenvertauschung unser erstes Resultat 113) auch über in: 50) — jene Formel, die wir vordem auf kunstvollerem verschlungenen Wege, durch Vermittelung unendlich vielfacher Π, nur zu finden vermocht hatten. Ebenso begreift unser Resultat für d = 0' auch unser Theorem 6) unter sich und erscheint als eines der allgemeinsten von den Π, die sich in geschlossener Form bisher angeben liessen.
„Theoretisch“ ist nun das bei den letzten Aufgaben Erkannte leicht zu verallgemeinern.
Soll mit der „absoluten Erstreckung“ ein
[Formel 2]
ermittelt werden, wo U = f(u) eine gegebne Relativfunktion ist, so suche man den allgemeinen Koeffizienten
[Formel 3]
.
Man wird zunächst keine Schwierigkeit finden, gemäss den Fest- setzungen (10) bis (13) des § 3 den allgemeinen Faktor Uh k des letztern Π explizite als eine „Aussagenfunktion“ darzustellen, welche sich vermittelst der drei Spezies des Aussagenkalkuls nebst eventuell Σ und Πzeichen in bestimmter Weise aufbaut aus den Koeffizienten des Arguments u (und seines Negats ū) sowol als sämtlicher etwaigen Parameter a, b, c, … des f(u).
Diese Aussagenfunktion kann in der Gestalt Uh k = αui j + βūi j + γ „entwickelt“ werden nach dem u-Koeffizienten mit irgend einem be- stimmten Suffixe ij. Und zwar ist diese Entwickelung linear und wenn man will auch homogen; doch ist der homogenen Form (α + γ)ui j + (β + γ)ūi j die noch nicht homogen gemachte aus bald ersichtlichem Grunde vor- zuziehn. Die Polynomkoeffizienten α, β, γ sind zwar nicht unabhängig von u (sie führen nämlich ev. die übrigen u-Koeffizienten), aber doch sind sie unabhängig von ui j.
Um solchermasseen ui j „prominent zu machen“, es „in Evidenz zu bringen“ — wobei vielleicht die Fälle i = oder ≠ j sowie i, j = oder ≠ h, k getrennt zu behandeln sind — braucht man blos zu beachten: sooft ein erster Index l des u oder ū von einem Σl beherrscht ist, so kann man den allgemeinen Term dieser Σ mit 1'i l + 0'i l (= 1) multipliziren — bei einem zweiten Index dagegen thue man es mit 1'l j + 0'l j. Sind sie dagegen von einem Πl beherrscht, so kann man 0'i l1'i l(= 0), resp. 0'l j1'l j zum all- gemeinen Term addiren — beidemal gemäss dem Distributionsgesetze a(b + c) = ab + ac, beziehungsweise a + bc = (a + b)(a + c) zerlegend. So
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[549/0563]
§ 29. Zur allgemeinen Produktauswertungsmethode.
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stanten nach dem Tautologiegesetz unterdrückt werden.
Nebenbei gesagt geht für a = 1, b = 1' nach einer kleinen Buch-
stabenvertauschung unser erstes Resultat 113) auch über in: 50) — jene
Formel, die wir vordem auf kunstvollerem verschlungenen Wege, durch
Vermittelung unendlich vielfacher Π, nur zu finden vermocht hatten.
Ebenso begreift unser Resultat für d = 0' auch unser Theorem 6) unter
sich und erscheint als eines der allgemeinsten von den Π, die sich in
geschlossener Form bisher angeben liessen.
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leicht zu verallgemeinern.
Soll mit der „absoluten Erstreckung“ ein [FORMEL] ermittelt
werden, wo U = f(u) eine gegebne Relativfunktion ist, so suche man
den allgemeinen Koeffizienten [FORMEL].
Man wird zunächst keine Schwierigkeit finden, gemäss den Fest-
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sich vermittelst der drei Spezies des Aussagenkalkuls nebst eventuell
Σ und Πzeichen in bestimmter Weise aufbaut aus den Koeffizienten
des Arguments u (und seines Negats ū) sowol als sämtlicher etwaigen
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Diese Aussagenfunktion kann in der Gestalt
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sind sie unabhängig von ui j.
Um solchermasseen ui j „prominent zu machen“, es „in Evidenz zu
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ein erster Index l des u oder ū von einem Σl beherrscht ist, so kann man
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von einem Πl beherrscht, so kann man 0'i l1'i l(= 0), resp. 0'l j1'l j zum all-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 549. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/563>, abgerufen am 23.11.2024.
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