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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Aufstellung von noch ferneren möglichen Forderungen.

motivirenden Gedankenkreise führen, wie man sieht, alle auf eines von den
sechs (zwei Gespanne bildenden) ausgezeichneten Relativen:

a j y j b, a ; y ; b,

(a j y) ; b, a ; y j b,
a j y ; b, a ; (y j b),

worin a, b durch ein verwandtes der Systeme a, b vertreten und zwar
das erste ein Systemkonvers, das letzte ein System ist, und y ein (einfaches,
mit x verwandtes, oder auch ein zusammengesetztes, aus x sich irgendwie
ableitendes) Abbildungsprinzip vorstellt.

Wegen der Mannigfaltigkeit der angedeuteten Vertretungsmöglichkeiten
ist die Menge der Urteilsformen hier eine grosse und nicht leicht zu über-
sehende. Dieselben sechs Formen werden sich jedoch in der zweiten Ab-
teilung unsres Buches erweisen als die überaus einfache Grundlage einer
Lehre (Syllogistik) von den "doppelt universal- oder partikularen" (ge-
nauer: den universal-universalen, den universal-partikularen, den partikular-
universalen und den partikular-partikularen) Urteilen -- wodurch auf die
letzten Betrachtungen noch weitres Licht fällt.

Will man -- was so oft verlangt wird -- ein ausgezeichnetes Relativ,
welches ein relatives Produkt ist, in eine gewöhnliche Aussage umsetzen
wie z. B. das (a j y) ; b, so steht für 1 (a j y) ; b kein Inversionstheorem
zum Herüberschaffen des b zur Verfügung. Wohl aber würde das bei
(a j y) ; b 0 der Fall sein, wo wir a j y 0 j bn = bn, also b an ; yn
schliessen dürften. Unser ausgezeichnetes Relativ muss nun der Ver-
neinung dieser Aussage äquivalent sein, und wird also auf eine Unsub-
sumtion, hier b an ; yn hinauslaufen. --

Propädeutisch für's Folgende lege man sich zunächst zurecht, dass:

Sk{(kb) (k x ; h)} = {(x + bn) ; 1}h	Sk(kb)(kx ; h) = (x ; b)h,
Pk " " " = (x j bn)h	Pk " " = (xb j 0)h.

Alsdann wird es eine gute Übung sein, die folgenden unter analytischem
Gesichtspunkte sich darbietenden 16 Bedingungen (denen sich noch weitre
anschliessen werden) verbal zu formuliren, sie auf die angegebne Form
eines ausgezeichneten Relativs zu bringen, sowie sie auf ihre daneben ge-
stellte einfachste(?) Aussagenform zu reduziren, und überhaupt: sich in
ihre Bedeutung und Tragweite hineinzudenken:
Sh[(h a) Sk{(k b) (k x ; h)}] = 1 ; (an + x + bn) ; 1 = {(a = b = 1)(x = 0) = 0},
Sh " Pk " = 1 ; (an + x j bn) = {(a = 1)(1 = xn ; b) = 0},
Ph " Sk " = 1 ; (bn + x) j an = {a(0 j b) 1 ; x} =
= {(b = 1) (a 1 ; x)},
Ph " Pk " = bn j x j an = (ab x).

§ 31. Aufstellung von noch ferneren möglichen Forderungen.

motivirenden Gedankenkreise führen, wie man sieht, alle auf eines von den
sechs (zwei Gespanne bildenden) ausgezeichneten Relativen:

a ɟ y ɟ b, a ; y ; b,

(a ɟ y) ; b, a ; y ɟ b,
a ɟ y ; b, a ; (y ɟ b),

Wegen der Mannigfaltigkeit der angedeuteten Vertretungsmöglichkeiten
ist die Menge der Urteilsformen hier eine grosse und nicht leicht zu über-
sehende. Dieselben sechs Formen werden sich jedoch in der zweiten Ab-
teilung unsres Buches erweisen als die überaus einfache Grundlage einer
Lehre (Syllogistik) von den „doppelt universal- oder partikularen“ (ge-
nauer: den universal-universalen, den universal-partikularen, den partikular-
universalen und den partikular-partikularen) Urteilen — wodurch auf die
letzten Betrachtungen noch weitres Licht fällt.

Will man — was so oft verlangt wird — ein ausgezeichnetes Relativ,
welches ein relatives Produkt ist, in eine gewöhnliche Aussage umsetzen
wie z. B. das (a ɟ y) ; b, so steht für 1 ⋹ (a ɟ y) ; b kein Inversionstheorem
zum Herüberschaffen des b zur Verfügung. Wohl aber würde das bei
(a ɟ y) ; b ⋹ 0 der Fall sein, wo wir a ɟ y ⋹ 0 ɟ b̄̆ = b̄̆, also b̆ ⋹ ā ; ȳ
schliessen dürften. Unser ausgezeichnetes Relativ muss nun der Ver-
neinung dieser Aussage äquivalent sein, und wird also auf eine Unsub-
sumtion, hier b̆ ⋹ ā ; ȳ hinauslaufen. —

Propädeutisch für’s Folgende lege man sich zunächst zurecht, dass:

Σk{(k⋹b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = {(x̆ + b̄̆) ; 1}h	Σk(k⋹b)(k⋹x ; h) = (x̆ ; b)h,
Πk „ „ „ = (x̆ ɟ b̄)h	Πk „ „ = (x̆b̆ ɟ 0)h.

