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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen.

Das x-Bild jedes Elements von a hat etwas mit b gemein:
g2 = Ph{(h a) (x ; h bn)} = b ; x j an = (a x ; b).
Dies g2 ist unser früheres g1 von S. 617 sq.

Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nichts mit b gemein hat:
gn2 = Sh(h a)(x ; h bn) = (bn j xn) ; a = (a x ; b).
Analog x mit x und a mit b vertauscht:
d2 = Pk{(k b) (x ; k an)} = a ; x j bn = bn j x ; a = (b x ; a),
wo dies d2 sich deckt mit dem g3 von S. 617 sq.
dn2 = Sk(k b)(x ; k an) = (an j xn) ; b = b ; (xn j an) = (b x ; a).
Aus g1 geht a1, aus g2 unser a2 für b = 1 hervor, ebenso aus (d1 =)g1
unser b1, aus d2 unser b2 für a = 1. In der gleichen Weise aus den noch
folgenden mit g, d chiffrirten Forderungen die entsprechenden a, b ab-
zuleiten und zu diskutiren, überlassen wir dem Leser.

Da (bn j xn) ; a bn j xn ; a, so haben wir nebenbei a fortiori die Kon-
klusionen:
gn2 (b xn ; a), ebenso: dn2 (a xn ; b).
Statt wie oben zu sagen: "das" x-Bild des Elements h von a habe etwas
mit b gemein, kann man auch sagen: "ein" x-Bild von h sei Teil von b,
oder: es gebe Elemente (h) in a, von denen "ein" x-Bild in b enthalten ist.
Indem nämlich gemäss u) S. 558 und 27) S. 419: (x ; h bn) = (bn j xn) ; h =
= bn j xn ; h sein muss, werden wir -- auch analytisch -- haben:
(x ; h · b 0) = (x ; h bn) = b ; x j hn = b ; x ; h =
= Sk(k x ; h)(k b) = Skxk hbk = (xb ; 1)h = (x ; b)h.
Also zeigen sich in der That als mit den vorigen wesentlich übereinstim-
mende die Forderungen:


Es gibt kein Element in a, von dem ein Element des b ein x-Bild wäre:
Ph k{(kb)(kx ; h) (h a)} = g1(= d1).
Es gibt Elemente in a, von denen Elemente in b ein x-Bild sind:
Sh k(ha)(kb)(kx ; h) = gn1(= dn1).
Von jedem Element in a ist ein x-Bild in b enthalten = Von jedem Ele-
ment in a ist das eine oder andre Element von b ein x-Bild:
Ph{(ha) Sk(kb)(kx ; h)} = g2.
Es gibt Elemente in a, von denen kein Element des b ein x-Bild ist =
Von gewissen Elementen in a ist kein Element in b ein x-Bild:
Sh(ha)Pk{(kb) (k x ; h)} = gn2.

Der Studirende wird es schon nicht ganz leicht finden, die für die
beiden letzten Formen behauptete Äquivalenz rechnerisch nachzuweisen.

§ 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen.

Das x-Bild jedes Elements von a hat etwas mit b gemein:
γ2 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̆ ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; b).
Dies γ2 ist unser früheres γ1 von S. 617 sq.

Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nichts mit b gemein hat:
γ̄2 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = (b̄̆ ɟ x̄) ; a = (a ⋹ x̆ ; b).
Analog x mit x̆ und a mit b vertauscht:
δ2 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ⋹ ā)} = ă ; x̆ ɟ b̄ = b̄̆ ɟ x ; a = (b ⋹ x ; a),
wo dies δ2 sich deckt mit dem γ3 von S. 617 sq.
δ̄2 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ⋹ ā) = (ā̆ ɟ x̄̆) ; b = b̆ ; (x̄ ɟ ā) = (b ⋹ x ; a).
Aus γ1 geht α1, aus γ2 unser α2 für b = 1 hervor, ebenso aus (δ1 =)γ1
unser β1, aus δ2 unser β2 für a = 1. In der gleichen Weise aus den noch
folgenden mit γ, δ chiffrirten Forderungen die entsprechenden α, β ab-
zuleiten und zu diskutiren, überlassen wir dem Leser.

Da (b̄̆ ɟ x̄) ; a ⋹ b̄̆ ɟ x̄ ; a, so haben wir nebenbei a fortiori die Kon-
klusionen:
γ̄2⋹ (b ⋹ x̄ ; a), ebenso: δ̄2 ⋹ (a ⋹ x̄̆ ; b).
Statt wie oben zu sagen: „das“ x-Bild des Elements h von a habe etwas
mit b gemein, kann man auch sagen: „ein“ x-Bild von h sei Teil von b,
oder: es gebe Elemente (h) in a, von denen „ein“ x-Bild in b enthalten ist.
Indem nämlich gemäss υ) S. 558 und 27) S. 419: (x ; h ⋹ b̄) = (b̄̆ ɟ x̄) ; h =
= b̄̆ ɟ x̄ ; h sein muss, werden wir — auch analytisch — haben:
(x ; h · b ≠ 0) = (x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ɟ h̄ = b̆ ; x ; h =
= Σk(k ⋹ x ; h)(k ⋹ b) = Σkxk hbk = (x̆b̆ ; 1)h = (x̆ ; b)h.
Also zeigen sich in der That als mit den vorigen wesentlich übereinstim-
mende die Forderungen:


