Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs. 26)
[Formel 1]
.Dies -- 24) bis 26) -- alles formulirt gibt eine Reihe von als Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch 24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach o) des § 30: Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer Die erste Behauptung 25) als Subsumtion formulirt sich gemäss o) Von den vier Ergebnissen rechtfertigen sich nun die beiden folgenden Die beiden andern können mit Rücksicht hierauf, weil z ; 0' z ; 1 = b, § 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs. 26)
[Formel 1]
.Dies — 24) bis 26) — alles formulirt gibt eine Reihe von als Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch 24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach ο) des § 30: Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer Die erste Behauptung 25) als Subsumtion formulirt sich gemäss ο) Von den vier Ergebnissen rechtfertigen sich nun die beiden folgenden Die beiden andern können mit Rücksicht hierauf, weil z ; 0' ⋹ z ; 1 = b, <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0627" n="613"/><fw place="top" type="header">§ 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs.</fw><lb/> 26) <formula/>.</p><lb/> <p>Dies — 24) bis 26) — alles formulirt gibt eine Reihe von als<lb/> gültig (d. i. = 1) erkannten ausgezeichneten Relativen.</p><lb/> <p>Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch<lb/> ohne Koeffizientenevidenz aus der Ähnlichkeitsdefinition ableiten lassen,<lb/> werden wir unser Erkenntnisskapital über die ähnliche Abbildung <hi rendition="#i">z</hi><lb/> vermehren und zugleich die obigen paar apagogischen Beweise durch<lb/> bessere, direkte ersetzen.</p><lb/> <p>24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach <hi rendition="#i">ο</hi>) des § 30:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>{<hi rendition="#i">z̄<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> + <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi></hi>(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi>(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄̆</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi>} = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>{<hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">ăb</hi>(<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1')(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>)}<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi> =<lb/> = 0 ɟ {idem} ɟ 0 = {<hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ăb</hi>(<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1')(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>)}.</hi></p><lb/> <p>Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer<lb/> kann man aber den Faktor <hi rendition="#i">z</hi> (als das Negat des ersten Gliedes) zufügen,<lb/> und da (<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1')<hi rendition="#i">z</hi>(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>) = <hi rendition="#i">z</hi> nach der Charakteristik von <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">2</hi><hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">4</hi> in (17) ist<lb/> — vergl. die auch für <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> gültige Formel 13) — so läuft die Be-<lb/> hauptung auf 0 ɟ (<hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">ăbz</hi>) ɟ 0, = 0 ɟ (<hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">ăb</hi>) ɟ 0 = (<hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ăb</hi>), d. i. auf die<lb/> Adventivbedingung hinaus. 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§ 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs.
26) [FORMEL].
Dies — 24) bis 26) — alles formulirt gibt eine Reihe von als
gültig (d. i. = 1) erkannten ausgezeichneten Relativen.
Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch
ohne Koeffizientenevidenz aus der Ähnlichkeitsdefinition ableiten lassen,
werden wir unser Erkenntnisskapital über die ähnliche Abbildung z
vermehren und zugleich die obigen paar apagogischen Beweise durch
bessere, direkte ersetzen.
24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach ο) des § 30:
Πh k{z̄k h + ahbk(1' ɟ z̄)k h(1' ɟ z̄̆)h k} = Πh k{z̄ + ăb(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}k h =
= 0 ɟ {idem} ɟ 0 = {z ⋹ ăb(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}.
Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer
kann man aber den Faktor z (als das Negat des ersten Gliedes) zufügen,
und da (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) = z nach der Charakteristik von A2A4 in (17) ist
— vergl. die auch für x = y = z gültige Formel 13) — so läuft die Be-
hauptung auf 0 ɟ (z̄ + ăbz) ɟ 0, = 0 ɟ (z̄ + ăb) ɟ 0 = (z ⋹ ăb), d. i. auf die
Adventivbedingung hinaus. Auch in ihrer letzen obigen Form zerfällt sie
in die evidentermaassen gültigen Teilsubsumtionen
z⋹ă, z⋹b, z⋹z̄ ɟ 1', z = 1' ɟ z̄, q. e. d.
Die erste Behauptung 25) als Subsumtion formulirt sich gemäss ο)
§ 30 zu:
Πh k{(1' ɟ z̄)k hah ⋹ bkzk h} = Πh k{(0' ; z)k h + āh k + (bz)k h} =
= Πk h(0' ; z + ā̆ + bz)k h = 0 ɟ (ā̆ + bz + 0' ; z) ɟ 0 =
= {0 ɟ (ā̆ + b + 0' ; z) ɟ 0}{0 ɟ (ā̆ + z + 0' ; z) ɟ 0} = (b̆ ɟ 0' ; z ɟ ā)(1 ; z ɟ ā) =
= (ā̆ ɟ z̆ ; 0' ɟ b)(ā̆ ɟ z̆ ; 1) = (ăb̄ ⋹ 0' ; z)(ă ɟ 1; z) = (ab̄̆ ⋹ z̆ ; 0')(a ⋹ z̆ ; 1).
Ebenso, nur a mit b zugleich z mit z̆ vertauscht, die zweite Behaup-
tung 25) zu:
(b̄̆ ɟ z ; 0' ɟ a)(b̄̆ ɟ z ; 1) = (ā̆b ⋹ z ; 0')(b ⋹ z ; 1).
Von den vier Ergebnissen rechtfertigen sich nun die beiden folgenden
sogar als Gleichungen:
25α) a = z̆ ; 1, b = z ; 1
gemäss 16) leicht mit a = z̆ ; b = z̆ ; b + 0 = z̆ ; b + z̆ ; b̄ = z̆ ; (b + b̄) = z̆ ; 1,
b = z ; a = z ; a + z ; ā = z ; 1.
Die beiden andern können mit Rücksicht hierauf, weil z ; 0' ⋹ z ; 1 = b,
0' ; z ⋹ 1 ; z = ă, sogleich zu den Doppelsubsumtionen ergänzt werden
25β) ā̆b⋹z ; 0' ⋹ b, ăb̄ ⋹ 0' ; z ⋹ ă
und beweisen sich ihre ersten Teile in den Formen b ⋹ z ; 0' + ă, a ⋹ z̆ ; 0' + b̆
wie folgt:
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 613. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/627>, abgerufen am 18.02.2025. |