7) y = {yn j (an + 1')}y{(1' + bn) j yn} d. h. für x = y angesetzt, die Gleichung 2) in ihrer zweiten Form. Die Gleichung 2) für ein arbiträres x angesetzt, muss demnach die allgemeine Wurzel y der Subsumtion 6) vorstellen, wobei es obendrein erlaubt sein muss: einzeln oder gleichzeitig, a durch a sowie a + a, und b durch b sowie b + b zu ersetzen.
Verwenden wir, um die chiffrirten Propositionen nicht nochmals in eckige Klammern wiederholt hineinschreiben zu müssen, für diese selbst ihre Chiffren, so ist bis jetzt erwiesen:
[Formel 1]
dazu aber auch 6) = 7), wobei 6) = 61) = 62).
Gibt es nun ein x, welches die rechte Seite der Äquivalenz 4) wahr macht, so gibt es auch ein y, nämlich das durch 2) dargestellte, welches die rechte Seite der Äquivalenz 5) erfüllt, und umgekehrt: gibt es ein der letztern Forderung genügendes y, so auch ein der erstern genügendes x, und zwar mindestens schon in Gestalt von x gleich y. Die Forderungen 4), 5) bedingen also einander gegenseitig oder sind äquivalent.
Falls man will, kann man auch die eine rechnerisch geradezu in die andre transformiren. Ersetzt man z. B. in 5) den ersten Aussagenfaktor hinter dem
[Formel 2]
, welcher die Subsumtion 6) ist, durch das ihm äquivalent erwiesene
[Formel 3]
2), so kann man diese S nach x auf alles folgende beziehen; macht man dann hinter dem
[Formel 4]
für y durchweg von dem ihm in 2) gleich- gesetzten Ausdrucke in x als dem ausdrucksvolleren Namen Gebrauch, so wird der Aussagenfaktor 2), als eine Identität, gleich 1 und unterdrück- bar, ebenso das vorangeschriebene
[Formel 5]
als gegenstandslos hinfällig, sintemal der dahinter stehende allgemeine Term konstant bezüglich y, nämlich frei davon geworden, und man hat die Äquivalenz 4).
Um jetzt zu zeigen, dass in 5) die beiden letzten Subsumtionen wie behauptet die Kraft von Gleichungen haben, müssen wir blos aus by ; a und ay ; b vermittelst 6) auch die beiden rückwärtigen Subsumtionen ableiten. Nun folgt zwar sogleich: y ; by ; y ; a, y ; ay ; y ; b.
Doch wird es ohne einen absonderlichen Kunstgriff nicht gelingen. Zwar lässt sich nämlich in der erstern Subsumtion das Prädikat umgestalten in: y ; ay ; 1 = (y ; y)a ; 1 -- vergleiche über 61) -- was nun kraft 61) sein wird 1' ; 1 = 1. Doch gelangt man so blos zu dem wertlosen Schlusse:
§ 31. Zweite Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.
7) y = {ȳ ɟ (ā + 1')}y{(1' + b̄̆) ɟ ȳ} d. h. für x = y angesetzt, die Gleichung 2) in ihrer zweiten Form. Die Gleichung 2) für ein arbiträres x angesetzt, muss demnach die allgemeine Wurzel y der Subsumtion 6) vorstellen, wobei es obendrein erlaubt sein muss: einzeln oder gleichzeitig, a durch ă sowie a + ă, und b durch b̆ sowie b + b̆ zu ersetzen.
Verwenden wir, um die chiffrirten Propositionen nicht nochmals in eckige Klammern wiederholt hineinschreiben zu müssen, für diese selbst ihre Chiffren, so ist bis jetzt erwiesen:
[Formel 1]
dazu aber auch 6) = 7), wobei 6) = 61) = 62).
Gibt es nun ein x, welches die rechte Seite der Äquivalenz 4) wahr macht, so gibt es auch ein y, nämlich das durch 2) dargestellte, welches die rechte Seite der Äquivalenz 5) erfüllt, und umgekehrt: gibt es ein der letztern Forderung genügendes y, so auch ein der erstern genügendes x, und zwar mindestens schon in Gestalt von x gleich y. Die Forderungen 4), 5) bedingen also einander gegenseitig oder sind äquivalent.
