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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
b = z ; 1 = z ; 0' + z z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + a,
a = z ; 1 = z ; 0' + z z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + b,
q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt
werden.

[Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen
auch unter Benutzung des Schemas x) statt o) des § 30). Man findet auf
Umwegen und unter Benutzung leicht erweislicher Hülfssätze, wie
Pi(i ; a + in ; b) = 0 j (a + 0' ; b), Pia ; i = a j 0
dieselben ausgezeichneten Relative, wie oben.]

Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion
hinter dem Pzeichen Zk h genannt werden. Dann soll gezeigt werden, dass:
Ph k(ahbkZk h), = Ph k(anh + bnk + Zk h) = Pk h(an + bn + Z)k h =
= 0 j (an + bn + Z) j 0 = bn j Z j an = (b ; 1 ; a Z) = (ab j Z).
Für Z können wir nun nach ph6) des § 30 das alle übrigen unter den
Chiffren ph) ebenda in sich zusammenfassende Relativ nehmen:
Z = z ; 0' · zn · 0' ; z + (zn j 1')z(1' j zn) = z ; 1 ; z · {zn + (zn j 1')(1' j zn)}.
Alsdann zerfällt die Behauptung ab Z in:
26a) abz · 1, ab 1 ; z, ab zn j 1' + zn, ab zn + 1' j zn,
welche Teilforderungen man auch erhält, wenn man Z identifizirt mit den
ersten vier der 6 Relative ph) § 30 -- immer z für das dortige a gesagt.
Durch deren zwei letzte kommt noch hinzu:
26b) abzn j 1' + 0' ; z, ab z ; 0' + 1' j zn,
und sollen alle 6 Relationen sofort aus den in der normalen Ähnlichkeits-
bedingung (17) über z enthaltnen Voraussetzungen direkt gerechtfertigt
werden.

Die beiden ersten 26a) verstehen sich wegen ab b und a aus 25a)
von selbst, die beiden letzten 26a) daraus, weil ihr Prädikat nach der
Charakteristik z zn j 1', etc. von z gleich 1 sich erweist. Endlich von den
beiden 26b) als ab · z ; 0' 0' ; z, ab · 0' ; z z ; 0' ist die erste wegen 25a)
äquivalent mit:
z ; 1 · 1 ; z · z ; 0' = z ; 0' · 1 ; z = z ; 0' · (z + 0' ; z) = z ; 0' · 0' ; z 0' ; z
-- weil auch z ; 0' · z = 0 gewesen; ebenso die zweite mit z ; 0' · 0' ; z z ; 0' --
was ersichtlich, q. e. d.

Man kann auch so nachweisen, dass unser Z über 26a) die Eigen-
schaft hat dass Z (z ; 0' + 1' j zn)(zn j 1' + 0' ; z), also Z = Z mal der rechten
Seite ist: Wir müssen haben Z · (zn j 1') · 0' ; z = 0, denn wegen Zusammen-
treffens von 1' j zn mit 0' ; z fällt zunächst das zweite Glied von Z weg und
in der einen angegebnen Form des ersten trifft dann noch z ; 1 · zn = z ; 0' · zn
mit zn j 1' zusammen. Etc. q. e. d.

In seiner Erklärung D 26 der ähnlichen Abbildung von a (in b)
hat Dedekind das Wesen derselben, wodurch sie sich vor der blos

Zwölfte Vorlesung.
b = z ; 1 = z ; 0' + z ⋹ z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + ă,
a = z̆ ; 1 = z̆ ; 0' + z̆ ⋹ z̆ ; 0' + 1 ; z̆ = z̆ ; 0' + b̆,
q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt
werden.

[Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen
auch unter Benutzung des Schemas ξ) statt ο) des § 30). Man findet auf
Umwegen und unter Benutzung leicht erweislicher Hülfssätze, wie
Πi(ĭ ; a + ī̆ ; b) = 0 ɟ (a + 0' ; b), Πia ; i = a ɟ 0
dieselben ausgezeichneten Relative, wie oben.]

Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion
hinter dem Πzeichen Zk h genannt werden. Dann soll gezeigt werden, dass:
Πh k(ahbk⋹Zk h), = Πh k(āh + b̄k + Zk h) = Πk h(ā̆ + b̄ + Z)k h =
= 0 ɟ (ā̆ + b̄ + Z) ɟ 0 = b̄̆ ɟ Z ɟ ā = (b ; 1 ; ă ⋹ Z) = (ăb ɟ Z).
Für Z können wir nun nach φ6) des § 30 das alle übrigen unter den
Chiffren φ) ebenda in sich zusammenfassende Relativ nehmen:
Z = z ; 0' · z̄ · 0' ; z + (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) = z ; 1 ; z · {z̄ + (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}.
Alsdann zerfällt die Behauptung ăb ⋹ Z in:
26α) ăb⋹z · 1, ăb ⋹ 1 ; z, ăb ⋹ z̄ ɟ 1' + z̄, ăb ⋹ z̄ + 1' ɟ z̄,
welche Teilforderungen man auch erhält, wenn man Z identifizirt mit den
ersten vier der 6 Relative φ) § 30 — immer z für das dortige a gesagt.
Durch deren zwei letzte kommt noch hinzu:
26β) ăb⋹z̄ ɟ 1' + 0' ; z, ăb ⋹ z ; 0' + 1' ɟ z̄,
und sollen alle 6 Relationen sofort aus den in der normalen Ähnlichkeits-
bedingung (17) über z enthaltnen Voraussetzungen direkt gerechtfertigt
werden.

