tungen gelangt man leicht zur Ausdehnung dieses Begriffes des "Ein- anderähnlichseins" von dreien auf eine beliebige Menge, eventuell auch ein unbegrenztes System von "Systemen" -- als eines Begriffes, der unabhängig ist von der Reihenfolge ihrer Aufzählung oder Namhaft- machung.
D 34. Erklärung. Man kann daher alle Systeme in Klassen einteilen, indem man in eine bestimmte Klasse alle und nur die Systeme (a), b, c, ... aufnimmt, welche einem bestimmten System a, dem Re- präsentanten der Klasse, ähnlich sind; nach dem vorhergehenden Satze D 33 ändert sich die Klasse nicht, wenn irgend ein andres ihr an- gehöriges System b als Repräsentant gewählt wird.
D 35. Satz. Sind a, b ähnliche Systeme, so ist jedes Teilsystem von a auch einem Teilsystem von b, jedes echte Teilsystem von a einem echten Teilsystem von b ähnlich: 21)
[Formel 1]
, 22)
[Formel 2]
.
Will man, dass a, b, c, d als Systeme zu denken seien, auch in die Formeln aufnehmen, so braucht man nur deren Namen -- mit Ausnahme des d unter dem S -- durch resp. a ; 1, b ; 1, c ; 1, d ; 1 zu ersetzen.
Beweis des ersten Satzes. Zu den Voraussetzungen gehört:
[Formel 3]
, wobei die -- unterwellte -- Adventivforderung auch unberücksichtigt bleiben könnte und vorerst bleiben möge. Ist nun ferner ca, so kann man z ; c = d nennen, dann folgt: z ; cz ; a, also db, b = d + b = d + dnb.
Weiter kann man (was imgrunde überflüssig) mit z ; d = z ; z ; c 1' ; c = c auch leicht die Einordnung: z ; dc beweisen. Wichtiger, und nicht ganz so nahe liegend ist der Beweis der umgekehrten Subsumtion, welche ja dann ohnehin die Kraft einer Gleichung besitzen muss. Er gelingt (ohne Argumentiren auf Elemente) wie folgt.
Nach e) des § 30, S. 555 ist die in der obigen Gleichung mitgegebene Subsumtion z ; cd äquivalent mit z ; dncn.
Darnach aber rechtfertigt sich der letzte von den nachstehenden Schlüssen:
Zwölfte Vorlesung.
tungen gelangt man leicht zur Ausdehnung dieses Begriffes des „Ein- anderähnlichseins“ von dreien auf eine beliebige Menge, eventuell auch ein unbegrenztes System von „Systemen“ — als eines Begriffes, der unabhängig ist von der Reihenfolge ihrer Aufzählung oder Namhaft- machung.
D 34. Erklärung. Man kann daher alle Systeme in Klassen einteilen, indem man in eine bestimmte Klasse alle und nur die Systeme (a), b, c, … aufnimmt, welche einem bestimmten System a, dem Re- präsentanten der Klasse, ähnlich sind; nach dem vorhergehenden Satze D 33 ändert sich die Klasse nicht, wenn irgend ein andres ihr an- gehöriges System b als Repräsentant gewählt wird.
D 35. Satz. Sind a, b ähnliche Systeme, so ist jedes Teilsystem von a auch einem Teilsystem von b, jedes echte Teilsystem von a einem echten Teilsystem von b ähnlich: 21)
[Formel 1]
, 22)
[Formel 2]
.
Will man, dass a, b, c, d als Systeme zu denken seien, auch in die Formeln aufnehmen, so braucht man nur deren Namen — mit Ausnahme des d unter dem Σ — durch resp. a ; 1, b ; 1, c ; 1, d ; 1 zu ersetzen.
Beweis des ersten Satzes. Zu den Voraussetzungen gehört:
[Formel 3]
, wobei die — unterwellte — Adventivforderung auch unberücksichtigt bleiben könnte und vorerst bleiben möge. Ist nun ferner c ⋹ a, so kann man z ; c = d nennen, dann folgt: z ; c ⋹ z ; a, also d⋹b, b = d + b = d + d̄b.
Weiter kann man (was imgrunde überflüssig) mit z̆ ; d = z̆ ; z ; c ⋹ 1' ; c = c auch leicht die Einordnung: z̆ ; d ⋹ c beweisen. Wichtiger, und nicht ganz so nahe liegend ist der Beweis der umgekehrten Subsumtion, welche ja dann ohnehin die Kraft einer Gleichung besitzen muss. Er gelingt (ohne Argumentiren auf Elemente) wie folgt.
Nach η) des § 30, S. 555 ist die in der obigen Gleichung mitgegebene Subsumtion z ; c ⋹ d äquivalent mit z̆ ; d̄ ⋹ c̄.
Darnach aber rechtfertigt sich der letzte von den nachstehenden Schlüssen:
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Zwölfte Vorlesung.
tungen gelangt man leicht zur Ausdehnung dieses Begriffes des „Ein-
anderähnlichseins“ von dreien auf eine beliebige Menge, eventuell auch
ein unbegrenztes System von „Systemen“ — als eines Begriffes, der
unabhängig ist von der Reihenfolge ihrer Aufzählung oder Namhaft-
machung.
D 34. Erklärung. Man kann daher alle Systeme in Klassen
einteilen, indem man in eine bestimmte Klasse alle und nur die Systeme
(a), b, c, … aufnimmt, welche einem bestimmten System a, dem Re-
präsentanten der Klasse, ähnlich sind; nach dem vorhergehenden Satze
D 33 ändert sich die Klasse nicht, wenn irgend ein andres ihr an-
gehöriges System b als Repräsentant gewählt wird.
D 35. Satz. Sind a, b ähnliche Systeme, so ist jedes Teilsystem
von a auch einem Teilsystem von b, jedes echte Teilsystem von a
einem echten Teilsystem von b ähnlich:
21) [FORMEL],
22) [FORMEL].
Will man, dass a, b, c, d als Systeme zu denken seien, auch in
die Formeln aufnehmen, so braucht man nur deren Namen — mit
Ausnahme des d unter dem Σ — durch resp. a ; 1, b ; 1, c ; 1, d ; 1 zu
ersetzen.
Beweis des ersten Satzes. Zu den Voraussetzungen gehört:
[FORMEL],
wobei die — unterwellte — Adventivforderung auch unberücksichtigt bleiben
könnte und vorerst bleiben möge. Ist nun ferner c ⋹ a, so kann man
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d⋹b, b = d + b = d + d̄b.
Weiter kann man (was imgrunde überflüssig) mit z̆ ; d = z̆ ; z ; c ⋹ 1' ; c = c
auch leicht die Einordnung:
z̆ ; d ⋹ c
beweisen. Wichtiger, und nicht ganz so nahe liegend ist der Beweis der
umgekehrten Subsumtion, welche ja dann ohnehin die Kraft einer Gleichung
besitzen muss. Er gelingt (ohne Argumentiren auf Elemente) wie folgt.
Nach η) des § 30, S. 555 ist die in der obigen Gleichung mitgegebene
Subsumtion
z ; c ⋹ d äquivalent mit z̆ ; d̄ ⋹ c̄.
Darnach aber rechtfertigt sich der letzte von den nachstehenden
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 610. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/624>, abgerufen am 24.06.2024.
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