Alsdann wird es eine gute Übung sein, die folgenden unter analytischem
Gesichtspunkte sich darbietenden 16 Bedingungen (denen sich noch weitre
anschliessen werden) verbal zu formuliren, sie auf die angegebne Form
eines ausgezeichneten Relativs zu bringen, sowie sie auf ihre daneben ge-
stellte einfachste(?) Aussagenform zu reduziren, und überhaupt: sich in
ihre Bedeutung und Tragweite hineinzudenken:
Σh[(h ⋹ a) ⋹ Σk{(k ⋹ b) ⋹ (k ⋹ x ; h)}] = 1 ; (ā̆ + x + b̄) ; 1 = {(a = b = 1)(x = 0) = 0},
Σh „ Πk „ = 1 ; (ā + x̆ ɟ b̄) = {(a = 1)(1 = x̄̆ ; b) = 0},
Πh „ Σk „ = 1 ; (b̄ + x) ɟ ā = {ă(0 ɟ b) ⋹ 1 ; x} =
= {(b = 1) ⋹ (ă ⋹ 1 ; x)},
Πh „ Πk „ = b̄̆ ɟ x ɟ ā = (ăb ⋹ x).

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[647/0661] § 31. Aufstellung von noch ferneren möglichen Forderungen. motivirenden Gedankenkreise führen, wie man sieht, alle auf eines von den sechs (zwei Gespanne bildenden) ausgezeichneten Relativen: a ɟ y ɟ b, a ; y ; b, (a ɟ y) ; b, a ; y ɟ b, a ɟ y ; b, a ; (y ɟ b), worin a, b durch ein verwandtes der Systeme a, b vertreten und zwar das erste ein Systemkonvers, das letzte ein System ist, und y ein (einfaches, mit x verwandtes, oder auch ein zusammengesetztes, aus x sich irgendwie ableitendes) Abbildungsprinzip vorstellt. Wegen der Mannigfaltigkeit der angedeuteten Vertretungsmöglichkeiten ist die Menge der Urteilsformen hier eine grosse und nicht leicht zu über- sehende. Dieselben sechs Formen werden sich jedoch in der zweiten Ab- teilung unsres Buches erweisen als die überaus einfache Grundlage einer Lehre (Syllogistik) von den „doppelt universal- oder partikularen“ (ge- nauer: den universal-universalen, den universal-partikularen, den partikular- universalen und den partikular-partikularen) Urteilen — wodurch auf die letzten Betrachtungen noch weitres Licht fällt. Will man — was so oft verlangt wird — ein ausgezeichnetes Relativ, welches ein relatives Produkt ist, in eine gewöhnliche Aussage umsetzen wie z. B. das (a ɟ y) ; b, so steht für 1 ⋹ (a ɟ y) ; b kein Inversionstheorem zum Herüberschaffen des b zur Verfügung. Wohl aber würde das bei (a ɟ y) ; b ⋹ 0 der Fall sein, wo wir a ɟ y ⋹ 0 ɟ b̄̆ = b̄̆, also b̆ ⋹ ā ; ȳ schliessen dürften. Unser ausgezeichnetes Relativ muss nun der Ver- neinung dieser Aussage äquivalent sein, und wird also auf eine Unsub- sumtion, hier b̆ ⋹ ā ; ȳ hinauslaufen. — Propädeutisch für’s Folgende lege man sich zunächst zurecht, dass: Σk{(k⋹b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = {(x̆ + b̄̆) ; 1}h Σk(k⋹b)(k⋹x ; h) = (x̆ ; b)h, Πk „ „ „ = (x̆ ɟ b̄)h Πk „ „ = (x̆b̆ ɟ 0)h. Alsdann wird es eine gute Übung sein, die folgenden unter analytischem Gesichtspunkte sich darbietenden 16 Bedingungen (denen sich noch weitre anschliessen werden) verbal zu formuliren, sie auf die angegebne Form eines ausgezeichneten Relativs zu bringen, sowie sie auf ihre daneben ge- stellte einfachste(?) Aussagenform zu reduziren, und überhaupt: sich in ihre Bedeutung und Tragweite hineinzudenken: Σh[(h ⋹ a) ⋹ Σk{(k ⋹ b) ⋹ (k ⋹ x ; h)}] = 1 ; (ā̆ + x + b̄) ; 1 = {(a = b = 1)(x = 0) = 0}, Σh „ Πk „ = 1 ; (ā + x̆ ɟ b̄) = {(a = 1)(1 = x̄̆ ; b) = 0}, Πh „ Σk „ = 1 ; (b̄ + x) ɟ ā = {ă(0 ɟ b) ⋹ 1 ; x} = = {(b = 1) ⋹ (ă ⋹ 1 ; x)}, Πh „ Πk „ = b̄̆ ɟ x ɟ ā = (ăb ⋹ x).

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 647. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/661>, abgerufen am 18.05.2024.

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