Die beiden ersten 26α) verstehen sich wegen ăb ⋹ b und ⋹ ă aus 25α)
von selbst, die beiden letzten 26α) daraus, weil ihr Prädikat nach der
Charakteristik z ⋹ z̄ ɟ 1', etc. von z gleich 1 sich erweist. Endlich von den
beiden 26β) als ăb · z ; 0' ⋹ 0' ; z, ăb · 0' ; z ⋹ z ; 0' ist die erste wegen 25α)
äquivalent mit:
z ; 1 · 1 ; z · z ; 0' = z ; 0' · 1 ; z = z ; 0' · (z + 0' ; z) = z ; 0' · 0' ; z ⋹ 0' ; z
— weil auch z ; 0' · z = 0 gewesen; ebenso die zweite mit z ; 0' · 0' ; z ⋹ z ; 0' —
was ersichtlich, q. e. d.

Man kann auch so nachweisen, dass unser Z über 26α) die Eigen-
schaft hat dass Z ⋹ (z ; 0' + 1' ɟ z̄)(z̄ ɟ 1' + 0' ; z), also Z = Z mal der rechten
Seite ist: Wir müssen haben Z · (z̄ ɟ 1') · 0' ; z = 0, denn wegen Zusammen-
treffens von 1' ɟ z̄ mit 0' ; z fällt zunächst das zweite Glied von Z weg und
in der einen angegebnen Form des ersten trifft dann noch z ; 1 · z̄ = z ; 0' · z̄
mit z̄ ɟ 1' zusammen. Etc. q. e. d.

In seiner Erklärung D 26 der ähnlichen Abbildung von a (in b)
hat Dedekind das Wesen derselben, wodurch sie sich vor der blos

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[614/0628] Zwölfte Vorlesung. b = z ; 1 = z ; 0' + z ⋹ z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + ă, a = z̆ ; 1 = z̆ ; 0' + z̆ ⋹ z̆ ; 0' + 1 ; z̆ = z̆ ; 0' + b̆, q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt werden. [Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen auch unter Benutzung des Schemas ξ) statt ο) des § 30). Man findet auf Umwegen und unter Benutzung leicht erweislicher Hülfssätze, wie Πi(ĭ ; a + ī̆ ; b) = 0 ɟ (a + 0' ; b), Πia ; i = a ɟ 0 dieselben ausgezeichneten Relative, wie oben.] Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion hinter dem Πzeichen Zk h genannt werden. Dann soll gezeigt werden, dass: Πh k(ahbk⋹Zk h), = Πh k(āh + b̄k + Zk h) = Πk h(ā̆ + b̄ + Z)k h = = 0 ɟ (ā̆ + b̄ + Z) ɟ 0 = b̄̆ ɟ Z ɟ ā = (b ; 1 ; ă ⋹ Z) = (ăb ɟ Z). Für Z können wir nun nach φ6) des § 30 das alle übrigen unter den Chiffren φ) ebenda in sich zusammenfassende Relativ nehmen: Z = z ; 0' · z̄ · 0' ; z + (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) = z ; 1 ; z · {z̄ + (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}. Alsdann zerfällt die Behauptung ăb ⋹ Z in: 26α) ăb⋹z · 1, ăb ⋹ 1 ; z, ăb ⋹ z̄ ɟ 1' + z̄, ăb ⋹ z̄ + 1' ɟ z̄, welche Teilforderungen man auch erhält, wenn man Z identifizirt mit den ersten vier der 6 Relative φ) § 30 — immer z für das dortige a gesagt. Durch deren zwei letzte kommt noch hinzu: 26β) ăb⋹z̄ ɟ 1' + 0' ; z, ăb ⋹ z ; 0' + 1' ɟ z̄, und sollen alle 6 Relationen sofort aus den in der normalen Ähnlichkeits- bedingung (17) über z enthaltnen Voraussetzungen direkt gerechtfertigt werden. Die beiden ersten 26α) verstehen sich wegen ăb ⋹ b und ⋹ ă aus 25α) von selbst, die beiden letzten 26α) daraus, weil ihr Prädikat nach der Charakteristik z ⋹ z̄ ɟ 1', etc. von z gleich 1 sich erweist. Endlich von den beiden 26β) als ăb · z ; 0' ⋹ 0' ; z, ăb · 0' ; z ⋹ z ; 0' ist die erste wegen 25α) äquivalent mit: z ; 1 · 1 ; z · z ; 0' = z ; 0' · 1 ; z = z ; 0' · (z + 0' ; z) = z ; 0' · 0' ; z ⋹ 0' ; z — weil auch z ; 0' · z = 0 gewesen; ebenso die zweite mit z ; 0' · 0' ; z ⋹ z ; 0' — was ersichtlich, q. e. d. Man kann auch so nachweisen, dass unser Z über 26α) die Eigen- schaft hat dass Z ⋹ (z ; 0' + 1' ɟ z̄)(z̄ ɟ 1' + 0' ; z), also Z = Z mal der rechten Seite ist: Wir müssen haben Z · (z̄ ɟ 1') · 0' ; z = 0, denn wegen Zusammen- treffens von 1' ɟ z̄ mit 0' ; z fällt zunächst das zweite Glied von Z weg und in der einen angegebnen Form des ersten trifft dann noch z ; 1 · z̄ = z ; 0' · z̄ mit z̄ ɟ 1' zusammen. Etc. q. e. d. In seiner Erklärung D 26 der ähnlichen Abbildung von a (in b) hat Dedekind das Wesen derselben, wodurch sie sich vor der blos

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 614. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/628>, abgerufen am 16.06.2024.