Es gibt kein Element in a, von dem ein Element des b ein x-Bild wäre:
Πh k{(k⋹b)(k⋹x ; h) ⋹ (h ⋹ a)} = γ1(= δ1).
Es gibt Elemente in a, von denen Elemente in b ein x-Bild sind:
Σh k(h⋹a)(k⋹b)(k⋹x ; h) = γ̄1(= δ̄1).
Von jedem Element in a ist ein x-Bild in b enthalten = Von jedem Ele-
ment in a ist das eine oder andre Element von b ein x-Bild:
Πh{(h⋹a) ⋹Σk(k⋹b)(k⋹x ; h)} = γ2.
Es gibt Elemente in a, von denen kein Element des b ein x-Bild ist =
Von gewissen Elementen in a ist kein Element in b ein x-Bild:
Σh(h⋹a)Πk{(k⋹b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = γ̄2.

Der Studirende wird es schon nicht ganz leicht finden, die für die
beiden letzten Formen behauptete Äquivalenz rechnerisch nachzuweisen.

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[645/0659] § 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen. Das x-Bild jedes Elements von a hat etwas mit b gemein: γ2 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̆ ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; b). Dies γ2 ist unser früheres γ1 von S. 617 sq. Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nichts mit b gemein hat: γ̄2 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = (b̄̆ ɟ x̄) ; a = (a ⋹ x̆ ; b). Analog x mit x̆ und a mit b vertauscht: δ2 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ⋹ ā)} = ă ; x̆ ɟ b̄ = b̄̆ ɟ x ; a = (b ⋹ x ; a), wo dies δ2 sich deckt mit dem γ3 von S. 617 sq. δ̄2 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ⋹ ā) = (ā̆ ɟ x̄̆) ; b = b̆ ; (x̄ ɟ ā) = (b ⋹ x ; a). Aus γ1 geht α1, aus γ2 unser α2 für b = 1 hervor, ebenso aus (δ1 =)γ1 unser β1, aus δ2 unser β2 für a = 1. In der gleichen Weise aus den noch folgenden mit γ, δ chiffrirten Forderungen die entsprechenden α, β ab- zuleiten und zu diskutiren, überlassen wir dem Leser. Da (b̄̆ ɟ x̄) ; a ⋹ b̄̆ ɟ x̄ ; a, so haben wir nebenbei a fortiori die Kon- klusionen: γ̄2⋹ (b ⋹ x̄ ; a), ebenso: δ̄2 ⋹ (a ⋹ x̄̆ ; b). Statt wie oben zu sagen: „das“ x-Bild des Elements h von a habe etwas mit b gemein, kann man auch sagen: „ein“ x-Bild von h sei Teil von b, oder: es gebe Elemente (h) in a, von denen „ein“ x-Bild in b enthalten ist. Indem nämlich gemäss υ) S. 558 und 27) S. 419: (x ; h ⋹ b̄) = (b̄̆ ɟ x̄) ; h = = b̄̆ ɟ x̄ ; h sein muss, werden wir — auch analytisch — haben: (x ; h · b ≠ 0) = (x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ɟ h̄ = b̆ ; x ; h = = Σk(k ⋹ x ; h)(k ⋹ b) = Σkxk hbk = (x̆b̆ ; 1)h = (x̆ ; b)h. Also zeigen sich in der That als mit den vorigen wesentlich übereinstim- mende die Forderungen: Es gibt kein Element in a, von dem ein Element des b ein x-Bild wäre: Πh k{(k⋹b)(k⋹x ; h) ⋹ (h ⋹ a)} = γ1(= δ1). Es gibt Elemente in a, von denen Elemente in b ein x-Bild sind: Σh k(h⋹a)(k⋹b)(k⋹x ; h) = γ̄1(= δ̄1). Von jedem Element in a ist ein x-Bild in b enthalten = Von jedem Ele- ment in a ist das eine oder andre Element von b ein x-Bild: Πh{(h⋹a) ⋹Σk(k⋹b)(k⋹x ; h)} = γ2. Es gibt Elemente in a, von denen kein Element des b ein x-Bild ist = Von gewissen Elementen in a ist kein Element in b ein x-Bild: Σh(h⋹a)Πk{(k⋹b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = γ̄2. Der Studirende wird es schon nicht ganz leicht finden, die für die beiden letzten Formen behauptete Äquivalenz rechnerisch nachzuweisen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 645. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/659>, abgerufen am 18.02.2025.