Falls man will, kann man auch die eine rechnerisch geradezu in die andre transformiren. Ersetzt man z. B. in 5) den ersten Aussagenfaktor hinter dem
[Formel 2]
, welcher die Subsumtion 6) ist, durch das ihm äquivalent erwiesene
[Formel 3]
2), so kann man diese Σ nach x auf alles folgende beziehen; macht man dann hinter dem
[Formel 4]
für y durchweg von dem ihm in 2) gleich- gesetzten Ausdrucke in x als dem ausdrucksvolleren Namen Gebrauch, so wird der Aussagenfaktor 2), als eine Identität, gleich 1 und unterdrück- bar, ebenso das vorangeschriebene
[Formel 5]
als gegenstandslos hinfällig, sintemal der dahinter stehende allgemeine Term konstant bezüglich y, nämlich frei davon geworden, und man hat die Äquivalenz 4).
Um jetzt zu zeigen, dass in 5) die beiden letzten Subsumtionen wie behauptet die Kraft von Gleichungen haben, müssen wir blos aus b⋹y ; a und a ⋹ y̆ ; b vermittelst 6) auch die beiden rückwärtigen Subsumtionen ableiten. Nun folgt zwar sogleich: y̆ ; b ⋹ y̆ ; y ; a, y ; a ⋹ y ; y̆ ; b.
Doch wird es ohne einen absonderlichen Kunstgriff nicht gelingen. Zwar lässt sich nämlich in der erstern Subsumtion das Prädikat umgestalten in: y̆ ; ăy ; 1 = (y̆ ; y)ă ; 1 — vergleiche über 61) — was nun kraft 61) sein wird ⋹ 1' ; 1 = 1. Doch gelangt man so blos zu dem wertlosen Schlusse:
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[603/0617]
§ 31. Zweite Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.
7) y = {ȳ ɟ (ā + 1')}y{(1' + b̄̆) ɟ ȳ}
d. h. für x = y angesetzt, die Gleichung 2) in ihrer zweiten Form.
Die Gleichung 2) für ein arbiträres x angesetzt, muss demnach die
allgemeine Wurzel y der Subsumtion 6) vorstellen, wobei es obendrein
erlaubt sein muss: einzeln oder gleichzeitig, a durch ă sowie a + ă,
und b durch b̆ sowie b + b̆ zu ersetzen.
Verwenden wir, um die chiffrirten Propositionen nicht nochmals
in eckige Klammern wiederholt hineinschreiben zu müssen, für diese
selbst ihre Chiffren, so ist bis jetzt erwiesen:
[FORMEL] dazu aber auch 6) = 7), wobei 6) = 61) = 62).
Gibt es nun ein x, welches die rechte Seite der Äquivalenz 4)
wahr macht, so gibt es auch ein y, nämlich das durch 2) dargestellte,
welches die rechte Seite der Äquivalenz 5) erfüllt, und umgekehrt:
gibt es ein der letztern Forderung genügendes y, so auch ein der
erstern genügendes x, und zwar mindestens schon in Gestalt von x
gleich y. Die Forderungen 4), 5) bedingen also einander gegenseitig
oder sind äquivalent.
Falls man will, kann man auch die eine rechnerisch geradezu in die
andre transformiren. Ersetzt man z. B. in 5) den ersten Aussagenfaktor
hinter dem [FORMEL], welcher die Subsumtion 6) ist, durch das ihm äquivalent
erwiesene [FORMEL]2), so kann man diese Σ nach x auf alles folgende beziehen;
macht man dann hinter dem [FORMEL] für y durchweg von dem ihm in 2) gleich-
gesetzten Ausdrucke in x als dem ausdrucksvolleren Namen Gebrauch, so
wird der Aussagenfaktor 2), als eine Identität, gleich 1 und unterdrück-
bar, ebenso das vorangeschriebene [FORMEL] als gegenstandslos hinfällig, sintemal
der dahinter stehende allgemeine Term konstant bezüglich y, nämlich frei
davon geworden, und man hat die Äquivalenz 4).
Um jetzt zu zeigen, dass in 5) die beiden letzten Subsumtionen
wie behauptet die Kraft von Gleichungen haben, müssen wir blos aus
b⋹y ; a und a ⋹ y̆ ; b
vermittelst 6) auch die beiden rückwärtigen Subsumtionen ableiten.
Nun folgt zwar sogleich:
y̆ ; b ⋹ y̆ ; y ; a, y ; a ⋹ y ; y̆ ; b.
Doch wird es ohne einen absonderlichen Kunstgriff nicht gelingen.
Zwar lässt sich nämlich in der erstern Subsumtion das Prädikat umgestalten
in: y̆ ; ăy ; 1 = (y̆ ; y)ă ; 1 — vergleiche über 61) — was nun kraft 61) sein
wird ⋹ 1' ; 1 = 1. Doch gelangt man so blos zu dem wertlosen Schlusse:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 603. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/617>, abgerufen am 23.11.2024.
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