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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
liche" Systeme und über "ähnliche" oder gegenseitig eindeutige Abbil-
dung gesagt ist, so wollen wir nun auch den Sätzen dieser Schrift
uns zuwenden, welche auf die eventuell nur einseitig eindeutige Ab-
bildung Bezug haben.

Diese gehen jenen in ihr voran, und sofern diese blos als Propädeutik
für jene (jene als der Endzweck von diesen) angesehen werden dürfen, er-
scheinen sie bei unsrer Anordnung als eigentlich entbehrlich gemacht.

D 21 gibt die "Erklärung" der "Abbildung" -- oder, wie wir voll-
ständiger hier sagen müssen: der "eindeutigen Abbildung" eines Systems
a = a ; 1 von Elementen h durch ein Relativ x.

Mutatis mutandis sei zuvörderst citirt:

Unter einer eindeutigen Abbildung x eines Systems a = a ; 1 wird ein
"Gesetz" (binäres Relativ) verstanden, nach welchem zu jedem bestimmten
Element h von a ein bestimmtes "Ding" (für uns wiederum "Element" k
des Denkbereiches 1) gehört, welches das x-Bild von h heisst und mit
x ; h bezeichnet wird; wir sagen auch, dass (k =)x ; h dem Element h ent-
spricht, dass x ; h durch die Abbildung x aus h entsteht oder erzeugt wird,
dass h durch die Abbildung x in x ; h übergeht. Ist nun c(= c ; 1 a)
irgend ein Teilsystem von a, so ist in der Abbildung x ; a wegen x ; c x ; a
zugleich eine bestimmte "Abbildung" von c "enthalten", welche "der Ein-
fachheit wegen" wol mit demselben Zeichen x bezeichnet werden darf, und
darin besteht, dass jedem Element i des Systems c dasselbe Bild x ; i ent-
spricht, welches i als Element von a besitzt; zugleich soll das System,
welches aus allen Bildern x ; i besteht, das x-Bild von c heissen und mit
x ; c bezeichnet werden, wodurch auch die Bedeutung von x ; a erklärt ist.

"Als ein Beispiel einer Abbildung eines Systems ist schon die Be-
legung seiner Elemente mit bestimmten Namen oder Zeichen anzusehen.
Die einfachste Abbildung eines Systems ist diejenige, durch welche jedes
seiner Elemente in sich selbst übergeht; sie soll die identische Abbildung
heissen."

Wir wollen nun dasjenige, was vorstehend von der eindeutigen
Abbildung eines Systems a gefordert ist, in Formeln bringen, und
zwar, parallel dem über die ähnliche Abbildung Vorangegangnen, auf
mehrere Arten und wiederum relativ inbezug auf ein bestimmtes zweites
System b als den Rezipienten, Empfänger der x-Bilder von a.

Hierbei wird eine (eindeutige) Abbildung mittelst x "von a auf b"
nicht zu verwechseln sein mit einer solchen "von a in b hinein". Bei
jener würde (auch umgekehrt) jedes Element von b ein x-Bild zu Ele-
menten von a sein müssen. Bei dieser braucht blos jedes Element
von a ein x-Bild innerhalb b zu haben, und ist es zunächst diese
letztre als die minder enge Forderung, die für uns von Interesse.

Als die minimale oder am weitesten gefasste Bedingung dafür,
dass x das System a in das System b hinein eindeutig abbilde, erscheint
diese:


Zwölfte Vorlesung.
liche“ Systeme und über „ähnliche“ oder gegenseitig eindeutige Abbil-
dung gesagt ist, so wollen wir nun auch den Sätzen dieser Schrift
uns zuwenden, welche auf die eventuell nur einseitig eindeutige Ab-
bildung Bezug haben.

Diese gehen jenen in ihr voran, und sofern diese blos als Propädeutik
für jene (jene als der Endzweck von diesen) angesehen werden dürfen, er-
scheinen sie bei unsrer Anordnung als eigentlich entbehrlich gemacht.

D 21 gibt die »Erklärung« der »Abbildung« — oder, wie wir voll-
ständiger hier sagen müssen: der „eindeutigen Abbildung“ eines Systems
a = a ; 1 von Elementen h durch ein Relativ x.

Mutatis mutandis sei zuvörderst citirt:

Unter einer eindeutigen Abbildung x eines Systems a = a ; 1 wird ein
»Gesetz« (binäres Relativ) verstanden, nach welchem zu jedem bestimmten
Element h von a ein bestimmtes »Ding« (für uns wiederum „Element“ k
des Denkbereiches 1) gehört, welches das x-Bild von h heisst und mit
x ; h bezeichnet wird; wir sagen auch, dass (k =)x ; h dem Element h ent-
spricht, dass x ; h durch die Abbildung x aus h entsteht oder erzeugt wird,
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irgend ein Teilsystem von a, so ist in der Abbildung x ; a wegen x ; c ⋹ x ; a
zugleich eine bestimmte »Abbildung« von c »enthalten«, welche »der Ein-
fachheit wegen« wol mit demselben Zeichen x bezeichnet werden darf, und
darin besteht, dass jedem Element i des Systems c dasselbe Bild x ; i ent-
spricht, welches i als Element von a besitzt; zugleich soll das System,
welches aus allen Bildern x ; i besteht, das x-Bild von c heissen und mit
x ; c bezeichnet werden, wodurch auch die Bedeutung von x ; a erklärt ist.

