Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 31. Fortsetzung -- mit Dedekind'schen Sätzen. eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednenElementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich -- wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht. Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz: Es erscheint mithin: Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu- Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aa 0'a Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a § 31. Fortsetzung — mit Dedekind’schen Sätzen. eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednenElementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich — wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht. Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz: Es erscheint mithin: Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu- Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aă ⋹ 0'a Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0629" n="615"/><fw place="top" type="header">§ 31. Fortsetzung — mit <hi rendition="#g">Dedekind’</hi>schen Sätzen.</fw><lb/> eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednen<lb/> Elementen von <hi rendition="#i">a</hi> stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich<lb/> — wie apagogisch einzusehn: <hi rendition="#i">die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h</hi>, <hi rendition="#i">k</hi><lb/> von <hi rendition="#i">a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht</hi>.</p><lb/> <p>Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz:<lb/> 27) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>{(<hi rendition="#i">h</hi> + <hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>)(<hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi>) ⋹ (<hi rendition="#i">h</hi> = <hi rendition="#i">k</hi>)},</hi><lb/> also nach <hi rendition="#i">ψ</hi>) des § 30:<lb/><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>[<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">k</hi></hi>{(<hi rendition="#i">z̄̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">z</hi>)(<hi rendition="#i">z̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>)}<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi> ⋹ 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi>] = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>{<hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> + <hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> + (<hi rendition="#i">z̆</hi> ; <hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">z̄̆</hi> ; <hi rendition="#i">z</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi> + 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">h k</hi></hi>} =<lb/> = 0 ɟ (<hi rendition="#i">ā</hi> + <hi rendition="#i">ā̆</hi> + <hi rendition="#i">z̆</hi> ; <hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">z̄̆</hi> ; <hi rendition="#i">z</hi> + 1') ɟ 0 = <hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ (<hi rendition="#i">z̆</hi> ; <hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">z̄̆</hi> ; <hi rendition="#i">z</hi> + 1') ɟ <hi rendition="#i">ā</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ; 1 ; <hi rendition="#i">ă</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̆</hi> ; <hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">z̄̆</hi> ; <hi rendition="#i">z</hi> + 1').</p><lb/> <p>Es erscheint mithin:<lb/> 27<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>) <hi rendition="#et">0'<hi rendition="#i">aă</hi> ɟ <hi rendition="#i">z̆</hi> ; <hi rendition="#i">z̄</hi> + <hi rendition="#i">z̄̆</hi> ; <hi rendition="#i">z</hi></hi><lb/> als die konziseste Einkleidung in die Zeichensprache unsrer Algebra<lb/> für die oben aufgestellte Forderung. 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Denn wenn <hi rendition="#i">h</hi> ein Element von <hi rendition="#i">c</hi> also auch von <hi rendition="#i">a</hi><lb/> ist, so ist <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> ein Element von <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">c</hi> also auch von <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">d</hi>, mithin = <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi>,<lb/> wo <hi rendition="#i">k</hi> ein Element von <hi rendition="#i">d</hi> also auch von <hi rendition="#i">a</hi> ist. Da aber aus <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi><lb/> nach 27) immer <hi rendition="#i">h</hi> = <hi rendition="#i">k</hi> folgt, so ist jedes Element <hi rendition="#i">h</hi> von <hi rendition="#i">c</hi> auch Element<lb/> von <hi rendition="#i">d</hi>, wie zu beweisen war.</p><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [615/0629]
§ 31. Fortsetzung — mit Dedekind’schen Sätzen.
eindeutigen Abbildung hervorthut, darein verlegt: dass verschiednen
Elementen von a stets verschiedne Bilder entsprechen sollen, folglich
— wie apagogisch einzusehn: die Gleichheit der Bilder zweier Elemente h, k
von a stets die Identität dieser Elemente nach sich zieht.
Indem wir auch dies formuliren, erhalten wir den Satz:
27) Πh k{(h + k ⋹ a)(z ; h = z ; k) ⋹ (h = k)},
also nach ψ) des § 30:
Πh k[ahak{(z̄̆ ɟ z)(z̆ ɟ z̄)}h k ⋹ 1'h k] = Πh k{āh k + āk h + (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z)h k + 1'h k} =
= 0 ɟ (ā + ā̆ + z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ 0 = ā̆ ɟ (z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1') ɟ ā = (a ; 1 ; ă ⋹ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z + 1').
Es erscheint mithin:
27α) 0'aă ɟ z̆ ; z̄ + z̄̆ ; z
als die konziseste Einkleidung in die Zeichensprache unsrer Algebra
für die oben aufgestellte Forderung. Blos mit z ; h ⋹ z ; k als zweiter
Prämisse gilt sogar 27) — cf. χ) des § 30 — schon als
27β) 0'aă ⋹ z̆ ; z̄.
Diese Relation kann dann noch — wie weiter unten bei 31) zu finden —
mit der durch Konversion aus ihr hervorgehenden 0'aă ⋹ z̄̆ ; z ver-
einigt werden, und wie für a und z mit 27, ‥ 27β), so werden auch in
b und z̆ drei analoge Formeln gelten.
Da wir eine etwas andre Fassung der Ähnlichkeitsdefinition zu-
grunde gelegt haben, so müssen wir nun aus der unsrigen den Satz 27β)
beweisen, mit dem die zwei vorhergehenden a fortiori gegeben sind.
Dies geht sehr leicht wie folgt. Aus der Identität 0'aă ⋹ 0'a
geht durch Einsetzung rechterhand von a = z̆ ; 1 = z̆ ; (z̄ + z) aus 25α)
hervor:
0'aă ⋹ 0' · (z̆ ; z̄ + z̆ ; z),
wo nun wegen z̆ ; z ⋹ 1' das letzte Glied wegfällt, und im verbleiben-
den ersten rechts der Faktor 0' als selbstverständlich unterdrückbar
ist — q. e. d. Aufgrund von 27) aber können wir nun auch die Sätze
D 27 bis 30 in Dedekind’s Argumentation erledigen.
Unter c = c ; 1, d = d ; 1 Systeme verstanden, ist
28) D 27. (c + d ⋹ a)(z ; c ⋹ z ; d) ⋹ (c ⋹ d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c ⋹ z̆ ; d) ⋹ (c ⋹ d),
29) D 28. (c + d ⋹ a)(z ; c = z ; d) ⋹ (c = d), (c + d ⋹ b)(z̆ ; c = z̆ ; d) ⋹ (c = d)
für uns der Ausdruck der beiden erstgenannten.
Beweis zu 28). Denn wenn h ein Element von c also auch von a
ist, so ist z ; h ein Element von z ; c also auch von z ; d, mithin = z ; k,
wo k ein Element von d also auch von a ist. Da aber aus z ; h = z ; k
nach 27) immer h = k folgt, so ist jedes Element h von c auch Element
von d, wie zu beweisen war.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 615. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/629>, abgerufen am 16.06.2024. |