»Als ein Beispiel einer Abbildung eines Systems ist schon die Be-
legung seiner Elemente mit bestimmten Namen oder Zeichen anzusehen.
Die einfachste Abbildung eines Systems ist diejenige, durch welche jedes
seiner Elemente in sich selbst übergeht; sie soll die identische Abbildung
heissen.«

Wir wollen nun dasjenige, was vorstehend von der eindeutigen
Abbildung eines Systems a gefordert ist, in Formeln bringen, und
zwar, parallel dem über die ähnliche Abbildung Vorangegangnen, auf
mehrere Arten und wiederum relativ inbezug auf ein bestimmtes zweites
System b als den Rezipienten, Empfänger der x-Bilder von a.

Hierbei wird eine (eindeutige) Abbildung mittelst x „von a auf b“
nicht zu verwechseln sein mit einer solchen „von a in b hinein“. Bei
jener würde (auch umgekehrt) jedes Element von b ein x-Bild zu Ele-
menten von a sein müssen. Bei dieser braucht blos jedes Element
von a ein x-Bild innerhalb b zu haben, und ist es zunächst diese
letztre als die minder enge Forderung, die für uns von Interesse.

Als die minimale oder am weitesten gefasste Bedingung dafür,
dass x das System a in das System b hinein eindeutig abbilde, erscheint
diese:


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[632/0646] Zwölfte Vorlesung. liche“ Systeme und über „ähnliche“ oder gegenseitig eindeutige Abbil- dung gesagt ist, so wollen wir nun auch den Sätzen dieser Schrift uns zuwenden, welche auf die eventuell nur einseitig eindeutige Ab- bildung Bezug haben. Diese gehen jenen in ihr voran, und sofern diese blos als Propädeutik für jene (jene als der Endzweck von diesen) angesehen werden dürfen, er- scheinen sie bei unsrer Anordnung als eigentlich entbehrlich gemacht. D 21 gibt die »Erklärung« der »Abbildung« — oder, wie wir voll- ständiger hier sagen müssen: der „eindeutigen Abbildung“ eines Systems a = a ; 1 von Elementen h durch ein Relativ x. Mutatis mutandis sei zuvörderst citirt: Unter einer eindeutigen Abbildung x eines Systems a = a ; 1 wird ein »Gesetz« (binäres Relativ) verstanden, nach welchem zu jedem bestimmten Element h von a ein bestimmtes »Ding« (für uns wiederum „Element“ k des Denkbereiches 1) gehört, welches das x-Bild von h heisst und mit x ; h bezeichnet wird; wir sagen auch, dass (k =)x ; h dem Element h ent- spricht, dass x ; h durch die Abbildung x aus h entsteht oder erzeugt wird, dass h durch die Abbildung x in x ; h übergeht. Ist nun c(= c ; 1 ⋹ a) irgend ein Teilsystem von a, so ist in der Abbildung x ; a wegen x ; c ⋹ x ; a zugleich eine bestimmte »Abbildung« von c »enthalten«, welche »der Ein- fachheit wegen« wol mit demselben Zeichen x bezeichnet werden darf, und darin besteht, dass jedem Element i des Systems c dasselbe Bild x ; i ent- spricht, welches i als Element von a besitzt; zugleich soll das System, welches aus allen Bildern x ; i besteht, das x-Bild von c heissen und mit x ; c bezeichnet werden, wodurch auch die Bedeutung von x ; a erklärt ist. »Als ein Beispiel einer Abbildung eines Systems ist schon die Be- legung seiner Elemente mit bestimmten Namen oder Zeichen anzusehen. Die einfachste Abbildung eines Systems ist diejenige, durch welche jedes seiner Elemente in sich selbst übergeht; sie soll die identische Abbildung heissen.« Wir wollen nun dasjenige, was vorstehend von der eindeutigen Abbildung eines Systems a gefordert ist, in Formeln bringen, und zwar, parallel dem über die ähnliche Abbildung Vorangegangnen, auf mehrere Arten und wiederum relativ inbezug auf ein bestimmtes zweites System b als den Rezipienten, Empfänger der x-Bilder von a. Hierbei wird eine (eindeutige) Abbildung mittelst x „von a auf b“ nicht zu verwechseln sein mit einer solchen „von a in b hinein“. Bei jener würde (auch umgekehrt) jedes Element von b ein x-Bild zu Ele- menten von a sein müssen. Bei dieser braucht blos jedes Element von a ein x-Bild innerhalb b zu haben, und ist es zunächst diese letztre als die minder enge Forderung, die für uns von Interesse. Als die minimale oder am weitesten gefasste Bedingung dafür, dass x das System a in das System b hinein eindeutig abbilde, erscheint diese:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 632. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/646>, abgerufen am 23.11.2024.